1、数学史话数学史话目录1、解析几何建立的故事 12、数学名言 53、“数学”名称的由来 64、四色猜想 85、为什么时间和角度的单位用六十进位制 86、的历史 97、罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程 108、罗素悖论 149、比例中的奥妙 1510、赌场里产生的数学 1611、分数与小数 1712、蜂窝猜想 1813、高次方程的求解 1814、古希腊数学与中国数学的比较 2015、集合数学大厦的根基 2416、几何原本 2517、使天文学家寿命倍增的数对数 2718、数学的符号系统 2819、希尔伯特23个数学问题及其解决情况 2920、正数的对立面负数 37 数学史话1、解析几何建立的故事一
2、、一句话，科学的需要和对方法论的兴趣，推动了费尔马和笛卡尔对坐标几何的研究。费尔马，出身于商人家庭，学法律并以律师为职业，数学只是他的业余爱好。虽然他只能利用闲暇时间研究数学，但他对数论和微积分做出了第一流的贡献。并同巴斯卡(Passcal)一同开创了概率论的研究工作，他和笛卡尔都是坐标几何的发明者。费尔马关于曲线的工作，是从研究古希腊几何学家，特别是阿波罗尼(Apollonius)开始的。阿波罗尼的论平面轨迹一书久已失传，而费尔马是把它重新写出来的人之一。他用代数来研究曲线。他说，他打算发起一个关于轨迹的一般研究，在这种研究是古希腊人没做到的。1629年他写了一本平面和立体的轨迹引论（167
3、9年发表），书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的普遍方法。费尔马的坐标几何研究怎样产生的，我们不知道，很可能把阿波罗尼的结果，直接翻译成代数的形式。他考虑任意曲线和它上面的一般点J，J的位置用A、E两个字母定出：A是从原点O沿底线到点Z的距离，E是从Z到J的距离。它所用的坐标，就是我们现在的斜坐标。但是Y轴没有明白出现，而且不用负数，它的A，E就是我们现在的X,Y.费尔马把他的一般原理，叙述为“只要在最后的方程里出现两各未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一， 其末端描绘出一条直线或曲线。”前文中对不同位置的E,其末端J,J,J就把“线”描出，它的未知量A和E，实际是变数。或者可以说，联系
4、A和E的方程是不定的。他写出联系A、E的各种方程，并指明它们所描绘的曲线。例如，他给出方程（用我们现在的写法就是）d x = b y，并指出这代表一条直线。他又给出d (a-x) = b y,并指出它也表示一条直线。方程p2-x2 = y2代表一个圆。a2+x2 = k y2和xy = a各代表一条双曲线，x2 = ay代表一条抛物线，而且费尔马确实领悟到坐标轴可以平移和旋转。因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式。他肯定地得到如下结论：一个联系着A、E的方程，如果是一次的就代表直线，如果是二次的就代表圆锥曲线。笛卡尔，首先是一位杰出的近代哲学家。他是近代生物学的奠基人
5、、第一流的物理学家，同时也是一位数学家。它的父亲是一位相当富有的律师。笛卡尔大学毕业后去巴黎当律师，在那里他花了一年的时间，跟两位神甫一起研究数学。其后九年中，他曾在几个军队中服役，但他一直研究数学。在荷兰布莱达地方的招贴牌有一个挑战性的问题，被他解决了。这使他自信有数学才能，从而开始用心于数学。回到巴黎后，他为望远镜的威力所激动，又一心钻研光学仪器的理论和构造。1682年他32岁时移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，写出了著名的作品。1649年他被邀请去做瑞典女皇的教师，第二年在那里患肺炎逝世，享年五十四岁。1637年笛卡尔写的更好地指导推理和寻求科学真理的方法论一书出版
6、，这是一本文学和哲学的经典著作，包括三个著名的附录：几何、折光和陨星。几何是他所写的唯一一本数学书，他关于坐标几何的思想，就包括在它的这本几何中。笛卡尔的其他著作有思想的指导法则，世界体系，哲学原理，音乐概要。笛卡尔是通过三个途径来研究数学的，作为一个哲学家，他把数学方法看作是在一切领域建立真理的方法来研究。作为自然科学的研究者，它广泛地研究了力学、水静力学、光学和生物学等各个方面，它的几何的一部分和折光都是讲光学的。作为一个关心科学用途的人，他强调把科学成果付之应用。在这一点上，他同希腊人明白地公开决裂。由于他注意到数学的力量，他就是要去寻找数学的用途。他不推崇纯粹数学，他认为数学不是思维训
7、练，而是一门建设性的有用科学。他认为把数学方法用到数学本身是没有价值的，因为这不算是研究自然。那些为数学而搞数学的人，是白费精力的盲目研究者。笛卡尔对当时几何和代数的研究方法进行了分析和比较，他认为没有任何东西比几何图形更容易印入人的脑际了。因此用这种方式表达事物是非常有益的，但他对欧几里德几何中的每一个证明都要求某种新的往往是奇巧的想法，这一点深感不安。他还批评希腊人的几何过多地依赖于图形。他完全看到了代数的力量，看到他在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法。他同时强调代数的一般性，以及它把程序机械化和把解题工作量减小的价值。他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。他对当时通行的代
8、数也加以批评，说它完全受公式和法则的控制，不像一门改进思想的科学。因此它主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短。它所作的工作就是把代数用到几何上去。在这里，他对方法的普遍兴趣和他对代数的专门知识，就组成了联合力量，于是就产生了它的几何一书。在几何一书中，他开始仿照韦达(Vjeta)的方法，用代数解决几何作图题，后来才逐渐出现了用方程表示曲线的思想。在几何第一卷的前一半中，笛卡尔用代数解决的只是古典的几何作图题，这只不过是代数在几何上的一个应用，并不是现代意义下的解析几何。下一步，笛卡尔考虑了不确定的问题，其结果可以有很多长度作为答案。这些长度的端点充满一条曲线。他说：“也要求发现并描
9、出这条包括所有端点的曲线”。曲线的描出，根据于最后得到的不定方程，笛卡尔指出：对于每一个，长度满足一个确定的方程，因而可以画出。笛卡尔的做法，是选定一条直线作为基线，以点为原点，值是基线上从量起一个线段的长度。是由基线出发与基线作成一个固定角度的一个线段的长度。这个坐标系我们现在叫作斜角坐标系。笛卡尔的、只取正值，即图形在第一象限内。有了曲线方程的思想之后，笛卡尔进一步发展了它的思想。1、曲线的次数与坐标轴的选择无关。2 、同一坐标系中两个曲线的方程联立，可解出交点。3 、曲线概念的推广，古希腊人说平面曲线是可以用直尺和圆规画出的曲线，而笛卡尔则排斥了这种认为只有用直尺和圆规画出的曲线才是合法
10、的思想，他提出，那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程表示出的曲线，都是几何曲线。这样，例如蔓叶线（x3+y3-3a xy=0)和蚌线都被承认是几何曲线，其他如螺线等，笛卡尔称之为机械曲线 莱布尼兹(Leibniz)后来把它们分别称之为代数曲线和超越曲线。笛卡尔对曲线概念的这一推广，取消了曲线是否存在看它是否可以用圆规和直尺画出这个判别标准，不但接纳了以前被排斥的曲线，而且开辟了整个曲线领域，牛顿(Newton)1707年称这是“把所有何以用方程表示的线都接收到几何里”。从上面的叙述我们可以看出，费尔马和笛卡尔良人各自都研究了坐标几何，但他们研究的目的和方法却有明显不同。费尔马着眼于继承古
11、希腊的思想，认为自己的工作是重新表述了阿波罗尼的工作。而笛卡尔批评了希腊人的传统，主张和这个传统决裂。虽然用方程表示曲线的思想，在费尔马的工作中更为明显，但应该说真正发现代数方法的威力的是笛卡尔。有种种原因，使坐标几何的思想用代数方程表示并研究曲线的思想，在当时没有很快地被数学家们热情地接受并利用。一个原因是因为费尔马的书轨迹引论到1679年才出版，而笛卡尔的几何中对几何作图题的强调，遮蔽了方程和曲线的主要思想。事实上，许多和他同时代的人，都认为坐标几何主要是解决作图问题的工具，甚至莱布尼兹说笛卡尔的工作是退回到古代。虽然笛卡尔本人确实知道，它的贡献远远不限于提供一个解决作图问题的工具，他在几
12、何的引言中说：“我在第二卷中所作的关于曲线性质的讨论，以及考察在这些性质的方法，根据我看远远超出了普通几何的论述。”但他利用曲线方程之处，确实被他的作图问题所掩盖。坐标几何传播速度缓慢的另一个原因，是笛卡尔的书几何写得使人难懂。书中许多模糊不清之处，是他故意搞的。它说欧洲几乎没有一个数学家能读懂他的著作，他只约略指出作图法和证法，而留给别人去填写入细节。他在一封信中把他的工作比作建筑师的工作，只是定出计划，指明什么是应该做的，而把手工操作留给木工和瓦工。他还说：“我没有做过任何不经心得删节，但我预见到，对于那些自命无所不知的人，我如果写的使他们能充分理解，他们将不失机会地说我写的都是他们已经知
13、道的东西。” 还有另一理由，在几何中他说，他不愿意夺去读者们自己进行加工的乐趣。的确，它的思想必须从它的书中许多解出的例题里去推测，他说，他之所以删去绝大多数定理的证明，是因为如果有人不嫌麻烦而去系统地考察这些例题，一般定理的证明就成为显然的了，而且照这样去学习是更为有益的。影响坐标几何被迅速接收的原因，还有一个是许多数学家反对把代数和几何结合起来，认为数量运算和几何量的运算要加以区别，不能混淆。再一个原因是当时代数被认为是缺乏严密性的。上述种种原因，虽然阻碍了对费尔马和笛卡尔的贡献的了解，但也有很多人逐渐采用并扩展了坐标几何。二、解析几何的重要性解析几何出现以前，代数已有了相当大的进展，因此
14、解析几何不是一个巨大的成就，但在方法论上却是一个了不起的创建。1、笛卡尔希望通过解析几何引进一个新的方法，他的成就远远超过他的希望。在代数的帮助下，不但能迅速地证明关于曲线的某些事实，而且这个探索问题的方式，几乎成为自动的了。这套研究方法甚至是更为有利的。用字母表示正数、负数，甚至以后代表复数时，就有了可能把综合几何中必须分别处理的情形，用代数统一处理了。例如，综合几何中证明三角形的高交于一点时，必须分别考虑交点在三角形内和三角形外，而解析几何证明时，则不须加区别。2、解析几何把代数和几何结合起来，把数学造成一个双面的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目的通过代数来达到。反过来，另一
15、方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义。又可以得到启发去提出新的结论（例如，笛卡尔就提出了用抛物线和圆的交点来求三次和四次方程的实根的著名方法），拉格朗日(Lagrange)曾把这些优点写进他的数学概要中：“只要代数和几何分道扬镳，他们的进展就缓慢，他们的应用就狭窄。但当这两门科学结成伴侣时，他们就互相吸取新鲜的活力，就以快速走向完善。”的确，十七世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几何，可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的。3、解析几何的显著优点在于它是数量工具。这个数量工具是科学的发展久已迫切需要的。十七世纪一直公开要求着的，例如当开普勒
16、发现行星沿椭圆轨道绕着太阳运动，伽利略发现抛出去的石子沿着抛物线的轨道飞出去时就必须计算这些椭圆和炮弹飞时所画的抛物线了。这些都需要提供数量的工具，研究物理世界，似乎首先需求几何。物体基本上是几何的形象，运动物体的路线是曲线，研究它们都需要数量知识。而解析几何能使人把形象和路线表示为代数形式，从而导出数量知识。三、一点启示解析几何的重要性在于他的方法建立坐标系，用方程来表示曲线，通过研究方程来研究曲线。苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的解析几何前言中说：“解析几何没有严格确定的内容，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而是方法。”“这个方法的实质，在于用某种标准的方式把方程（方程组）同几何对
17、象（即图形）相对应，使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来。”由于解析几何方法解决各类问题的普遍性，它已成为几何研究中的一个基本方法。不仅如此，它还被广泛应用于其他精确的自然科学领域，如力学和物理学之中。因此我们学习解析几何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不仅仅在于记住它的某些具体结论。解析几何的基本方法，包括两个方面：一是由图形到方程，二是从方程到图形，也就是选择坐标系，建立图形方程。通过对方程的研究得到图形的性质，了解图形的形状。解析几何离不开代数，但又要随时把各种代数表示的几何涵义放在心中。学习中要特别注意，培养自己的几何直观能力。这种能力对于数学的学习是极为重要的。应用解析几
18、何的方法，可以研究很多具体对象。因为我们应把目的放在掌握基本方法上，采取“研究对象简单一些，突出基本方法”的方针，避免发生因为研究对象复杂，引起很多枝节，从而淹没了基本方法的现象。这也是笛卡尔留给我们的一个教训。它就是因为讲了很多很多的作图题，把它的关于解析几何的基本思想淹没了。2、数学名言数学的本质在於它的自由. 康扥尔(Cantor)在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要. 康扥尔(Cantor)没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感, 很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想, 然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明.希尔伯特(Hilbert
19、)数学是无穷的科学. 赫尔曼外尔问题是数学的心脏. P.R.Halmos只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡. Hilbert数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.高斯3、“数学”名称的由来古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在世纪变成了大堆文章，而在世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。在现存的资料中，希罗多德（，公元前年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他
20、对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事费德洛斯篇中，他说：故事发生在古埃及的洛克拉丁（区域），在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯（），对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游
21、戏等。柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的形而上学（）第卷第章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点 就整
22、体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名词的来源。 “数学”一词是来自希腊语，它意味着某
23、种已学会或被理解的东西或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”，“可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷（也是当时杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（年）中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元世纪的拜占庭希腊字典“”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”词。 “数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能
24、与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。 首先，亚里士多德提出，“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯（公元前？年）在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼拉尔修（）简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（）对欧几里得的评注：
25、但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成份。赫拉克利特（公元前？年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”，“人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。 对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元世纪的拉丁作家格利乌
26、斯（）和公元世纪的希腊哲学家波菲利（）以及公元世纪的希腊哲学家扬布利科斯（）的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔培根（，年）通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进
27、了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（，年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。 在世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（）说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，或在任何古代资料中，都没
28、有发现适合这种解释的确证。然而世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。4、四色猜想世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个
29、问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。18781880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的
30、证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以
31、后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。5、为什么时间和角度的单位用六十进位制时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？ 我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高，时间的单位“小时”、角度的单位“度”都嫌太大
