1、点点清1 电场强度的理解和计算122电场强度的理解和计算一、电场强度的性质矢量性规定正电荷受力方向为该点场强的方向唯一性电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置二、电场强度的三个计算公式三、电场强度的理解例题1、电场中有一点P，下列说法正确的是()A.若放在P点的电荷的电荷量减半，则P点的场强减半B.若P点没有试探电荷，则P点场强为零C.P点场强越大，则同一电荷在P点所受静电力越大D.P点的场强方向为试探电荷在该点的受力方向解析公式E是电场强度的定义式，E与F、q无关。选项A、B均错误；由FEq知，选项C正确；场强方向
2、与正电荷受力方向相同，与负电荷受力方向相反，选项D错误。答案C四、电场强度的计算方法电场强度是静电学中极其重要的概念，也是高考考点分布的重点区域之一求电场强度常见的有（一）基本公式法：定义式法、点电荷电场强度公式法、匀强电场公式法、场强有三个公式：E、Ek、E，在一般情况下可由上述公式计算场强，例题2、(多选)把a、b两个完全相同的导体小球分别用长为l的绝缘细线拴接，小球质量均为m。先让a球带上q的电荷量并悬挂于O点，如图6所示。现将不带电的小球b也悬挂于O点(图中未画出)，两球接触后由于静电斥力分开，平衡时两球相距l。已知重力加速度为g，静电力常量为k，带电小球可视为点电荷。关于a球所受的静
3、电力大小F及O点处的场强大小E，下列正确的是()A.Fmg B.FmgC.E D.E解析对平衡时的a球受力分析如图所示，由正交分解法可得FTsin 60mg，FTcos 60F，联立解得Fmg，选项A正确，B错误；两小球接触后电荷量会平分，则每个小球的电荷量都为，由点电荷的场强公式可得两球分别在O点产生的场强为EaEbk，由平行四边形定则可得E2Eacos 30，选项C错误，D正确。答案AD（2）矢量叠加法：电场强度是矢量，叠加时应遵从平行四边形定则，分析电场的叠加问题的一般步骤是：(1)确定分析计算场强的空间位置；(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；(
4、3)依次利用平行四边形定则求出矢量和但在求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的场强时，上述公式无法直接应用。这时，如果转换思维角度，灵活运用补偿法叠加、微元法叠加、对称法叠加、等效法等巧妙方法，可以化难为易。1、直接叠加例题3、电荷连线上方的一点。下列哪种情况能使P点场强方向指向MN的左侧？（ ）A.Q1、Q2都是正电荷，且Q1|Q2|C.Q1是负电荷，Q2是正电荷，且|Q1|Q2| 2、叠加中的对称性思想：对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。利用空
5、间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化例如：如图9，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向（1）微元对称叠加：微元法就是将研究对象分割成若干微小的的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。 将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强可将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和场强叠加原理求出合场强。
6、例题4、如图10所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OPL，试求P点的场强。解析如图所示，设想将圆环看成由n个小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量Q，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P处产生的场强为E。由对称性知，各小段带电体在P处场强E的垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而其轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强EP，EPnExnkcos k。答案k点评：严格的说，微分法是利用微积分的思想处理物理问题的一种思想方法，对考生来说有一定的难度，但是在高考题中也时而出现，所以，在复习过程中要进行该方法的思维训练，以适
7、应高考的要求。（2）分段对称例题5、如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于E0两个平面通过同一条直径，夹角为，从半球中分出一部分球面，则所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O处的电场强度为（C） A、E=E0sin B、E=E0cos C、E=E0sin/2 D、E=E0cos/2分析：半球的中心O处电场强度E0是部分球面上电荷产生的电场叠加的结果，根据对称性，作出球面上的电荷在O点产生的电场分布，由平行四边形定则求解“小瓣”球面上的电荷在O处的电场强度解答：解：根据对称性，作出球面上的电荷在O点产生的电场分布，如图所示，由平行四边形定则得到“小瓣”球面上的
8、电荷在O处的电场强度E=E0sin/2 故选C点评：本题解题关键是抓住对称性，作出两部分球面上电荷产生的电场分布图（3）利用已知的对称结论例题6、如图所示,在正方形四个顶点分别放置一个点电荷,所带电荷量已在图中标出,则下列四个选项中,正方形中心处场强最大的是(B)A. B. C. D.解:A、根据点电荷电场强度公式,结合矢量合成法则,两个负电荷在正方形中心处场强为零,两个正点电荷在中心处电场强度为零,故A错误;B、同理,正方形对角线异种电荷的电场强度,即为各自点电荷在中心处相加,因此此处的电场强度大小为,所以B选项是正确的;C、同理,正方形对角线的两负电荷的电场强度在中心处相互抵消,而正点电荷
9、在中心处,叠加后电场强度大小为,故C错误;D、根据点电荷电场强度公式,结合叠加原理,则有在中心处的电场强度大小,故D错误.所以B选项是正确的.解析:在边长为a的正方形四个顶点A、B、C、D上依次放置电荷量为题中各选项的点电荷,根据电场强度的方向与大小进行叠加,从而即可求解.4、叠加中的等效思想：“等效替代”方法，是指在效果相同的前提下，从A事实出发，用另外的B事实来代替，必要时再由B而C直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应联系，得以用有关规律解之。如以模型代实物，以合力（合运动）替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等。（1）割补法等效求解物理问题，要根据问题给出的条件建立起物理模型
10、。但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍例题7、如图所示，用长为L的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d远远小于r，将电量为Q的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。 【解析】中学物理只讲到有关点电荷强的计算公式和匀强电场场强的计算方法以，本题是求一个规则带电体所产生的电场，没有现成公式直接可用，需变换思维角度。假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度与原
11、有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相应点的点电荷，它们在圆心O处产生的电场叠加后合场强为零。根据对称性可知，带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆心O处的场强E1，是可求的。若题中待求场强为E2，则E1+ E20。设原缺口环所带电荷的线密度为,，则补上的那一小段金属丝带电量Q，在0处的场强E1K Q/r2,由E1+ E20可得：E2- E1，负号表示E2与E1反向，背向圆心向左。点评：从此题解法可以看出，由于添扑圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，再“由整体分为局部”，这种先合后分的思想方法能使解题者迅速获
12、得解题思路。（2）类比法等效等效法：在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景例如：一个点电荷q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图8甲、乙所示例题8、如图所示，一带正Q电量的点电荷A，与一块接地的长金属板MN组成一系统，点电荷A与板MN间的垂直距离为为d，试求A与板MN的连线中点C处的电场强度【解析】求金属板和点电荷产生的合场强，显然用现在的公式直接求解比较困难。能否用中学所学的知识灵活地迁移而解决呢？当然可以。由于金属板接地，电势为0，而一对等量异号的电荷在其连线的中垂线上电势也为0，因而可以联想成图中所示的两个等量异号电荷组成的静
13、电场等效替代原电场。 根据电场叠加原理，容易求得C点的场强。点评：等效法的实质在效果相同的情况下，利用物理问题中某些相似或相同效果进行知识迁移的一种解决问题方法，等效法解题往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。（3）平衡法等效：利用处于静电平衡中的导体求解电场强度例题9、 如图所示，金属球壳A的半径为R，球外点电荷的电量为Q，到球心的距离为r，则金属球壳感应电荷产生的电场在球心处的场强等于（ ） A. B. C. 0 D. 【解析】：金属球壳A放在电荷周围，将发生静电感应现象，当导体处于静电平衡时，其内部场强处处为零，所以，对金属球壳内任意一点感应电荷在此处产生的场强与点电荷Q在此处的场强大小
14、相等，方向相反。而点电荷Q在球心的场强为，则感应电荷在球心处的场强为。则正确答案为D。（三）电场强度的其他求解方法极值法：上述方法不好计算和判断时，用极值法：物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理求解。数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。例题10、如图所示，两带电量均为+Q的点电荷相距2L，MN是两电荷连线的中垂线，分析MN上场强的变化。五、巩固练习练习1：如图所示，光滑绝缘细杆与水平面成角并固定，杆上套有一带正电小球，质量为m、电荷量为q, 为使小球静止在杆上，可加一匀强电场，所加电场的场强满足什么条件时，小球可在杆上保持静止(B)
15、A垂直于杆斜向上，场强大小为B竖直向上，场强大小为C垂直于杆斜向上，场强大小为D水平向右，场强大小为解析若所加电场的场强垂直于杆斜向上，对小球受力分析可知，其受到竖直向下的重力、垂直于杆斜向上的电场力和垂直于杆方向的支持力，在这三个力的作用下，小球沿杆方向上不可能平衡，选项A、C错误；若所加电场的场强竖直向上，对小球受力分析可知，当E时，电场力与重力等大反向，小球可在杆上保持静止，选项B正确；若所加电场的场强水平向右，对小球受力分析可知，其共受到三个力的作用，假设小球此时能够静止，则根据平衡条件可得Eqmgtan，所以E，选项D错误本题答案为B.练习2：如图所示，真空中O点有一点电荷，在它产生
16、的电场中有a、b两点，a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成60角，b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成30角关于a、b两点场强大小Ea、Eb的关系，以下结论正确的是(D)AEa BEaEbCEaEb DEa3Eb解析由题图可知，rbra，再由E可知，故D正确练习3：如图所示,在匀强电场中,有A、B两点,它们间距为,两点的连线与场强方向成角.将一个电量为的电荷由A移到B,其电势能增加了.则求:(1)A、B两点的电势差(2)匀强电场的场强大小.答案详解解:(1)因为电势能增加,即电场力做功为.电场力做负功则;(3)根据得,代入数据计算得出.答:(1)AB两点的电势差为;(2)匀强电场的场强的大
17、小为.解析:根据电势差的变化得出电场力做功,结合电场力做功与电势差的关系求出A、B两点的电势差.根据匀强电场的电场强度公式求出场强的大小.练习4：(多选)真空中两点电荷q1、q2分别位于直角三角形的顶点C和顶点B上，D为斜边AB的中点，ABC30，如图4所示。已知A点电场强度的方向垂直AB向下，则下列说法正确的是()图4A.q1带正电，q2带负电B.D点电势高于A点电势C.q1电荷量的绝对值等于q2电荷量的绝对值的一半D.q1电荷量的绝对值等于q2电荷量的绝对值的二倍解析根据题述，A点的电场强度垂直AB向下，可知q1带正电，q2带负电，选项A正确；可粗略画出两点电荷电场的等势面，显然A点的电势
18、高于D点，选项B错误；根据题述，A点的电场强度垂直AB向下，可得sin 30，E1k，E2k，又r22r1，联立解得q22q1，选项C正确，D错误。答案AC练习5：(多选)如图5所示，在x轴上关于O点对称的A、B两点有等量正点电荷(带电荷量均为Q)，在y轴上C点有负点电荷(带电荷量为Q)，且COODr，ADO60。下列判断正确的是()图5A.O点电场强度小于D点的电场强度B.若两个正点电荷的电荷量同时等量地缓慢增大，则O点电场强度也增大C.若两个正点电荷的电荷量同时等量地缓慢增大，则D点电场强度也增大D.若负点电荷的电荷量缓慢减小，则D点电场强度将增大解析两个正点电荷在D点产生的场强与负点电荷
19、在D点产生的场强大小相等，方向相反，合场强为零，两个正点电荷在O点产生的场强为零，但负点电荷在O点产生的场强为Ek，若两个正点电荷的电荷量同时等量地缓慢增大，则O点电场强度不变，选项A、B错误；若两个正点电荷的电荷量同时等量地缓慢增大，则D点电场强度将增大，若负点电荷的电荷量缓慢减小，则D点电场强度将增大，所以选项C、D正确。答案CD练习6：如图所示，在水平面上相距为2d的A和B两点上固定着等量异种的两个点电荷，电荷量分别为Q和Q.在AB连线的中垂线上取一点P，垂足为O，PAO ，则P点的场强的大小和方向()A. cos2，方向向右 B. cos2，方向向上C. cos3，方向向右 D. co
20、s3，方向向上练习7：如图所示，AC、BD为圆的两条互相垂直的直径，圆心为O，将带有等量电荷q的正、负点电荷放在圆周上，它们的位置关于AC对称要使圆心O处的电场强度为零，可在圆周上再放置一个适当电荷量的正点电荷Q，则该点电荷Q应放在()AA点 BB点CC点 DD点练习8：如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直则(A)AA点的场强大小为BB点的场强大小为EkCD点的场强大小不可能为0DA、C两点的场强相同练习9：如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B(可视为
21、点电荷)，被固定在光滑的绝缘水平面上，P、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且POON.现将一个电荷量很小的带正电的小球C(可视为质点)由P点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是(AD)A速度先增大，再减小B速度一直增大C加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大D加速度先减小，再增大解析在AB的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，故正电荷所受库仑力沿连线的中垂线运动时，电荷的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大；由O点到无穷远处时，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性如果P、N相距
22、很近，加速度则先减小，再增大练习10：（2015海南。7）如图，两电荷分别为Q（Q）和-Q的点电荷对称地放置在x轴上原点O的两侧，a点位于x轴上O点与点电荷Q之间，b位于y轴o点上方。取无穷远处的电势为零。下列说法正确的是（BC）A:点电势为零，电场强度也为零B: 正的试探电荷在点的电势能大于零，所受电场力方向向右C: 将正的试探电荷从点移到点，必须克服电场力做功D: 将同一正的试探电荷先后从、两点移到点，后者电势能的变化较大解析:A项，轴为零等势线，所以点的电势为零，而若在点放一个正的试探电荷，则试探电荷将受到沿轴正方向的电场力，所以点电场强度不为零，故A项错误。B、C项，由于点的电势为零，
23、而在轴上电场方向向右，则将正的试探电荷从点移动到点，电场力做负功，克服电场力做功，试探电荷的电势能增大，所以正的试探电荷在点的电势能大于零，故B、C项正确。D项，由于、两点的电势相等，均为零，所以将同一试探电荷先后从、两点移到点，电势能的变化相等，故D项错误。综上所述，本题正确答案为BC。练习11：（2013天津卷6）两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A点为MN上的一点。一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动。取无限远处的电势为零，则（BC ）A: q由A向O的运动是匀加速直线运动B: q由A向O运动的过程电势能逐渐减小C
24、: q运动到O点时的动能最大D: q运动到O点时电势能为零解析:电场分布如图所示：所以，A-O过程中，试探电荷受到的合力指向O点，加速运动，但电场线分布不均匀，故加速度不恒定；O-N受到的合力仍指向O点，与速度方向相反，故做减速运动，加速度大小仍不恒定。选项分析：A项，由过程分析可知，加速度不恒定，故A项错误。B项，电场力做正功，电势能减小，故B项正确。C项，试探电荷在O点速度最大，故动能最大，故C项正确。D项，沿着中垂线MN将带负电的试探电荷q移动到无穷远过程，电场力方向沿MN指向O点，因此电场力方向与位移始终反向，即电场力做负功，电势能增加，无穷远处电势为零，则试探电荷O点电势能最大，故D
25、项错误。综上所述，本题正确答案为BC。练习12：(2013海南1)如图，电荷量为q1和q2的两个点电荷分别位于P点和Q点，已知在P、Q连线上某点R处的电场强度为零，且PR2RQ.则(B)Aq12q2Bq14q2Cq12q2Dq14q2解析由于R处的合场强为0，故两点电荷的电性相同，结合点电荷的场强公式Ek可知，kk0，又r12r2，故q14q2，本题选B.练习13：(2013新课标18)如图，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上；a、b带正电，电荷量均为q，c带负电整个系统置于方向水平的匀强电场中已知静电力常量为k.若三个小球均处于静止状态，则匀强电
26、场场强的大小为(B)A. B. C. D. 解析因为小球a、b对小球c的静电力的合力方向垂直于a、b连线向上，又因c带负电，所以匀强电场的场强方向为垂直于a、b连线向上分析小球a受力情况：b对a的排斥力F1、c对a的吸引力F2和匀强电场对a的电场力F3qE.根据a受力平衡可知，a受力情况如图所示利用正交分解法：F2cos60F1k F2sin60qE.解得E.练习14：（2013山东。19）如图所示,在x轴上相距为L的两点固定两个等量异种点电荷+Q、一Q,虚线是以+Q所在点为圆心、L/2为半径的圆,a、b、c、d是圆上的四个点,其中a、c两点在x轴上,b、d两点关于z轴对称.下列判断正确的是(
27、BCD)A.b、d两点处的电场强度相同B.b、d两点处的电势相同C.四个点中c点处的电势最低D.将一试探电荷+q沿圆周由a点移至c点,+q的电势能减小解:A、该电场中的电场强度关于X轴对称,所以bd两点场强大小相等,方向是对称的,不相同的.故A错误;B、该电场中的电势关于X轴对称,所以bd两点的电势相等,所以B选项是正确的;C、c点在两个电荷连线的中点上,也是在两个电荷连线的中垂线上,所以它的电势和无穷远处的电势相等.而正电荷周围的电场的电势都比它高,即C点的电势在四个点中是最低的.所以C选项是正确的;D、c点的电势低于a点的电势,试探电荷+q沿圆周由a点移至c点,电场力做正功,+q的电势能减
28、小.所以D选项是正确的;所以BCD选项是正确的.解析:该电场中的电势、电场强度都关于x轴对称,所以b、d两点的电势相等,场强大小相等,方向是对称的.c点在两个电荷连线的中点上,也是在两个电荷连线的中垂线上,所以它的电势和无穷远处的电势相等.练习15：如图所示，ABCD为等腰三角形，A=B=60，AB=2CD，在底角A、B分别放上一个点电荷，电荷量分别为qA和qB，在C点的电场强度方向沿DC向右，A点的点电荷在C点产生的场强大小为EA，B点的点电荷在C点产生的场强大小为EB，则下列说法正确的是（C）A.放在A点的点电荷可能带负电B.在D点的电场强度方向沿DC向右C.EAEBD.|qA|=|qB|
29、由于两点电荷在C点产生的合场强方向沿DC向右，由平行四边形定则可知两点电荷在C点产生的场强方向如图所示：由图中几何关系可知EAEB，且A处所放点电荷为正电荷，B处所放点电荷为负电荷，且A处的点电荷的电荷量的大小大于B处所放的点电荷的电荷量的大小，选项C正确，AD错误；对两点电荷在D处产生的场强进行合并，由几何关系可知其合场强方向为向右偏上，不沿DC方向，选项B错误。故选C。【解题方法提示】场强的叠加遵循平行四边形定则，由此作出场强的叠加图；根据几何关系比较A、B在C点产生的场强的大小及在D点的合场强的方向；场强方向是高电势指向低电势，正电荷场强方向向外，负电荷场强方向向内。练习16：(2014
30、福建20)如图3所示，真空中xOy平面直角坐标系上的ABC三点构成等边三角形，边长L2.0m若将电荷量均为q2.0106C的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量k9.0109Nm2/C2，求：(1)两点电荷间的库仑力大小；(2)C点的电场强度的大小和方向解析(1)根据库仑定律，A、B两点电荷间的库仑力大小为Fk代入数据得F9.0103N(2)A、B两点电荷在C点产生的场强大小相等，均为E1kA、B两点电荷形成的电场在C点的合场强大小为E2E1cos30由式并代入数据得E7.8103N/C场强E的方向沿y轴正方向答案(1)9.0103N(2)7.8103N/C方向沿y轴正方向练习17：ab是长为l的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点，位置如图所示ab上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2，则以下说法正确
