1、任意角和弧度制教案任意角和弧度制教案 篇一：人教A版高中数学必修四1.1任意角和弧度制教案 1.1任意角和弧度制教案 【教学目标】1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角判断象限角掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式能进行简单应用.对弧长公式只要求了解会进行简单应用不必在应用方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】 复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题： 1初中所学角的概念. 2实际生活中出现一系列关于角的问题.3.初中的角是如
2、何度量的度量单位4.1的角是如何定义的弧长公式5.角的范围如何分类的新授课阶段 一、角的定义与范围的扩大 1角的定义：一条射线绕着它的端点O从起始位置OA旋转到终止位置OB形成一个角?点O是角的顶点射线OA,OB分别是角?的终边、始边.说明：在不引起混淆的前提下“角?”或“?”可以简记为?2角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：如果一条射线没有做任何旋转我们称它为零角.说明：零角的始边和终边重合.3象限角： 在直角坐标系中使角的顶点与坐标原点重合角的始边与x轴的非负轴重合则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限我们就说这个角
3、是第几象限角.例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角. （2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等. 说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.因为 x轴的正半轴不包括原点就不完全包括角的始边角的始边是以角的顶点为其端点的 射线. 4终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角连同30角自身在内都可以写成30?k?360 ? ? ? ? ?k?Z? 的形式；反之所有形如 30?k?360?k?Z?的角都与30?角的终边相同.
4、从而得出一般规律： 所有与角?终边相同的角连同角?在内可构成一个集合 S?|?k?360?,k?Z? 即：任一与角?终边相同的角都可以表示成角?与整数个周角的和.说明：终边相同的角不一定相等相等的角终边一定相同. 例1在0与360范围内找出与下列各角终边相同的角并判断它们是第几象限角（1）?120；（2）640；（3）?95012?. ? ? ? 解：（1）?120?240?360 所以与?120角终边相同的角是240它是第三象限角；（2）640?280?360 所以与640角终边相同的角是280角它是第四象限角；（3）?95012?12948?3?360 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5、? 所以?95012?角终边相同的角是12948?角它是第二象限角. ? ? 例2若?k?360?1575?,k?Z试判断角?所在象限.解：?k?360?1575?(k?5)?360?225?,(k?5)?Z?与225终边相同所以?在第三象限. ? 例3写出下列各边相同的角的集合S并把S中适合不等式?360?720?的元素?写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314? ? ? ? ? 解：（1）S?|?60?k?360,k?Z ? S中适合?360?720?的元素是 60?1?360?300?, 60?0?360?60?, ?60?1?360?420. ? （2）S?|?21?k?36
6、0,k?Z ? S中适合?360?720?的元素是 ?21?0?360?21?, ?21?1?360?339?, ?21?2?260?699? ? （3）S?|?36314?k?360,k?Z ? S中适合?360?720?的元素是 363?14?2?360?356?46?,363?14?1?360?3?14?, ?363?14?0?360?363?14.例4写出第一象限角的集合M 分析：（1）在360内第一象限角可表示为0?90； （2）与0,90终边相同的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)； （3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合我们表示为： ?
7、? ? ? ? ? ? ? ? M?|k?360?90?k?360?,k?Z? 学生讨论归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法： P?|90?k?360?180?k?360?,k?Z?；N?|90?k?360?180?k?360?,k?Z?；Q?|270?k?360?360?k?360?,k?Z? 说明：区间角的集合的表示不唯一. 例5写出y?x(x?0)所夹区域内的角的集合. ? 解：当?终边落在y?x(x?0)上时角的集合为?|?45?k?360,k?Z； ? ? 当?终边落在y?x(x?0)上时角的集合为?|?45?k?360,k?Z； ? ? 所以按逆时针方向旋转有集合：S?|?45?
8、k?360?45?k?360,k?Z ? 二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换算： 360?=2?（rad）180?=?rad.1?= ? 180 rad?0.01745rad. ? ?180?1rad?57.30?5718. ? o S l 2弧长公式：l?r?.由公式：? ln?r?l?r?.比公式l?简单.r180 1 lR其中l是扇形弧长R是圆的半径.2 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3扇形面积公式S?注意几点： 1今后在具体运算时“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3radsin?表示?rad角的正弦； 2一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该
9、记住： 3应确立如下的概念：角的概念推广之后无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系. 任意角的集合实数集R 例6把下列各角从度化为弧度： (1)252?；（2）1115；(3)30；(4)67?30.解：(1) / 71 ?（2）0.0625?(3)?(4)0.375?56 变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30；（2）210o；(3)1200o.解：(1)?；（2）? 18720?；(3)?.63 例7把下列各角从弧度化为度：（1）?；(2)3.5；(3)2；(4) 3 5?.4 解：（1）108o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4
10、)45o.变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1） ?4?3? ；（2）；（3）.12310 解：（1）15o；（2）240o；（3）54o. 例8知扇形的周长为8cm圆心角?为2rad求该扇形的面积.解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4.课堂小结 1弧度制的定义； 2弧度制与角度制的转换与区别； 3牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式并灵活运用； 篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念理解任意角的概念学会在平面内建立 适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学重点：理解“正角”“负
11、角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学难点：“旋转”定义角 课标要求：了解任意角的概念 教学过程： 一、复习 师：上节课我们学习了角的概念的推广推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念下面请一位同学叙述一下它们的定义 生：略 师：上节课我们还学习了所有与角终边相同的角的集合的表示法板书 0S=|=+k360kZ 这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广解决一些简单问题 二、例题选讲 00例1写出与下列各角终边相同的角的集合S并把S中适合不等式360720的元素 写出来： 000（1）60；（2）21；（3）36314 0000解：（1）S=|=60+k360kZS中适合3
12、60720的元素是 00000000060+（1）360=30060+0360=6060+1360=420. 0000（2）S=|=21+k360kZS中适合360720的元素是 00000000021+0360=2121+1360=33921+2360=699 0000说明：21不是0到360的角但仍可用上述方法来构成与21角终边相同的角的集合 0000（3）S=|=36314+k360kZS中适合360720的元素是 00000000036314+（2）360=3564636314+（1）360=31436314+0360=36314说明：这种终边相同的角的表示法非常重要应熟练掌握 例2写
13、出终边在下列位置的角的集合 (1)x轴的负半轴上；（2）y轴上 分析：要求这些角的集合根据终边相同的角的表示法关键只要找出符合这个条件的一个 0角即然后在后面加上k360即可 0解：（1）在0360间终边在x轴负半轴上的角为180终边在x轴负半轴上 00的所有角构成的集合是|=180+k360kZ 000（2）在0360间终边在y轴上的角有两个即90和270与90角终边相 00同的角构成的集合是S1=|=90+k360kZ 000同理与270角终边相同的角构成的集合是S2=|=270+k360kZ 提问：同学们思考一下能否将这两条式子写成统一表达式 师：一下子可能看不出来这时我们将这两条式子作
14、一简单变化： 0000S1=|=90+k360kZ=|=90+2k180kZ?（1） 00000S2=|=270+k360kZ=|=90+180+2k180kZ 00=|=90+（2k+1）180kZ?（2） 0师：在（1）式等号右边后一项是180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是 00180的所有奇数（2k+1）倍因此它们可以合并为180的所有整数倍（1）式和（2）式 可统一写成90+n180（nZ）故终边在y轴上的角的集合为 0000S=S1S2=|=90+2k180kZ|=90+（2k+1）180kZ 00=|=90+n180nZ 处理：师生讨论教师板演 提问：终边落在x轴
15、上的角的集合如何表示终边落在坐标轴上的角的集合如何表示 00（思考后）答：|=k180kZ,|=k90kZ 进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示 00答：|=45+n180nZ 0推广：|=+k180kZ有何关系（图形表示） 处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导学生作答；“推广”由学生归纳例1若?是第二象限角则2?00?分别是第几象限的角23 师：?是第二象限角如何表示 0000解：（1）?是第二象限角90+k360?180+k360（kZ） 0000180+k7202?360+k720 2?是第三或第四象限的角或角的终边在y轴的非正半轴上 （2）k?180?45?
16、 2?k?180?90(k?Z) 处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0123?）再归纳出以下规律： ?是第一象限的角；22 ?当k?2n?1(n?Z)时n?360?225?n?360?270(k?Z)是第三象限的22当k?2n(n?Z)时n?360?45?n?360?90?(k?Z) 角?是第一或第三象限的角2 ?是第一或第二或第四象限的角）3说明：配以图形加以说明（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明（ 进一步求?是第几象限的角（?是第三象限的角）学生练习教师校对答案 三、例题小结 1要注意某一区间内的角和象限角的区别象限角是由无数各区间角组成的； 2要学会正确运用不等式进行角的表述同时
17、要会以k取不同的值讨论型如 0=a+k120（kZ）所表示的角所在的象限 四、课堂练习 练习2若?的终边在第一、三象限的角平分线上则2?的终边在y轴的非负半轴上.练习3若?的终边与60角的终边相同试写出在（0360）内与000?角的终边相同的3 角（XX0260）（备用题）练习4如右图写出阴影部分（包括边界）的角0的集合并指出95012是否是该集合中的角 000 （|120+k360250+k360kZ；是）0000 探究活动 经过5小时又25分钟时钟的分针、时针各转多少度 五、作业 A组: 1与 终边相同的角的集合是它们是第象限的角其中最小的正角是最大负角是 2在0o360o范围内找出下列各
18、角终边相同的角并指出它们是个象限的角： （1）265?（2）1000o（3）843o10（4）3900o B组 3写出终边在x轴上的角的集合 4写出与下列各角终边相同的角的集合并把集合中适合不等式360o360o的元素写出来： (1)60o(2)75o(3)824o30(4)475o(5)90o(6)270o(7)180o(8)0oC组：若 是第二象限角时则 分别是第几象限的角 篇三：1.1任意角和弧度制教学设计教案 教学准备 1.教学目标 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同
19、的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点深刻理解推广后的角的概念. 2、过程与方法 通过创设情境：“转体逆（顺）时针旋转2周”角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后将角放入平面直角坐标系引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角画出终边所在的位置找出它们的关系探索具有相同终边的角的表示. 3、情态与价值 通过本节的学习使同学们对角的概念有了一个新的认识即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点 重点:理解正角、负角和零角的定义掌握终边相同角的表示
20、法. 难点:终边相同的角的表示. 3.教学用具 多媒体 4.标签 任意角 教学过程 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟你是怎样将它校准的假如你的手表快了1.25小时你应 当如何将它校准当时间校准以后分针转了多少度 取出一个钟表,实际操作我们发现校正过程中分针需要正向或反向旋转有时转不到一周有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间这正是我们这节课要研究的主要内容任意角. 【探究新知】 1初中时我们已学习了角的概念它是如何定义的呢 展示投影角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.11一条射线由原来的位置绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置就形成角.旋
21、转开始时的射线叫做角的始边 叫终边射线的端点叫做叫的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”（即转体2周）“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 展示课件如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positiveangle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negativean
22、gle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zeroangle). 展示课件如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中正角负角；这样我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见在不引起混淆的前提下“角”或“”可简记为. 3.在今后的学习中我们常在直角坐标系内讨论角为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合角的始边与轴的非负半轴重合那么角的终边（除端点外）在第几象限我们就说这个角是第几象限角(quadrantangle).如教材图1.14中的角、角分别是第一象限角和第二象限角.要特别注意:如果角的终
23、边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 4.展示投影练习: (1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角?再分别就直角、钝角来回答这两个问题. (2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几? 天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几? 5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.15),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析. 展示课件不难发现,在教材图1.15中,如果 角的终边都是,而 .的终边是,那么 设,则角
24、都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来集合的任一元素显然与角终边相同. 一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合 ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角 与整数个周角的和. 6.展示投影例题讲评 例1.在范围内找出与角 象限角.（注：是指 例2.写出终边在轴上的角的集合. 上的角的集合,并把中适合不等式终边相同的角并判定它是第几）例3.写出终边直线在 的元素写出来. 课堂小结 (1)你知道角是如何推广的? (2)象限角是如何定义的呢? (3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了?会写终边落在 上的角的集合. 课后习题轴、轴、直线 板书
