1、直线与平面平面与平面平行的判定附答案直线与平面、平面与平面平行的判定学习目标1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行a思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙
2、述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH平面BCD；(2)BD平面EFGH.证明(1)EH为ABD的中位线，EHBD.EH平面BCD，BD平面BCD，EH平面BCD.(2)BDEH，BD平面EFGH，EH平面EFGH，BD平面EFGH.跟踪训练1在四面体ABCD中，M，N分别是ABD和BCD的重心，
3、求证：MN平面ADC.证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是ABD和BCD的重心，所以BMMPBNNQ21.所以MNPQ.又因为MN平面ADC，PQ平面ADC，所以MN平面ADC.题型二面面平行判定定理的应用例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1BC，B1C1BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EBC1D，又C1D平面ADC1，EB平面ADC1，所以EB平面ADC1.连接DE，同理，
4、EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1BA1A，B1BA1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1EAD，又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E平面ADC1.由A1E平面ADC1，EB平面ADC1，A1E平面A1EB，EB平面A1EB，且A1EEBE，所以平面A1EB平面ADC1.跟踪训练2已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点.求证：(1)E，B，F，D1四点共面；(2)平面A1GH平面BED1F.证明(1)AEB
5、1G1，BGA1E2.又BGA1E，四边形A1EBG是平行四边形，A1GBE.连接FG.C1FB1G，C1FB1G，四边形C1FGB1是平行四边形，FGC1B1D1A1，FGC1B1D1A1，四边形A1GFD1是平行四边形，A1GD1F，D1FEB.故E，B，F，D1四点共面.(2)H是B1C1的中点，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90，B1HGCBF，B1GHCFBFBG，HGFB.又由(1)知，A1GBE，且HGA1GG，FBBEB，平面A1GH平面BED1F.题型三线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的
6、中点，设Q是CC1上的点.问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？请说明理由.解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.理由如下：连接PQ.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，PQDCAB，PQDCAB，四边形ABQP是平行四边形，QBPA.又O为DB的中点，D1BPO.又POPAP，D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.跟踪训练3如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC2FB.M是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM平面AEF？请说明理由.解当M为AC中点时，BM平面AEF.理由如下：方法一如图1，取AE
7、的中点O，连接OF，OM.O，M分别是AE，AC的中点，OMEC，OMEC.又BFCE，EC2FB，OMBF，OMBF，四边形OMBF为平行四边形，BMOF.又OF面AEF，BM面AEF，BM平面AEF.方法二如图2，取EC的中点P，连接PM，PB.PM是ACE的中位线，PMAE.EC2FB2PE，CC1BB1，PEBF，PEBF，四边形BPEF是平行四边形，PBEF.又PM平面AEF，PB平面AEF，PM平面AEF，PB平面AEF.又PMPBP，平面PBM平面AEF.又BM面PBM，BM平面AEF.面面平行的判定例4已知在正方体ABCDABCD中，M，N分别是AD，AB的中点，在该正方体中是
8、否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.解如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：下面以图为例进行证明.如图，取BC的中点E，连接BD，BE，DE，ME，BD，可知四边形ABEM是平行四边形，所以BEAM.又因为BE平面BDE，AM平面BDE，所以AM平面BDE.因为MN是ABD的中位线，所以MNBD.因为四边形BDDB是平行四边形，所以BDBD.所以MNBD.又因为BD平面BDE，MN平面BDE，所以MN平面BDE.又因为
9、AM平面AMN，MN平面AMN，且AMMNM，所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN平面BDE.1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A.不可能作出 B.只能作出一个C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在2.经过平面外两点，作与平行的平面，则这样的平面可以作()A.1个或2个 B.0个或1个C.1个 D.0个3.若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是()A.平行 B.直线在平面内C.相交 D.以上均有可能4.在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面
10、EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G5.梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面的位置关系是_.一、选择题1.下列说法正确的是()若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.A. B. C. D.2.平面与平面平行的条件可以是()A.内有无穷多条直线与平行B.直线a，a，且直线a不在与内C.直线a，直
11、线b，且b，aD.内的任何直线都与平行3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对4.如果直线a平行于平面，那么下列命题正确的是()A.平面内有且只有一条直线与a平行 B.平面内有无数条直线与a平行C.平面内不存在与a平行的直线 D.平面内的任意直线与直线a都平行5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A.BD平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B.EF平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH平面ADC，且四边形EFGH是梯
12、形6.平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为()A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合7.已知直线l，m，平面，下列命题正确的是()A.l，l B.l，m，l，mC.lm，l，m D.l，m，l，m，lmM二、填空题8.三棱锥SABC中，G为ABC的重心，E在棱SA上，且AE2ES，则EG与平面SBC的关系为_.9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，BM平面DE；CN平面AF；平面BDM平面AFN；平面BDE平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是_.10.右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC
13、，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：平面EFGH平面ABCD； PA平面BDG；EF平面PBC； FH平面BDG；EF平面BDG；其中正确结论的序号是_.三、解答题11.如图，在已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMABNNDPQQD.求证：平面MNQ平面PBC.12.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN平面BB1D1D?当堂检测答案1.答案D解析设直线外两点为A、B，若直线ABl，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个
14、平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.2.答案B解析当经过两点的直线与平面平行时，可作出一个平面使.当经过两点的直线与平面相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面相交，不能作出与平面平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.3.答案A解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上.直线BD与平面MNP平行.4.答案A解析如图，EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，EG平面E1FG1，又G1FH1E，同理可证H1E平面E1FG1，又H1EEGE，平面E1FG
15、1平面EGH1.5.答案CD解析因为ABCD，AB平面，CD平面，由线面平行的判定定理可得CD.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EFAD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此都错；正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；是平面与平面平行的判定定理，正确.2.
16、答案D解析对于A项，当与相交时，内也有无数条直线都与交线平行，故A错误；对于B项，当a平行于与的交线时，也能满足，但此时与相交，故B错误；对于C项，当a和b都与与的交线平行时，也能满足，但此时与相交，故C错误；对于D项，内的任何直线都与平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D正确.3.答案C解析侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行.4.答案B解析如图，直线B1C1平面ABCD，B1C1BC，B1C1AD，B1C1EF(E，F为中点)等，平面ABCD内平行于BC的所有直线均与B1C1平行.但AB与B1C1不平行.5.答案B解析易证EF平面BCD.由AEEBAFFD，知
17、EFBD，且EFBD.又因为H，G分别为BC，CD的中点，所以HGBD，且HGBD.综上可知，EFHG，EFHG，所以四边形EFGH是梯形，且EF平面BCD.6.答案C解析若三点分布于平面的同侧，则与平行，若三点分布于平面的两侧，则与相交.7.答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABCD，则AB平面DC1，AB平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF平面AC，B1C1平面AC.EF平面BC1，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证ADB1C1，AD平面AC，B1C1平面BC1，又平面AC
18、与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.二、填空题8.答案平行解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为ABC的重心知AGGF2，又AEES2，EGSF，又SF平面SBC，EG平面SBC，EG平面SBC.9.答案解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.10.答案解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.三、解答题11.证明因为PMMABNNDPQQD，所以MQAD，NQBP.因为BP平面PBC，NQ平面PBC，所以NQ平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BCAD，所以MQBC.因为BC平
19、面PBC，MQ平面PBC，所以MQ平面PBC.又因为MQNQQ，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ平面PBC.12.解如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以MEAA1FG，且MEAA1FG.所以四边形MEFG是平行四边形.因为MEBB1，BB1平面BB1D1D，ME平面BB1D1D，所以ME平面BB1D1D.在A1B1D1中，因为EFB1D1，B1D1平面BB1D1D，EF平面BB1D1D，所以EF平面BB1D1D.又因为MEEFE，且ME平面MEFG，EF平面MEFG，所以平面MEFG平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点.所以MN平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MNBB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN平面BB1D1D.
