1、高考专题复习思想方法数形结合数形结合思想 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想,“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而找到解题思路,使问题得到解决.以形助数常用的有:借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法,以数解形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】例1、(集合中的数形结合)已知集合,当,求实数的取值范围.参考解答:画数轴分析可得.例2、(函数中的数形结合)设,当时,恒成立,求的取值范围。参考解答:解法一:由,在上恒成立在上恒成立
2、.考查函数的图像在时位于轴上方,如下图不等式的成立条件是:1);2);综上所述解法二:由,令,在同一坐标系中作出两个函数的图像(如右图)满足条件的直线位于之间,而直线对应的的值分别为,故直线对应的.例3、(方程中的数形结合)若方程在内有唯一解,求实数的取值范围.参考解答:原方程变形为,即,作出曲线,和直线的图象,由图可知:当时,有唯一解;当时,即时,方程有唯一解.综上可知,或时,方程有唯一解.例4、(不等式中数形结合)不等式在时恒成立,求的取值范围.参考解答: 例5、(解析几何中的数形结合)已知满足,求的最大值与最小值.参考解答:对于二元函数在限定条件下求最值问题,常采用构造直线截距的方法来求
3、之.令,则,原问题转化为:在椭圆上求一点,使过该点的直线斜率为,且在轴上截距最大或最小,由图可知,当直线与椭圆相切时,有最大截距与最小截距.由可得,得,故的最大值为,最小值为.例6、设,二次函数的图像为下列之一,则的值为() 例7、线段的两个端点为,直线,已知直线与线段有公共点,求的取值范围.参考解答:不论取何值,直线恒过定点,斜率为,由图与线段有公共点,需要由直线的位置(绕点)逆时针转动到的位置.在这一转动过程中,的倾斜角先逐渐增大到(从而的斜率逐渐增大到),绕过轴后,倾斜角依然逐渐增大,因此其正切值(的斜率)逐渐增大到的斜率,又,故,即.例8、已知为椭圆内一点,为椭圆左焦点,为椭圆上一动点
4、,求的最大值和最小值.参考解答:由椭圆的定义知,即, 【配套练习】1、方程的解的个数为() 2、如果实数满足,则的最大值为() 参考解答:等式有几何意义,它表示坐标平面上的一个圆,圆心为,半径,如图,表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率. 如此以来,该问题可转化为如下几何问题:动点在以为圆心,以为半径的圆上移动,求直线的斜率的最大值,由图可见,当在第一象限,且与圆相切时,的斜率最大,经简单计算得最大值为.3、已知函数,若,则的大小关系为.4、设函数,若,则关于的方程的解的个数为() 5、函数的最小值为() 6、已知函数在区间内递减,则实数的取值范围为.参考解答:如图所示,可知对称轴7、设、分别是
5、方程的根,则.8、如果关于的方程有两个实数根,并且,求实数的取值范围.参考解答:令,由题.9、求函数的值域.参考解答:的形式类似于斜率公式,表示过两点,的直线的斜率,由于点在单位圆上,显然,设过的圆的切线方程为,则有,解得,即,所以,所以函数值域为.10、已知集合,求满足下列条件时实数的取值范围.; ;参考解答:画区域分析问题, 【高考真题】1、若集合,集合,且,则实数的取值范围为.参考解答:集合,显然,表示以为圆心,以为半径的圆在轴上方的部分,(如图),而则表示一条直线,其斜率,纵截距为,由图形易知,欲使,即直线与半圆有公共点,显然的最小逼近值为,最大值为即.2、已知(其中),且是方程的两根
6、(),则实数,且.3、点是椭圆上一点,它到其中一个焦点的距离为,为的中点,表示原点,则() 参考解答:设椭圆另一焦点为,(如下图),则,而,因为,所以,又注意到各为的中点,所以是的中位线,因此.4、关于的方程在上有两个不相等的实数解,求实数的取值范围.参考解答:设,可作图得.(数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法,应选择最简单、最佳方案,这称为最优化原则)5、已知函数,若且,则的取值范围是.6、已知,若中仅含有两个元素时,则实数的取值范围.参考解答: 已知当时与在轴左侧必有一个交点,故要在轴右侧有一个交点只需,同理当时与在轴右侧必有一个交点,故要在轴左侧有一个交点只需.7、下图中的函数图
7、像、与函数方程、的对应关系中,有可能正确的一组是() 8、已知函数的图像如图所示,则() 参考解答:本题可将图形转化为具体数值,由图像过个特殊点及与轴的相对位置特征,可得到以下等式:,即;,即;,即;当时,由得,当时,可推得.巧妙合理地利用以上各式,就可以得到多种简捷的解法:方法一:得,再由推得,选;方法二:推得;方法三:由比较同次项系数得,再由得.数学思想方法:数形结合数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想,“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而找到解题思路,使问题得到解决.以形助数常用的有:
8、借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法,以数解形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】例1、(集合中的数形结合)已知集合,当,求实数的取值范围.例2、(函数中的数形结合)设,当时,恒成立,求的取值范围.例3、(方程中的数形结合)若方程在内有唯一解,求实数的取值范围.例4、(不等式中数形结合)不等式在时恒成立,求的取值范围.例5、(解析几何中的数形结合)已知满足,求的最大值与最小值.例6、设,二次函数的图像为下列之一,则的值为( ) 例7、线段的两个端点为,直线,已知直线与线段有公共点,求的取值范围.例8、已知为椭圆内一点,为椭圆左焦
9、点,为椭圆上一动点,求的最大值和最小值.【配套练习】1、方程的解的个数为( ) 2、如果实数满足,则的最大值为( ) 3、已知函数,若,则的大小关系为 .4、设函数,若,则关于的方程的解的个数为( ) 5、函数的最小值为( ) 6、已知函数在区间内递减,则实数的取值范围为 .7、设、分别是方程的根,则 .8、如果关于的方程有两个实数根,并且,求实数的取值范围.9、求函数的值域.10、已知集合,求满足下列条件时实数的取值范围.; .【高考真题】1、若集合,集合,且,则实数的取值范围为 .2、已知(其中),且是方程的两根(),则实数,且 .3、点是椭圆上一点,它到其中一个焦点的距离为,为的中点,表示原点,则( ) 4、关于的方程在上有两个不相等的实数解,求实数的取值范围.5、已知函数,若且,则的取值范围是 .6、已知,若中仅含有两个元素时,则实数的取值范围 .7、下图中的函数图像、与函数方程、的对应关系中,有可能正确的一组是( ) 8、已知函数的图像如图所示,则( )