1、第四章圆与方程第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程1设圆的圆心是A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是_，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是_2设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外_；点P在圆上_；点P在圆内_1点(sin ，cos )与圆x2y2的位置关系是()A在圆上 B在圆内 C在圆外 D不能确定2已知以点A(2，3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，7)与圆O的位置关系是()A在圆内 B在圆上 C在圆外 D无法判断3若直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)21的圆心位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4圆(x
2、3)2(y4)21关于直线yx对称的圆的方程是()A(x3)2(y4)21 B(x4)2(y3)21 C(x4)2(y3)21 D(x3)2(y4)215方程y表示的曲线是()A一条射线 B一个圆 C两条射线 D半个圆6已知一圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上则此圆的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213 C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)2527已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，4)，则这个圆的方程是_8圆O的方程为(x3)2(y4)225，点(2,3)到圆上的最大距离为_9如果直线l将圆(x1)2
3、(y2)25平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_10已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，2)，且圆心C在直线l：xy10上，求圆心为C的圆的标准方程11已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程12已知圆C：(x)2(y1)24和直线l：xy5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值13已知点A(2，2)，B(2,6)，C(4，2)，点P在圆x2y24上运动，求|PA|2|PB|2|PC|2的最值1点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0a)2(y0b)2与r2比较2求
4、圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径3与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解4.1.2圆的一般方程1圆的一般方程的定义(1)当_时，方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程，其圆心为_，半径为_(2)当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示点_(3)当_时，方程x2y2DxEyF0不表示任何图形2由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外xyDx0Ey0F_
5、0点M在圆上xyDx0Ey0F_0点M在圆内xyDx0Ey0F_01圆2x22y26x4y30的圆心坐标和半径分别为()A和 B(3,2)和 C和 D和2方程x2y24x2y5m0表示圆的条件是()A m1 Cm Dm13M(3,0)是圆x2y28x2y100内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是()Axy30 Bxy30 C2xy60 D2xy604圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为()A2 B C1 D5已知圆x2y22ax2y(a1)20(0a1)，则原点O在()A圆内 B圆外 C圆上 D圆上或圆外6若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是()Axy0 B
6、xy0 Cx2y20 Dx2y207如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，圆心坐标为_8已知圆C：x2y22xay30(a为实数)上任意一点关于直线l：xy20的对称点都在圆C上，则a_9已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_10平面直角坐标系中有A(1,5)，B(5,5)，C(6，2)，D(2，1)四个点能否在同一个圆上？11如果方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490表示一个圆(1)求t的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围12求经过两点A(4,2)、B(1,3)，且在两坐标轴上的
7、四个截距之和为2的圆的方程13求一个动点P在圆x2y21上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程1圆的一般方程x2y2DxEyF0，来源于圆的标准方程(xa)2(yb)2r2在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件2圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程3涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤4.2.1直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数_个_个_个判定方法几何法：设圆心到直线的距离dd_rd_rd_
8、r代数法：由消元得到一元二次方程的判别式_0_0_01直线3x4y120与C：(x1)2(y1)29的位置关系是()A相交并且过圆心 B相交不过圆心 C相切 D相离2已知圆x2y2DxEyF0与y轴切于原点，那么()AD0，E0，F0 BD0，E0，F0CD0，E0，F0 DD0，E0，F03圆x2y24x4y60截直线xy50所得弦长等于()A B C1 D54圆x2y22x4y30上到直线l：xy10的距离为的点有()A1个 B2个 C3个 D4个5已知直线axbyc0(abc0)与圆x2y21相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角
9、形 D不存在6与圆x2y24x20相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有()A1条 B2条 C3条 D4条7已知P(x，y)|xy2，Q(x，y)|x2y22，那么PQ为_8圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为_9P(3,0)为圆C：x2y28x2y120内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是_10求过点P(1,5)的圆(x1)2(y2)24的切线方程11直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交，截得的弦长为4，求l的方程12已知点M(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为axbyr20，则()Alg且与圆相离 Blg且与圆
10、相切 Clg且与圆相交 Dlg且与圆相离13已知直线x2y30与圆x2y2x2cyc0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OAOB，求实数c的值1判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷2一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l|x1x2|3研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上当点在圆上，切线只有一条；当点
11、在圆外时，切线有两条4.2.2圆与圆的位置关系圆与圆位置关系的判定有两种方法：1几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2|r1r2|d_d0，且MNN，则r的取值范()A(0，1) B(0,1 C(0,2 D(0,27两圆x2y21和(x4)2(ya)225相切，则实数a的值为_8两圆交于A(1,3)及B(m，1)，两圆的圆心均在直线xyn0上，则mn的值为_9两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长为_10求过点A(0,6)且与圆C：x2y210x10y0切于原点的圆的方程11点M
12、在圆心为C1的方程x2y26x2y10上，点N在圆心为C2的方程x2y22x4y10上，求|MN|的最大值12若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为_13已知点P(2，3)和以点Q为圆心的圆(x4)2(y2)29(1)画出以PQ为直径，Q为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q为圆心的圆和以Q为圆心的圆的两个交点A，B直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB的方程1判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判
13、断2两圆的位置关系决定了两圆公切线的条数3两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程4.2.3直线与圆的方程的应用1实数x，y满足方程xy40，则x2y2的最小值为()A4 B6 C8 D122若直线axby1与圆x2y21相交，则点P(a，b)的位置是()A在圆上 B在圆外 C在圆内 D都有可能3如果实数满足(x2)2y23，则的最大值为()A B C D4一辆卡车宽27米，要经过一个半径为45米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过()A14米 B30米 C36米 D45
14、米5已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是()A3 B3 C3 D6已知集合M(x，y)|y，y0，N(x，y)|yxb，若MN，则实数b的取值范()A3，3 B3,3 C(3,3 D3，3)7由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_8在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_9如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB2两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是_10如图所
15、示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O24过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|PN|试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程11自点A(3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切，求光线l所在直线的方程12已知圆C：x2y22x4y40，是否存在斜率为1的直线l，使得l被C截得的弦AB为直径的圆经过原点若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由1利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都
16、离不开转化与化归所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化归结为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识2利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题 4.3.1空间直角坐标系1如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA、OC、OD的方向为正方向，以线段OA、OC、OD的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个_，其中点O叫做_，x轴、y轴、z轴叫做_，通过每两个坐标轴的平面叫做_，分别称为
17、_，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即_指向x轴的正方向，_指向y轴的正方向，_指向z轴的正方向2空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_1在空间直角坐标系中，点A(1,2，3)关于x轴的对称点为()A(1，2，3) B(1，2,3) C(1,2,3) D(1,2，3)2设yR，则点P(1，y,2)的集合为()A垂直于xOz平面的一条直线 B平行于xOz平面的一条直线C垂直于y轴的一个平面 D平行于y轴的一个平面3结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐
18、晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)其中实圆代表钠原子，空间圆 代表氯原子建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是()A B(0,0,1) C D4在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为()A(3,4,5) B(3，4,5) C(3，4，5) D(3,4，5)5在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(2，3，4)两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于yOz平面对称 C关于坐标原点对称 D以上都不对6点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A B|a| C|b| D|c|7在空间直角坐标系中，下列说法中：
19、在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)其中正确说法的序号是_8在空间直角坐标系中，点P的坐标为(1，)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标_9连接平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的线段P1P2的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点M的坐标为_10已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点，且正方体棱长为1请建立适当坐标系，写出正方体各顶点
20、及E、F、G的坐标11如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(2，3，1)，求其他七个顶点的坐标1点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z轴交点的竖坐标为该点的竖坐标2明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”点(x，y，z)关于xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴，原点的对称点依次为(x，y，z)，(x，y，z)，(x，y，z)，(x，y，z)，(
21、x，y，z)，(x，y，z)，(x，y，z)点(x，y，z)在xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴上的投影点坐标依次为(x，y,0)，(0，y，z)，(x,0，z)，(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)4.3.2空间两点间的距离公式1在空间直角坐标系中，给定两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|_特别地：设点A(x，y，z)，则A点到原点的距离为：|OA|_2若点P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)，则|P1P2|_3若点P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)，则|P1P2|_1若A(1,3，2)、B(2,3,2)，则A、B两点
22、间的距离为()A B25 C5 D2在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A9 B C5 D23到点A(1，1，1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足()Axyz1 Bxyz0 Cxyz1 Dxyz44已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是()AA、B、C三点可以构成直角三角形 BA、B、C三点可以构成锐角三角形CA、B、C三点可以构成钝角三角形 DA、B、C三点不能构成任何三角形5已知A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当
23、|AB|取最小值时，x的值为()A19 B C D6点P(x，y，z)满足2，则点P在()A以点(1,1，1)为球心，以为半径的球面上 B以点(1,1，1)为中心，以为棱长的正方体内C以点(1,1，1)为球心，以2为半径的球面上 D无法确定7在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A(3，1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为_8已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，7)，B(2,4,3)，则z_9在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_10在xOy平面内的直线xy1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小11如图所示，BC4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(，0)，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30，求AD的长度空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y
