1、自考04184线性代数经管类讲解矩阵 阵 矩第二章 2.1矩阵的概念 n2.1.1m由定义 个数 ai=12mj=12n）排成，；（ijmn 数表一个列的行 用 大小括号表示 mn列矩阵。 称为一个行 nm这矩阵的含义是：个数排成一个 矩形阵列。aij列元素称为矩阵的第其中行第iji=12mj=12ni，而，）；，（jij列的变称为行标，称为列标。第行与第ij 。，）叉位置记为（ABC等表示， 通常用大写字母，mn，和列数矩阵。有时为了标明矩阵的行数 也可记为A=aaA 或）或（ （nmnmijnmijm=nA=an阶为时，称）（ 当nijn2nnn阶方阵是由矩阵，或者称为。阶方阵个数排成一个
2、正方形表，它不是一个数（行n阶行列式是两个完），它与列式是一个数全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。nA中从左上角到右下角的这条阶方阵一个An阶方阵的主对。的主对角线对角线称为aaa，称为此方，角线上的元素，nn1122阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的 矩阵，我们不定义对角元。 元素全为零的矩阵称为零矩阵。用OO （大写字）表示。或者nmam=1=a，（时，称， ， 特别，当12an1n 矩阵。它是）为维行向量n mn=1维列向量为时，。称当 1 m它是矩阵。 向量是特殊的矩阵，而且它们是非 常重要的特殊矩阵。abc3维行向量，）是，（例如， 3维列向量。是 几种常用的特殊矩阵： 1.
3、n阶对角矩阵 或简写 形如 A ）念为（那不是“尖”， ，的 矩阵，称为对角矩阵 是一个三阶对角矩阵，例如， 。也可简写为 2.数量矩阵n阶数量矩阵对角矩阵的主对角线上的元 当 有如下形式：素都相同时，称它为数量矩阵。 。或N没标就不阶矩阵，（标了角标的就是 知是多少的）na=1阶单位矩阵 当时，称 特nEI，单位记为它为或阶nn别， 矩阵。 即 或E或在不会引起混淆时，也可以用 I 表示单位矩阵。naEaI表示。或 阶数量矩阵常用nn2.2 节中的数乘矩阵运算。其含义见 n3.n阶下三角矩阵阶上三角矩阵与 的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角 矩阵。阵一个方阵是对角矩阵当且仅当它角矩 对 必须是
4、方既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。 阵。 4.零矩阵 （可以是方阵也可以不是方阵） 2.2矩阵运算 数乘、减法、 本节介绍矩阵的加法、只有在对矩阵定义乘法和转置等基本运算。才了一些有理论意义和实际意义的运算后，能使它成为进行理论研究和解决实际问题 的有力工具。 2.2.1矩阵的相等（同） A=aB=bm=kn=l且，若 设）（，），（lijnkijma=bi=12mj=1，；， ，ijij2nAB相等，记为，则称矩阵，与矩阵，A=B。 由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而ij）上的一且两个矩阵中处于相同位置（， 。对数都必须对应相等 特别，A=a=Oa=0i
5、=12， ，（）， ijijmnmj=12n 。，；， 注意 行列式相等与矩阵相等有 ，本质区别 例如 12）位置上的 因为两个矩阵中（， 02 。但是却有行列式等式元素分别为和 （因为行列式是数，矩阵是表，表要求 表里的每一个都一样） 2.2.2矩阵的加、减法 2.2.2A=aB=和 设） 定义（nijmnABbm，是两个（矩阵。由）与的nmijnm称为对应元素相加所得到的一个矩阵，ABA+B ，即与的和，记为A+B=a+ b 。 （）nijmij 即若 则 AB的当两个矩阵 行数与列数分别相等与 时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。 例如 注意： 1矩阵的加法与
6、行列式的加法）（ 有重大区别 例如 （阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其 ）它的不变。21的方阵与数不能 （）阶数大于 1它就是一个表，不是一（阶数大于相加。 个数了）A=ann1a，）为若 阶方阵，（ijA+an阶方阵无意义！但是为一个数，则A=aaE 可以相加：与数量矩阵（）nnmij aE 把数转化为数量矩阵（n就可以想加了） 矩阵的加法满足下列运算律：ABnCmnOm都是零 矩阵，设是， 矩阵，则 1A+B=B+A.（交换律乘法没有交换律）（）2A+B+C=A+B+C. ）结合律（3A+O=O+A=A.
7、）（4A+C=B+CA=B. （）消去律 2.2.3 数乘运算（矩阵与数不能相加，但是 可能想乘）2.2.3A=a）定义（ 对于任意一个矩阵 ijkkA的乘积为，规定和任意一个数与nmkA=ka.（矩阵里的第个原数都乘以（）nmijK ）数 即若 则 Ak2.2.3的乘可知，数 由定义与矩阵kkA，而数中的所有元素都要乘以积只是DkD某一行与行列式乘的乘积只是用中nnDk中某一列的所乘的所有元素，或者用n 有元素，这两种数乘运算是截然不同的。数 根据数乘矩阵运算的定义可以知道， aEaE 的乘积与单位矩阵就是数。量矩阵nn 乘运算律数 1klA=klA=klAkl和（），（）结合律（） 为任意
8、实数。2kA+B=kA+kBk+l）（）分配律，（）A=kA+lAkl为任意实数。， 和1 已知例 2A-3B 。 求 解 2已知 例 A+2X=BX 。 且，求解： （注意是乘以矩阵里的每个元素） 2.2.4乘法运算 A=aB=bC=c）（ 设矩阵）（，），令ijkkmijnijnm是由下面的个元素 nm+abi=12mj=1c=ab+ab，（，；，kj2ji2iji1ik1j2n） ，mnCA与称矩阵行为矩阵列矩阵，构 成的 BC=AB。的乘积，记为矩阵 A=a）（由此定义可以知道，两个矩阵ijB=bAB的列数与）和可以相乘当且仅（当ijC=ABC=A的时，的行数相等。当的行数C=BCij
9、行第的列数。的第行数，的列数AiB的的第列元素等于矩阵行元素与矩阵j 列对应元素的乘积之和。第 3若例且， AB=CC中第二行第一列中的元素，求矩阵C 21CA中的第二行等于左矩阵 解：21B中第一列元素对应乘积之元素与右矩阵 和1+ 13+ 00=5 C=2 21 4 设矩阵例 AB 求 解： = 32A3B3是而这里矩阵矩阵， 是BA的行数不相等，的列数与矩阵，由于BA 没有意义。所以 5 例 A2EE1A）（求（ 3333 1）解：（ 2） （ AE=EA=A，并且由本例可见 33333 可以推广有 a=a1=a1它与代数中的 比较可见E 。单位矩阵在乘法中起单位的作用n6 设矩阵 例
10、BA AB和 求解： 现在，我们对矩阵乘法与数的乘法 作一比较。 数的乘法有交换律，矩阵乘法没有 （差别）普遍交换律。 7 设例 AC AB21） 求（） 1）（ 解 2）（ AB=AC 可见 众所周知，两个数的乘积是可交换 ab=ba，因而才有熟知的公式：的：22222a+b=+2ab+ba-ba+b=a） （，（kkk b.=aa-bab），（）两个非零数的乘积不可能为零。因 ab=aca=0b=0ab=0。当时，必有此，当或b=caa0。，就可把成立时，只要消去得到 （这条只满足数，不满足矩阵）67 可知：、例 由矩阵乘法及上述例 1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积（EA=AE=A 必
11、可交换：nn2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积（aEA=AaE. ）必可交换：）（nn3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交（ABBA 。换律，即一般4AB=OA=O或）当时，一般不能推出（B=O 。这说明矩阵乘法不满足消去律。5AB=ACB=C。）当（时，一般不能推出（消去律） ABAB=BAA与与，满足则称若矩阵BAB 必为同阶方阵。可交换。此时，与 矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩 阵等式的同侧消去。 8 设矩阵，求出所有 例AAB=BA ）与（即可交换的矩阵。A可交换的矩阵必
12、为 解因为与 A可为与二阶矩阵，所以可设 交换的矩阵，则 x=xAX=XAx=0，可 ， 由推出，121122xx 可取任意值，即得，且2111 。（ 对角线必须一样） 9解矩例 阵 方程 X 为二阶矩阵。， 设解。由题设条件可 得矩阵等式： 由矩阵相等的定义得 （列出两组方程式）x=1x= ， 解这两个方程组可得 2111 =0x =1x-1。，。所以2212 法运算律乘 BCABC=A 1。）（）矩阵乘法结合律（ （不改变顺序）C=AC+BCA+B2，）矩阵乘法分配律（）（AB+C=AB+AC 。（）3kAB=kA）（）两种乘法的结合律）（B=AkBk 为任意实数。）（，EA=AAE=A4
13、E，其中，）（mnnmmnnmmnmEmn阶单位矩阵）。阶和分别为 n矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略），其他三条运算律的正确性是显然 的。 方阵的方幂An阶方阵，为 设由于矩阵乘法满 足结合律，所以可以不加括号而 有完全确定的意义。A的幂（或称方幂）为 我们 定义 n阶方阵的方幂满足下述由定义可知， 规则：klk+lklklAA=AA=Akl为任（， ）， 意正整数。10 例用数学归纳法证明以下矩 阵等式： 12）（） 。n=11时，矩阵等式显 证）当 （ n=k时，矩阵等式成立，即然成立。假设当 n=k+1时，矩阵等式也成立。知道，当n 所以对任意正整数，此矩阵等式成立。2n=1时，
14、矩阵等式显然成立。假设）当（n=k时，矩阵等式成立，即当 则 n=k+1时，矩阵等式也成 知道，当n，此矩阵等式都成立。所以对任意正整数 立。 BA11n满足 设和阶方阵 例 。证明：， B=2A-E。可推出由 证：n 再由22-4A+E=4A=2A-E2A-EB （ ）（ ） nnn 证得 n为矩阵乘法不满足交换律，所以对于因 AB ，有以下重要结论：和阶方阵21A+B=A+BA+B）（）（）（）（2 222 +2AB+B+AB+BA+B=A=AAB=BA。2222A-B2A+B=A-AB+BA-B=A-B）（） AB=BA。kkk.AB3AB=BA=AB（只（）当）时必有 有两者两等时成立）2ABAB=BAABAB=）（例如时，（） BBAABA=ABAB=AB=AABB=）（22 =AB ABBA。时，则上面结果不成立但 13，则有 例 设， 所以对于， 因为矩阵乘法不满足消去律 BnA，有以下重要结论：阶方阵和B=O1AB=OAO （）不能推出，。 时例如 两个不等于零的方阵相乘或是一个数平（ 方也可能等于零）
