1、全称量词和特称量词31全称量词与全称命题32存在量词与特称命题明目标、知重点1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假1全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词含有全称量词的命题，叫作全称命题2存在量词与特称命题在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词含有存在量词的命题，叫作特称命题探究点一全称量词与全称命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x3；(2)2x1
2、是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)对任意一个xZ,2x1是整数答语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题思考2如何判定一个全称命题的真假？答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素
3、x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(即举反例)例1判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意xR，x211；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数解(1)2是素数，但2不是奇数所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题(2)任意xR，总有x20，因而x211.所以，全称命题“任意xR，x211”是真命题(3)是无理数，但()22是有理数所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)任意xR，x
4、220；(2)任意xN，x41.(3)对任意角，都有sin2cos21.解(1)由于任意xR，都有x20，因而有x2220，即x220，所以命题“任意xR，x220”是真命题(2)由于0N，当x0时，x41不成立，所以命题“任意xN，x41”是假命题(3)由于任意R，sin2cos21成立所以命题“对任意角，都有sin2cos21”是真命题探究点二存在量词与特称命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x13；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0R，使2x013；(4)至少有一个x0Z，使x0能被2和3整除答(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题
5、语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题小结“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题思考2怎样判断一个特称命题的真假？答要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题例2判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使x2x030；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(
6、3)有些整数只有两个正因数解(1)由于任意xR，x22x3(x1)222，因此使x22x30的实数x不存在所以，特称命题“有一个实数x0，使x2x030”是假命题(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可跟踪训练2判断下列命题的真假：(1)存在x0Z，x1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)
7、有一个实数，tan无意义；(4)存在x0R，cosx0.解(1)1Z，且(1)311，“存在x0Z，x1，不存在x0R，使cosx0，原命题是假命题探究点三全称命题、特称命题的应用思考不等式有解和不等式恒成立有何区别？答不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题例3(1)已知关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，求实数a的取值范围；(2)令p(x)：ax22x10，若对任意xR，p(x)是真命题，求实数a的取值范围解(1)关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，(2a1)24(a22
8、)0，即4a70，解得a，实数a的取值范围为.(2)对任意xR，p(x)是真命题对任意xR，ax22x10恒成立，当a0时，不等式为2x10不恒成立，当a0时，若不等式恒成立，则a1.反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别跟踪训练3(1)对于任意实数x，不等式sinxcosxm恒成立，求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sinxcosxm有解，求实数m的取值范围解(1)令ysinxcosx，xR，ysinxcosxsin，又任意xR，sinxcosxm恒成立，只要mm有解，只要m0 D任意xR,2x0答案C解析对于A，当x1时，lgx0，正确；对于B，当x
9、时，tanx1，正确；对于C，当x0时，x30，错误；对于D，任意xR,2x0，正确4用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2.(2)有一个有理数x0满足x3.(3)对任意角，都有sin2cos21.解(1)任意xx|x是凸n边形，x的外角和是2.(2)存在x0Q，x3.(3)任意R，sin2cos21.呈重点、现规律1判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题3要
10、确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题一、基础过关1下列命题：中国公民都有受教育的权利；每一个中学生都要接受爱国主义教育；有人既能写小说，也能搞发明创造；任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是()A1B2C3D4答案C解析命题都是全称命题2下列特称命题是假命题的是()A存在xQ，使2xx30B存在xR，使x2x10C有的素数是偶数D有的有理数没有倒数答案B解析对于任意的xR，x2x1(x)20恒成立3给出四个命题：末位数是偶数的整数能被2整除；有的菱形是正方形；存在实数x，x0；对于任意实数x,2x1是
11、奇数下列说法正确的是()A四个命题都是真命题B是全称命题C是特称命题D四个命题中有两个假命题答案C解析为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题4下列全称命题中真命题的个数为()负数没有对数；对任意的实数a，b，都有a2b22ab；二次函数f(x)x2ax1与x轴恒有交点；任意xR，yR，都有x2|y|0.A1B2C3D4答案C解析为真命题5下列全称命题为真命题的是()A所有的素数是奇数B任意xR，x233C任意xR,2x10D所有的平行向量都相等答案B6下列命题中，真命题是_存在x0，sinx0cosx02；任意x(3，)，x22x1；存在mR，使函数f(x)x2mx(xR)是偶函数；任意x
12、，tanxsinx.答案解析对于，任意x，sinxcosxsin，此命题为假命题；对于，当x(3，)时，x22x1(x1)220，此命题为真命题；对于，当m0时，f(x)x2为偶函数，此命题为真命题；对于，当x时，tanx03，xa恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，3解析对任意x3，xa恒成立，即大于3的数恒大于a，a3.9给出下列四个命题：abab0；矩形都不是梯形；存在x，yR，x2y21；任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于1.其中全称命题是_答案解析省略了量词“所有的”，含有量词“任意”10四个命题：任意xR，x23x20恒成立；存在xQ，x22；存在xR，x210；任意xR,4x
13、22x13x2.其中真命题的个数为_答案0解析x23x20，(3)2420，当x2或x0才成立，为假命题当且仅当x时，x22，不存在xQ，使得x22，为假命题，对任意xR，x210，为假命题，4x2(2x13x2)x22x1(x1)20，即当x1时，4x22x13x2成立，为假命题均为假命题11判断下列命题的真假：(1)对任意xR，|x|0；(2)对任意aR，函数ylogax是单调函数；(3)对任意xR，x21；(4)存在a向量，使ab0.解(1)由于0R，当x0时，|x|0不成立，因此命题“对任意xR，|x|0”是假命题(2)由于1R，当a1时，ylogax无意义，因此命题“对任意aR，函数
14、ylogax是单调函数”是假命题(3)由于对任意xR，都有x20，因而有x21.因此命题“对任意xR，x21”是真命题(4)由于0向量，当a0时，能使ab0，因此命题“存在a向量，使ab0”是真命题12已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式mf(x)0成立，求实数m的取值范围解(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时m4.(2)不等式mf(x)0可化为mf(x)若存在实数x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，所以f(x)min4，所以m4.故所求实数m的取值范围是(4，)三、探究与拓展13若任意xR，函数f(x)mx2xma的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围解当m0时，f(x)xa与x轴恒相交，所以aR；当m0时，二次函数f(x)mx2xma的图像和x轴恒有公共点的充要条件是14m(ma)0恒成立，即4m24am10恒成立又4m24am10是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是(4a)2160，解得1a1.综上所述，当m0时，aR；当m0时，a1,1
