1、1,第5章 直流动态电路的分析,2,5.1 动态元件*5.2 微分方程的求解5.3 直流一阶电路的分析5.4 直流二阶电路的分析,本章主要内容,3,2二阶微分方程的求解,其中：系数 p(t)，q(t)及右端 f(t)为已知连续函数。当 f(t)=0时，称该方程为二阶线性齐次微分方程（简称齐次方程）；当 f(t)0时，称该方程为二阶线性非齐次微分方程（简称非齐次方程）。,4,二阶线性齐次微分方程,其中p、q为常数。其对应的特征方程为,二阶常系数线性齐次微分方程,它的两个特征根为,5,（1）当 p24q0 时，特征方程有两个不相等的实根,二阶线性齐次微分方程通解为:,（2）当 p24q=0 时，特
2、征方程有两个相等的实根,二阶线性齐次微分方程的通解为,6,（3）当 p24q 0时，特征方程有一对共轭复根,其中,二阶线性齐次微分方程的通解为,7,二阶常系数线性非齐次微分方程,其中 p、q 为常数，f（t）是 t 的已知连续函数。,非齐次微分方程的特解应根据输入函数的形式确定，可按表5-1假设。以特解代入以上方程，用待定系数法确定特解中的常数 K。二阶常系数线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与它对应的线性齐次微分方程的通解之和。根据初始条件，即可求出通解中的待定系数，从而求得二阶常系数线性非齐次微分方程的解。,8,5.4 直流二阶电路的分析,凡是能用二阶线性常微分方程描述的动态电路称为
3、二阶（线性）电路。在二阶动态电路中，给定的初始条件有两个，它们由储能元件的初始值决定。其中 RLC 串联电路和 GCL 并联电路是最简单的二阶电路。,9,5.4.1 二阶串联电路的零输入响应,电容的初始电压 uC(0+)=uC(0)=U0电感中的初始电流 iL(0+)=iL(0)=I0。在 t=0 时合上开关S。电路中没有激励源，即为二阶电路的零输入响应。,10,按照KVL,将,代入上式得,上式是一个二阶、线性、常系数、齐次微分方程，设齐次解为 Kest，将它代入上式，可得特征方程,11,根号前有正负两个符号，所以特征根有两个值 s1，s2。特征根是电路的固有频率，它将决定零输入响应的形式。由
4、于 R、L、C 参数不同,特征根 s1，s2 可能出现三种不同情况：,其特征根为,特征方程为,12,(1)当(R/2L)21/LC 时，s1，s2 是两个相异负实根；(2)当(R/2L)2=1/LC 时，s1，s2 是两个相同负实根；(3)当(R/2L)21/LC 时，s1，s2 是两个共轭复根，其实部为负数。,所以，RLC电路的零输入响应也分为三种情况来讨论。,13,时，称为过阻尼情况。,(1),此时特征根是两个相异实根，而且均为负根，过渡过程为非振荡放电过程，其通解可表示为,其中 K1 和 K2 为两个待定的系数。由电路的初始条件决定，该电路有两个储能元件，相应的初始条件有两个，即电容电压
5、和电感电流的初始值。,14,因为,，所以有,得,将这两个初始条件代入上式,以上两个方程联立求解，可得常数 K1 和 K2。,15,把 K1 和 K2 代入,整理可得电容电压,16,电路电流根据,并利用,可得,电感电压根据,可得,17,U00，I0=0 相当于充了电的电容器对没有电流的线圈放电的情况。,因为s1，s2是两个负实数，所以电容电压由两个单调下降的指数函数组成，其放电过程是单调的衰减过程。,18,因为 s1 s2，根据电流 i 可知，放电电流i 始终为负；在t=0时，i=0，在t=时电容的电场能量全部为电阻消耗，i=0。在中间某一时刻 t=tm时，电流i数值最大。由 di/dt=0，可
6、算出,图 非振荡放电过程uC、uL、i 随时间的变化曲线,19,非振荡放电过程中：在 0tm 期间，电容中的电场能量一部分消耗在电阻上，另一部分则变为电感中的磁场能量。当 ttm 时，电容中剩余的电场能量和电感中的磁场能量都逐渐消耗在电阻上。当 t=tm 时，电感电压过零点。当 t=2tm 时，电感电压为最大。,图 非振荡放电过程uC、uL、i随时间的变化曲线,20,时，称为临界阻尼情况,(2),此时特征根是两个相等的负实根，s1=s2=R/2L=，,由初始条件,微分方程的通解为,因为,所以有,21,将这两个初始条件代入式,得,电路电流,22,时，称为欠阻尼情况,(3),此时过渡过程为振荡放电
7、过程,其中,特征根为,23,可得,其中,24,可见 uC(t)是衰减振荡的，振荡频率为,图 振荡放电过程 uC 随时间的变化曲线,振荡频率与电路参数有关，而与电源的频率无关。称为自由振荡。,25,从能量关系看，在振荡放电过程中，电容中的电场能量和电感中的磁场能量反复交换，电容反复地充电放电，其两端电压和电路电流以及电感电压均周期变化，这种过程称为电磁振荡。由于电阻消耗能量，故振荡过程中电磁能量不断减少，即电容电压和电路电流不断减少，最终全部消耗在电阻上，各电压电流都衰减到零。放电过程中电容电压和电路电流分别为：,其中,26,当 R=0 时，=0，则,电容电压和电路电流分别为,可以看出：uC，i
8、 的振幅并不衰减，这时的响应为等幅振荡，其振荡角频率为0。,27,可以看出：uC，i 的振幅并不衰减，这时的响应为等幅振荡，其振荡角频率为 0。当L、C为任意正值时，可以得出对所有 t0，总有,即任何时刻储能总等于初始时刻的储能，能量不断往返于电场与磁场之间，永不消失。,28,综上所述：电路的零输入响应的性质取决于电路的固有频率s，固有频率可以是复数、实数或虚数，从而决定了响应为衰减振荡过程、非振荡过程或等幅振荡过程。,29,例5-11 如图所示电路中，已知US=10V，C=1F，R=4K，L=1H，开关 S 原来闭合在1点，在t=0时，开关S由1合向2点。求（1）uC，uR，uL，i；(2)
9、i max。,30,解（1）在t=0 时，电容用开路线代替，得,t0 后该电路无激励，为零输入响应。由 R、L、C 参数知,放电过程为非振荡的，特征根为,31,（2）电流最大值发生在时刻，即,32,例5-12 某 RLC 串联电路的 R=1，固有频率为3j5。电路中的L、C 保持不变，试计算：（1）为获得临界阻尼响应所需的 R 值；（2）为获得过阻尼响应，且固有频率之一为 s1=10 时所需的 R 值。,解（1）固有频率,33,现要使,（2）要使,解得 R=2.23,34,RLC 串联电路，电容 C 原先已充电，初始电压 uC(0+)=uC(0)=U0，电感中的初始电流 i(0+)=i(0)=
10、I0。在 t=0 时合上开关S，由于电路中有直流激励源，即为 RLC 串联电路完全响应。,5.4.2 二阶串联电路的完全响应,35,对图示电路，按照KVL可写出,将,代入上式得,其解由该方程的特解（稳态分量）和对应的齐次微分方程的通解（暂态分量）组成。稳态时电容相当于开路，故特解 ucp=US,36,齐次解设为 uCh=Kest，得特征方程 LCs2+RCs+1=0 其特征根为：,由于 RLC 参数不同,特征根 s1，s2 可能是两个相异实根、两个共轭复根或两个相等的实根，所以 RLC 串联电路的全响应也分为三种情况来讨论。,37,特征根是两个相异实根，而且均为负根，其通解可表示为,(1),为
11、过阻尼情况。,38,(2),特征根是两个相等的负实根，即 s1=s2=R/2L=，其通解为,临界阻尼情况。,39,(3),此时特征根是两个共轭复根，则特征根为,其中,其通解为,为欠阻尼情况。,40,以上几式中 K1 和 K2 为两个待定的系数。由电容电压的初始值 uC(0+)=uC(0)=U0，电感电流的初始值 i(0+)=i(0)=I0决定。,41,例5-13 电路如图（a）所示，当 t 0 时，uS(t)=1V，在 t=0 时，uS(t)突然增至1V，以后一直保持为此值，如图（b）所示。试求电容电压和电感电流。,例5-13 电路及输入波形,42,解 t=0 时，电容用开路线代替，电感用短路
12、线代替，可知 uC(0)=1V，i(0)=0A，根据电容电压和电感电流的连续性有 uC(0+)=1V，i(0+)=0A，t0 后为全响应，电路方程为,因为 R=0，所以,43,对应的特征根为s1，2=j，其通解为,根据 uC(0)=1V，i(0)=0A，得 K1=2，K2=0，所以,44,5.4.3二阶并联电路的响应,如图所示为一GCL并联电路,电容 C 原先已充电，其初始电压 uC(0+)=uC(0)=U0，电感中的初始电流 i(0+)=i(0)=I0。在 t=0 时合上开关S，按照KCL可写出,45,代入上式得,这是一个以 iL 为未知量的二阶、线性、常系数、非齐次微分方程，可看出：把串联
13、电路方程中的 uC 换成 iL，L 换成C，C 换成 L，R 换成G，US 换成 IS 就会得到以上并联电路的方程。因此按照上述对偶原理，不难从已有的 RLC 串联电路的解答得到 GCL 并联电路的解答。,46,例5-14 图所示GCL并联电路，已知 L=1H，C=1F,u(0)=0V,iL(0)=0A,IS=1A(t0)。求：t0时 iL(t)的响应，若(1)G=10S，(2)G=2S，(3)G=0.1S。,解 该电路为GCL并联电路的零状态响应，微分方程为,根据 RLC 串联电路和 GCL 并联电路的对偶原理，得特征根为,且特解 iLP=IS=1A,47,(1)G=10S 时，(G/2C)2 1/LC 属于过阻尼，特征根为,则通解,48,根据 u(0)=0V，iL(0)=0A，得,由此解得,所以,49,(2)G=2S 时，(G/2C)2=1/LC 属于临界阻尼，特征根为s1=s2=1则通解,根据u(0)=0V，iL(0)=0A 得,由此解得K1=K2=1，所以,50,(3)G=0.1S时，(G/2C)2 1/LC属于欠阻尼，特征根为,则通解,51,根据 u(0)=0V，iL(0)=0A 得,由此解得 K1=1，K2=/=0.05，所以,52,三种情况 iL 的波形如图所示。,53,本章完谢谢,
