1、第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系第8讲直线与圆锥曲线的位置关系学生用书P1661直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系2直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B
2、两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|. 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点()(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|y1y2|.()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 直线
3、ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B.相切C相离 D不确定解析：选A.直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交 若直线ykx与双曲线1相交，则k的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C.双曲线1的渐近线方程为yx，若直线与双曲线相交，数形结合，得k. 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B.2条C3条 D4条解析：选C.过(0，1)与抛物线y24x相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点 过点的直线l与抛物线yx2交于A、B两点，O为坐标原点
4、，则的值为()A B.C4 D无法确定解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为ykx，代入抛物线方程得2x22kx10，由此得所以x1x2y1y2x1x2(k21)x1x2k(x1x2)(k21)k(k).故选B. 过点A(1，0)作倾斜角为的直线，与抛物线y22x交于M、N两点，则|MN|_解析：过A(1，0)且倾斜角为的直线方程为yx1，代入y22x得x24x10.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1x24，x1x21，所以|MN|x1x2|2.答案：2直线与圆锥曲线的位置关系学生用书P167典例引领 已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线
5、l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点(3)没有公共点【解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点直线与圆锥曲线位置关系的
6、判定及应用(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解 通关练习1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1 B.1或3C0 D1或0解析：选D.由得k2x2(4k8)x40，若k0，则y2，符合题意若k0，则0，即6464k0，解得k1，所以直线ykx2与抛物线y
7、28x有且只有一个公共点时，k0或1.2若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，那么k的取值范围为()A. B.C. D解析：选D.由消去y，得(1k2)x24kx100，因为直线与双曲线右支交于不同的两点，所以解得kb0)，则1，1，解得a2，b，所以C1的标准方程为1.设抛物线C2的方程为y22px(p0)，则(4)22p4，解得p2，所以C2的标准方程为y24x.(2)由(1)知F(1，0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，设l：yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，将l：yk(x1)代入抛物线方程y24x，整理得k2x2(2
8、k24)xk20，当k0时，(2k24)24k2k20恒成立，所以x1x2，x1x21.所以|AB|，将l：yk(x1)代入椭圆方程1，整理得(34k2)x28k2x4k2120(8k2)24(34k2)(4k212)0恒成立，所以x3x4，x3x4，所以|CD|，因为，所以，所以k23，即k，所以直线l的方程为y(x1)有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 通关练习设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的
9、左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值解：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)设直线l的方程为yxc，其中c.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，因为0b1.所以b.中点弦问题(高频考点)学生用书P168中点弦问题是每年高考的重点，既有选择题、填空题，也有解
10、答题，难度中等及以上主要命题角度有：(1)利用中点弦确定直线或曲线方程；(2)由中点弦解决对称问题典例引领 角度一利用中点弦确定直线或曲线方程 (1)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D1(2)已知(4，2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_【解析】(1)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3，选D.(2)设直
11、线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.【答案】(1)D(2)x2y80 角度二由中点弦解决对称问题 如图，已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围【解】由题易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N
12、(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，所以AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0.因为k0，所以xG0，所以点G横坐标的取值范围为.处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用 通关练习如图，已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解：(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交
