1、版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理自主学习必备知识考点2圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d|O1O2|)必会结论1关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形2圆心在过切点且垂直于切线的直线上3两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.4两圆相切时，切点与两圆心三点共线5两圆不同的位置关系与
2、对应公切线的条数(1)两圆外离时，有4条公切线；(2)两圆外切时，有3条公切线；(3)两圆相交时，有2条公切线；(4)两圆内切时，有1条公切线；(5)两圆内含时，没有公切线 考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(5)“m0”是“直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切”的充分不必要条件()答案(1)
3、(2)(3)(4)(5)2课本改编直线l：xy10与圆C：x2y24x2y10的位置关系是()A相离 B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆心答案D解析圆的方程化为(x2)2(y1)24，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为2，所以直线l与圆相交又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心故选D.3在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长为()A3 B2 C. D1答案B解析圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，因为222123，所以|AB|2.4课本改编圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dx
4、y20答案D解析圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.52018重庆模拟圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切答案B解析圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22，故两圆的圆心距d，而r2r11，r1r23，则有r2r1dr1r2，故两圆相交62018温州十校联考对任意的实数k，直线ykx1与圆C：x2y22x20的位置关系是()A相离 B相切C相交 D以
5、上三个选项均有可能答案C解析直线ykx1恒经过点A(0，1)，圆x2y22x20的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|0，所以直线l与圆C相交故选A.解法二：因为圆心(0,1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交选A.解法三：直线l：mxy1m0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C：x2(y1)25的内部，所以直线l与圆C相交故选A.触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法： (2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离【变式训练1】2018深圳模拟已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离
6、 D不确定答案B解析因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d4，所以点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.所以切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.因为|MC|，所以过点M的圆C的切线长为1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x
7、y0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr2.(4)过圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|.(5)过圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(6)若圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则过圆外一点P(x0，y
8、0)的切线长d.【变式训练2】2015广东高考平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析设与直线2xy10平行的直线方程为2xym0(m1)，因为直线2xym0与圆x2y25相切，即点(0,0)到直线2xym0的距离为，所以，|m|5.故所求直线的方程为2xy50或2xy50.命题角度2圆的弦长问题例3过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为()A5x12y200B5x12y200或x40C5x12y200D5x12y200或x
9、40答案B解析圆的标准方程为(x1)2(y2)225，由|AB|8知，圆心(1,2)到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x4时，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.则有3，k.此时直线l的方程为5x12y200.命题角度3圆中的最值问题斜率型最值例4已知实数x，y满足方程x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_答案解析原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图)，此时，解得k.所以的最大值为，最小
10、值为.截距型最值例52018郑州模拟已知实数x，y满足x2y24(y0)，则mxy的取值范围是()A(2，4) B2，4C4,4 D4,2答案B解析由于y0，所以x2y24(y0)为上半圆. xym0是直线(如图)，且斜率为，在y轴上截距为m，又当直线过点(2,0)时，m2，所以即解得m2，4，选B.触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子函数关系
11、式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值【变式训练3】2015江苏高考在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案(x1)2y22解析解法一：设A(1,0)，由mxy2m10，得m(x2)(y1)0，则直线过定点P(2，1)，即该方程表示所有过定点P的直线系方程当直线与AP垂直时，所求圆的半径最大此时，半径为|AP|.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.解法二：设圆的半径为r，根据直线与圆相切的关系得r，当m0时，10时，m212m(当且仅当m1时取等号)所以r，即rmax，故半径最大的圆的方程为(x1)2y
