1、18版高中数学第二章解析几何初步疑难规律方法学案北师大版必修2第二章 解析几何初步1要点解读1.直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.解读(1)直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线.这样定义可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角.(2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角.(3)不同的直线可以有相同的倾斜角.(4)直线的倾斜角直观地描述了
2、直线相对x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率我们把一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即ktan .经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.解读(1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒.(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x轴.(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便.(4)当x1x2，y1y2时直线没有斜率.3.两条直线平行的判定对
3、于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2k1k2.解读(1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在.(2)当两条直线的斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90，此时也有l1l2.4.两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21.解读(1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率.(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.2直线斜率的三种求法直线的斜
4、率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线与直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础.一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD的ADC120，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率.分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式ktan .解在菱形ABCD中，ADC120，BAD60，ABC120.又菱形的对角线互相平分，BAC30，DBA60.DBx180DBA120.kACtan 30，kBDtan 120.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确
5、定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.二、利用两点斜率公式例2直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l重合，求直线l的斜率k.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率.解设P(x，y)是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q(x4，y3).Q点也在直线l上，k.评注本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x，y)沿x轴正方向平移a个单位，再沿y轴
6、正方向移动b个单位，坐标由(x，y)变为(xa，yb).直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2，y1y2，则倾斜角等于90，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在.三、利用待定系数法例3如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率.分析本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直线l的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.解设直线l的方程为ykxb.把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y1k(x3)b，即ykx3kb1.由条件，知ykx3kb1与ykxb为同一条直
7、线的方程.比较系数，得b3kb1，解得k.评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.3直线方程形式的相互转化直线方程的五种形式之间密切相关，可以进行相互转化.一、一般式方程转化为斜截式方程例1已知直线方程为3x4y60，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.分析只需把已知直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，根据直线的斜截式方程可以直接判断出对应直线的斜率与在y轴上的截距.解由3x4y60，可得4y3x6，即yx.根据直线的斜截式方程，可以得出此直线的斜率为，此直线在y轴上的截距为.评注在直线的斜截式方程ykxb中，非常直观地表示了该直线对应的斜率为k，该
8、直线在y轴上的截距为b.二、一般式方程转化为截距式方程例2求直线axby10(a0，b0)与两坐标轴所围成的三角形的面积.分析只需把已知直线的一般式方程转化为直线的截距式方程，根据直线的截距式方程可以直接判断出对应直线在相应坐标轴上的截距，再求解对应的三角形面积.解由直线axby10(a0，b0)，可得1.根据直线的截距式方程，可以得出此直线在x轴，y轴上的截距分别为，.所以对应的三角形面积为S|.评注在直线的截距式方程1(a0，b0)中，方程的左侧为两个分式的和，右侧为常数1，其中的a，b分别为直线在x轴，y轴上的截距.要正确理解截距的定义，但要注意在x轴，y轴上的截距分别表示的是直线与x轴
9、，y轴交点的横、纵坐标.三、斜截式方程转化为点斜式方程例3直线ymx3m2(mR)必过的定点为_.分析只需把已知直线的斜截式方程转化为直线的点斜式方程，根据直线的点斜式方程可以直接判断出对应直线所过的定点.解析由ymx3m2，可得ym(x3)2，即y2m(x3)，根据直线的点斜式方程，可以得出此直线必过的定点为(3,2).答案(3,2)评注在直线的点斜式方程yy0k(xx0)中，表示恒过定点(x0，y0)的一系列直线.在解答此类问题时，也可以通过参数的两个不同取值，通过求解两特殊直线的交点来达到确定定点的目的.四、一般式方程转化为点斜式方程例4已知直线l的方程为(k1)x(k1)y2k0，求证
10、：无论k取何实数时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标.分析只需把已知直线的一般式方程转化为直线的点斜式方程，即可判断出对应的定点.证明由直线l的方程(k1)x(k1)y2k0，可得(k1)x(k1)y2k，则(k1)xk(k1)yk，亦即(k1)x(k1)(k1)y(k1).当k1时，y1(x1)，根据直线的点斜式方程可得直线l必过定点(1，1)；当k1时，直线l的方程为x1，亦必过定点(1，1).综上所述，无论k取何实数时，直线l必过定点(1，1).评注在解答有关直线过定点的问题中，经常利用直线的点斜式方程来解决.直线方程的五种表达式都有着各自的长处和不足，在求解有关的直线方程时，一定要
11、注意各自方程形式的局限之处.4直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1已知直线方程为3xmy60，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.错解由3xmy60，得my3x6，即直线的斜截式方程为yx，得出此直线的斜率为，在y轴上的截距为.剖析忘记讨论当m0时，直线的斜率并不存在.正解当m0时，直线可化为x2，此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在；当m0时，可得my3x6，即直线的斜截式方程为yx，得出此直线的斜率为，在y轴上的截距为.评注在直线的斜截式方程ykxb中，非常直观地表示了该直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.研究直线的斜率与在y轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线
12、的斜截式方程来处理.但要注意当y的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论.二、两点式中分式“缺陷”例2已知直线l过点A(1,2)，B(a,3)，求直线l的方程.错解由两点式，得直线l的方程为.剖析忽视了a1，即直线与x轴垂直的情况，若a1，则不成立.正解当a1时，直线l的方程为x1；当a1时，直线l的方程为.综上所述，知直线l的方程为x(a1)(y2)10.评注一般地，过P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点的直线方程，不能写成，而应写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0.三、截距式中截距“缺陷”例3求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程.错解设直线的
13、方程为1.因为直线过点(2,4)，所以1，解得a2.故所求的直线方程为1，即xy20.剖析直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解.正解当直线的截距均不为0时，同错解；当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k2，直线的方程为y2x，即2xy0.故所求的直线方程为2xy0或xy20.评注事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m(m0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况.四、一般式中系数“缺陷”例4如果直线(m1
14、)x(m24m3)y(m1)0的斜率不存在，求m的值.错解因为直线的斜率不存在，所以m24m30.解得m3或m1.所以当m3或m1时，直线的斜率不存在.剖析由于方程AxByC0表示直线，本身隐含着(A，B不同时为0)这一条件.当m1时，方程(m1)x(m24m3)y(m1)0即为0x0y00，它不表示直线，应舍去.正解因为直线的斜率不存在，所以m24m30，且m10，解得m3.所以当m3时，直线的斜率不存在.评注方程AxByC0(A，B不同时为0)才叫作直线的一般式方程，才表示一条直线.5突破两条直线的位置关系在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型.下面举例说明.题型一根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值.例1已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.试求m为何值时，l1与l2：(1)平行？
