1、基于能力点在教学中应用的教学设计高中数学基于能力点在教学中应用的教学设计高中数学有效实施教学是课堂教学研究的热点问题.国家新颁布的中学教师专业标准将“有效实施教学”作为教师专业标准的基本要求.根据多年的数学教研实践，笔者认为，优化教材内容，是有效实施教学的一个重要因素.研究表明，优秀教师与一般教师一个重要的区别在于教学内容的组织.在高中数学教学中，教师只有基于教材、善于优化教材，把握学科本质，才能有效实施教学.本文就高中数学如何基于教材进行有效教学设计做初步探讨.一、基于教材的高中数学有效教学设计的内涵所谓基于教材的有效教学设计，就是深入到学科领域，关注数学教学内容的设计，深刻理解和把握高中数
2、学教材各部分内容之间内在的逻辑关系，善于运用能够揭示数学教学内容本质特征的典型材料，从学生的实际情况出发重新组织教材，通过优化教材内容促进有效教学.基于教材的有效教学设计，是教师在深度掌握高中数学知识和高中数学教学知识的基础上，充分挖掘课程资源，对数学教材内容进行深度加工、二度开发的过程.二、基于教材的高中数学有效教学设计的要素课堂教学是个复杂的系统，影响教学效果的因素很多，基于教材的有效教学设计必须充分挖掘以下要素。1.挖掘教材内容的激发学习兴趣因素学习兴趣是学习的根本动力.优秀教师不是在于能教数学，而是在于关心如何增强学生的学习动机和兴趣，激发学生自己去学习数学.结合多年的数学教研实践，笔
3、者认为，挖掘教材内容的激发学习兴趣因素，应该把握住三点：其一，让学生真正学进去，学会了才会逐渐产生兴趣.为此，要把握好教学内容的难度，要控制在学生“最近发展区”所能达到的那种难度上.其二，重视独立思考.数学学习的最基本特点之一就是独立思考.只有当学生通过独立思考建立起自己的数学理解力时，才会对数学产生兴趣，才能真正学好数学.其三，在设计教学的过程中，尽可能地通过数学的语言美、思维美、思想美、方法美、图形美、结论美、结构美等数学美学因素感染学生，让学生切身感受到数学无穷的魅力.以等差数列的求和公式推导为例。关于等差数列的求和公式推导，教材中往往是从欲求堆放在地上呈现为梯形状的铜管数目人手的，从这
4、里通过图形观察，发现它与梯形相似（图形相似），进而观察等差数列的求和公式，它恰好与梯形的面积公式相似（结构相似）.因此在教学设计时，便可考虑用梯形的知识以及解决梯形面积的方法去处理等差数列求和公式的推导.事实上，在这堆铜管旁边倒放同样的一堆铜管（示意图如图1所示），立即得Sn.=12（a1+a2）n 这样，就建立了等差数列求和公式的一个几何模型，不仅使公式推导简单，而且公式可以与梯形面积公式对照，便于记忆.更深层次地看，这个过程还揭示了无限（面积）与有限（铜管数）之间的辩证关系.这里，充分展现了数学的思维美、思想美、方法美、图形美、结论美、结构美。这样分析处理教材，就会使学生在学习数学知识的同
5、时感受到数学的魅力，无疑会激发学生的学习兴趣.2.挖掘教材内容的新旧知识联系因素奥苏贝尔认为，当学生把教学内容与自己的认知结构联系起来时，意义学习便发生了。学习实质上是新旧知识相互作用并建立起联系的过程.基于教材的有效教学设计，教师要做的一项最基本的工作就是使新知识与学生头脑里已有的适当知识、经验建立实质性的联系.以现行高中数学人教B版教材选修2-3中的“条件概率”为例.教材一般都是通过具体的例子验证得出条件概率公式.笔者认为，由具体的例子验证得出公式缺少新旧知识间的联系，学生不能真正理解公式，容易造成机械记忆.这个公式的教学要抓住条件概率与古典概型的关系，从古典概型出发，通过运用概率的古典定
6、义得出条件概率公式.可这样来处理：对于一般的古典概型，设试验的基本事件总数为n，事件A、B包含的基本事件数分别为n，和ng，A、B同时发生即事件AB包含的基本事件数为nas，在B已经发生的条件下，即在B中的ng个基本事件中同时又属于A的nm想个基本事件中的某一个出现时A才发生，由概率的古典定义可知P（A|B）=a.于ng几AB是可得P（A|B）=M=（AB）.neP（B）3.挖掘教材内容的数学思维训练因素数学思维是人脑对数学对象（数量关系、空间形式、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动.培养学生的数学思维能力是数学教学的核心问题.如何挖掘高中数学
7、教材的思维训练因素笔者认为，在高中数学教学中，强化数学思维训练的主要目的应该是让学生学会基本的数学思维方法，提升数学思维品质.为此，挖掘教材数学思维训练因素，应把着力点放在思维过程上.思维的过程也是基本的思维方法.在数学概念、命题的教学中，让学生经历、体验思维过程，重视观察与实验、归纳与演绎、比较与分类、分析与综合、抽象与概括、特殊化与一般化、联想与猜想等基本的数学思维方法的训练.其中概括能力是数学思维能力的基础，概括水平是衡量思维水平的重要标志，所以，数学教学设计的核心是设计概括过程：根据数学知识的发生发展过程设计课堂教学进程，以问题引导学习，尽量采用归纳式，让学生经历概念的形成过程、命题的
8、产生过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题被提出的过程和规律被揭示的过程.例如，在椭圆的离心率的教学中，应充分暴露思维过程，教师可提出问题，然后让学生通过观察与实验、分析、概括得出结论.问题：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？思维过程：因为椭圆上所有点都在|xla，ly|b（ab）这样一个矩形内，所以椭圆就是一个被压扁了的圆.那么扁的程度怎么表示？因为椭圆在一个矩形|x|sa，ly|sb内，且与之相切，所以矩形的扁平程度即为椭圆的扁平程度，所以自然想到用表示其扁平率。习惯上，总是认为扁平率越大，就应该越扁，但这与色越小越扁不符
9、，所以做一个简单的变换，用e=Vi-（2）=S来代替，这样如越小，e越大，表明椭aa圆越扁，也就是c越接近a，椭圆越扁平。这样，利用c和a这两个量，就可以刻画椭圆的扁平程度.这样教学，不是直接从研究a和c的数量关系出发，而是寻找制约椭圆扁平程度的源头，让学生经历结论的形成过程，使学生在学习知识的过程中思维能力得到培养.4.挖掘教材内容的数学思想方法因素数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点.它在认识活动中被反复运用，具有普遍的指导意义.数学方法是指从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等.
10、数学思想通常表现为数学方法的形成，所以通常把二者统称为“数学思想方法”。数学思想方法是数学知识内容的精髓.数学思维能力是通过数学思想方法为媒介来制约数学思维活动的.在获取具体数学知识的过程中，只有通过数学思想方法才能形成和发展数学思维能力.由于在高中数学概念和原理的形成过程中蕴含着丰富的数学思想方法，因此，挖掘教材内容的数学思想方法因素的一个基本点，就是深入挖掘概念和原理教学中所蕴含的数学思想和方法例如，在学习对数的运算法则时，不仅要引导学生归纳发现或推导出法则，最重要的一点，就是要逐渐明示其运算法则中蕴含的转化思想，即对数式与指数式的互相转化，这是得出运算法则的关键，教学中必须紧紧抓住这一点
11、.以积的对数为例。已知：logM，log.N（M，N0），求log.（MN）.解：设logM=p，log.N=a，由对数定义，得M=，N=.（把对数式转化为指教式，以便利用指数的运算法则.）所以MN=d=d0*v.（再把指数式还原为对数式.）由对数定义，得log.（MN）=p+g=log.M+logN.5.挖掘教材内容的数学知识结构因素知识结构包含两个基本要素：一是最基本的知识；二是其他知识与最基本知识的联系.所谓掌握知识结构，实质上就是掌握这两个基本要素.真正的结构是以思维为基础的，而思维是以追问事物之间的本质性的联系为本质特征的.强调学科基本结构的教学，可以帮助教师以学科的基本观念、关键概
12、念和方法论原理建构和组织学科内容，从而方便学生真正理解和把握整个学科的基本结构.知识结构的建构要从学习的起点开始，应该贯穿教学的始终.教学中，要注重挖掘知识组织的层次性与结构性，要注意由一些核心的概念将相关的知识点统领在一起，相应的概念点互相联系，体现知识的贯迪性，挖掘高中数学教材中的知识结构因素，除了对教学内容作深层次结构分析之外，还要加密或延拓知识网.所谓加密知识网，就是指用例题、习题或者是添加一些必要的知识点，去沟通某些知识点之间的联系，增多原知识网中的连线数目，从而也就增大了原知识网的连通度例如，学完二次函数和一元二次不等式之后，可安排“不等关系恒成立问题”的习题课，如“当x=-1，3
13、时，不等式x2x-a-10恒成立，求a的最大值和最小值”.利用习题添加知识点，沟通“三个二次”之间的联系，使学生形成完整的知识结构.6.挖掘教材内容的数学典型范例因素研究表明，拔尖学生反应快的原因之一，是大脑中储存了许多定理之外的基本问题，从定理中引申出来，或从典型题中抽取出来的基本问题，把这些基本问题称作数学思维模块或思维反应块。当他们遇到新问题时，典型范例（反应块）起着诱导作用，由当前问题与典型范例的相似性，联想到解决这类问题的模式，从而提取模式来解决当前的问题.如何建立思维反应块？那就是：在教学中，注意抓共同因素.共性是产生迁移的客观条件，共同性质越多，越容易产生迁移.为此，基于教材的有
14、效教学设计，应重视典型范例教学，提升典型范例教学水平，在例题和习题的选择上下功夫，精选那些蕴含数学通性通法等共同因素的题目进行训练，注重归纳和概括它们的共性，提取解题思维模式，使学生在头脑中建立思维反应块，提高解题能力.例如，对于等比数列；a，的求和问题：S.=a1+a2+a.=a1+ag+ang-t，可以在等式两边同时乘以g，得9S。=a1g+ang2+?ang.然后两式相减即可求得等比数列的前n项和公式.这种方法具有一定的普遍意义，在教学中应以求等比数列前n项和公式的推导为典型范例，让学生掌握这一方法，在遇到诸如下面一些数列的求和问题时，能用这一模式去解决问题：求和：5.=1x号+3x号+
15、5x号+?（2n-1）x求和：S.=x+3x2+5x3+?（2n-1）xm.7.挖掘教材内容的数学文化因素现代数学观认为，数学不再看作是符号、公式、逻辑的抽象形式的堆砌，而是具有人文价值的精神财富.数学学习除掌握数学知识、学会解题之外，应当受到数学的文化熏陶，得到人文感染，欣赏数学美学，从而达到提高数学素养的目的.因此，基于教材的有效教学设计，还要注意从数学文化的角度重新审视教材、分析和处理教材.笔者认为，高中数学文化的主要内容有数学的思想、精神、观点、方法、语言，以及数学史、数学家、数学美、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系等。基于数学文化的教学，要求教师通过数学文化素材的运用、具体教学
16、方法的选择、文化情境的设置等方面引导学生感受数学精神，认识数学价值，理解数学思想，审视数学科学与人文的双重属性，感悟数学超越科学主义的文化意义，培养其理性精神、创新精神和独立人格。例如，在“正弦定理和余弦定理”的教学中，教师要不失时机地挖掘数学的美学因素，渗透数学的对称美、和谐美。在这里，正弦定理公式、余弦定理公式和三角形面积公式都是对称的。在定理证明的过程中，得出a=5之后，显然能够sin A sin B猜到一定还会有Q=“；由=b2+c2-2bccosA，S=sinA sin C besin A，就会猜到必分别有对称的另两个结论。这样，不但有利于学生理解和记忆公式，还会使学生在知识的学习过
17、程中享受数学美学文化。8.挖据教材内容的认知过程因素就高中数学教学内容而言，主要有概念教学、命题教学和问题解决教学，不同类型的知识其性质有别，获取路径自然不同，这就规定了其教学方式的差异性.因此，基于教材的有效教学设计，应注意挖掘教材内容的认知过程因素.教师要了解学生在学习具体内容时的认知特点，掌握针对具体内容进行教学的方法与策略，遵循数学知识学习的一般规律科学设计教学过程.拿数学概念教学来说，由于获得概念的主要方式是概念的形成和概念的同化，因此，数学概念的教学主要采取两种模式（1）概念形成的教学模式.概念的形成是由特殊到一般、由具体到抽象的过程，因此，对于初次接触或较难理解的概念，可以采用概
18、念形成的方式进行学习.辨别刺|比较|找出共|抽象|确认本|概括|形成|激模式|类比|同属性|检验|质属性|概念|（2）概念同化的教学模式.概念的同化实质上是学习者利用已掌握的概念去理解新概念，或者对原有的概念重新加工整理的过程，它是一种有意义的学习。|提供|解释定义辨别例证|运用|定义|突出关键属性|促进迁移|概念图2此外，研究知识点的多元表征和变式教学，也是优化教材内容的重要策略，限于篇幅，本文不再赘述.三、基于教材的高中数学有效教学设计的实际操作问题化学习是有效学习的一条重要路径，它是一种通过系列问题的推动来实现持续性学习的活动，因此，笔者主张基于教材的有效教学设计应该以问题为载体，将上述
19、因素的深刻挖掘体现于精心设计的系列问题之中，在问题设计中凸显这些因素.在数学教学中，这些因素一般不是孤立存在的，而是有机联系的，这就要求在教学设计的过程中不但要挖掘这些因素，而且还应注意各因素之间的内在关联性，通过构造问题链、问题网达到各因素之间的有机融合，进而实现优化教材的目的.下面，以现行高中数学教材人教B版必修3中“用样本标准差估计总体标准差”的教学设计片断为例，就如何以问题为载体，基于教材进行有效教学设计加以说明.问题1：有两位射击运动员在一次选拔性射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677如果你是教练，要选拔一名运动员参赛，你应当如何做
20、出选择？【说明】这里，将问题作为教学的出发点，其目的：一是激发学习兴趣，二是将学习内容和学生的经验建立联系，三是通过实际问题渗透数学应用文化，四是诱发数学思维.由于这个问题没有脱离学生的生活经验，学生凭借经验，很容易根据平均成绩做出判断.但经过计算，两个人的平均成绩都等于7.通过此例，挖掘了教材内容的激发学习兴趣因素、新旧知识联系因素、思维训练因素和数学文化因素.问题2：如果两位选手的平均成绩一样，你依据什么进一步做出选择？【说明】这个问题的提出，是用样本标准差估计总体标准差这一数学思想方法形成的基础，在这里，重视了数学思想方法的形成过程.凭经验，学生不难得出要将发挥是否稳定作为选择标准，即考
21、查数据的波动大小或离散程度。问题3：你将如何考查数据的离散程度？【说明】这个问题的提出，是将新知识与学生头脑中已有的适当知识、经验建立实质性联系的关键点.同时，没有问题就没有思维，通过基于问题链的具有内在联系的问题系统来优化知识结构，优化学习过程.在教师的启发下，学生通过自主、探究、合作学习，凭借经验和恰当的思维诱导，会得出以下两种判断方法：假设样本数据是x1，2，x，元表示这组数据的平均数.其一：考查样本数据到平均数的平均距离，即s=ln-+lx-x1+lx.其二：考查样本数据到平均数的距离的平方的平均数（初为s2=1（x-x）2+（x一x）+（x，一x）.目问题4：在上面的两个式子中，第一
22、个式子出现了绝对值，要第二个式子出现了平方.为什么不直接计算每个数据与其平均数之夕的差的平均数，即计算（i-五）+（x-2）+（x-），教这种做法可行吗？存在什么问题？特通过学生探究不难得出：这种做法不可行，因为不论这组数据是什么具体数值，总有：（x1-x）+（xx-7）+（x.-）xi+xo+so-ni x-x=0.【说明】通过对活动过程的析离，在前后知识之间进行适当的变式铺垫，使学生分步思考问题、解决问题，从而促进学生的数学理解和数学活动的展开。问题5：两个判断方法的本质特征是什么？【说明】数字教字，一足妥抓任数字本质特征。这里的本质特征是用样本数据到平均数的距离的平均数的大小刻画稳定程度
23、，实质上还是用平均数来刻画，这个问题的提出，不但使学生能够抓住数学的本质，而且给学生提供了进行观察、联想、分析、比较、归纳、抽象和概括等数学思维的机会.问题6：在上面两个式子中，第一个式子含有绝对值，运算不太方便；第二个式子也有局限性，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离散的程度，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位.如何解决方差的这个局限性？探究讨论，不难得出：取方差的正的平方根，即s=VST=1VG-207+（0-7）2+（G-8）n这样，就得出样本标准差的概念和公式.【说明】这个问题的设计，充分重视了标准差这一数学概念的形成过程，培养了学生的直觉思维和想
24、象能力。问题7：方差和标准差与平均数、众数、中位数的本质区别是什么？通过比较和归纳，最后得出：平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的量，而方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数.其中，众数的大小只与这组数据中的部分数据有关；中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它是没有影响的；平均数、方差和标准差的大小与一组数据都有关系.【说明】这一问题的提出非常重要，既抓住了数学的本质，又对知识结构进行了及时梳理.上述七个问题一气呵成，环环相扣.通过将教材内容进行加工处理，构造了具有启发性的问题串，给学生营造独立思考的机会，激发了学生的学习兴趣，使教学内容与学生已有的知识和经验建立了实质性的联系；遵循数学概念和原理学习的认知特点，将数学思维训练、数学思想方法和数学文化的渗透融为一体；突出J效字问题解决相数字教学的思维特点，抓住数学学习的本质，基本实现了优化教材内容、促进有效学习的目的.实施有效教学是教学永恒的话题，随着课改的推进，我们要不断深化对教学的认识，避免高中数学教学游离于学科本质之外现象的发生，回归高中数学教学的本真，基于教材、挖掘教材、优化教材，不断地进行探索、总结，努力构建具有中国特色的高中数学有效教学新体系.
