1、高等数学微积分知识整理高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性*单调性的定义（以递增为例）：x1 , x2 Df ，若x1x2时f (x1 ) f (x)在Df 上严格单调递增。f (x2 )，则f (x)在Df 上单调递增；将 改为，则*有界的定义： M0，对于x A Df ，都有| f (x) | M，则f (x)在A上有界。（f(x)mR，则 f(x)下有界；反之则上有界。只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪
2、些基本初等函数复合而成。*反函数存在的可能情况：y 与 x 一一对应；f(x)是某区间上的严格单调函数（反函数的单调性与原来的函数相同）f -1 f f f* D = R ；当x D 时，f -1 ( f (x) = x；当x R 时，f ( f -1 (x) = x。4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N的限制，从而找到 N；绝对值不等式与不等式放缩
3、也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） n n若lim a = A，则a - A是无穷小量。（一种证明极限的方法）n（2） 有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。（3） 无穷小量乘以有界量还是无穷小量。6、收敛数列的性质（1） 收敛数列必然有界（2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。（逆否命题：如果一个数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列，则该数列发散。）（3） 夹逼性（注意夹条件与逼条件）（4） n n*保号性：若lim a = A0，则必然存在N，当nN时，a 0（.n7、无穷大量的两个定义：小于 0 类似）（1） a若 1 为无穷小量，则a 为无穷大量； n
4、n（2）K0，N，当nN时，| an |K。8、数列收敛的判定方法与极限的求解（1） 利用极限的定义（先知道极限才能使用，技巧性略强）（2） 单调有界数列必收敛（不能同时求出极限，往往用于递推式）（3） 利用子列的收敛性（可以直接得出极限，逆否命题常用于判断发散）（4） 柯西收敛准则（不能同时求出极限，往往用于求和式）（5） Stolz 定理：若b 严格单调递增且lim b= ，而lim an+1 - an= A，则lim an= A。（可以同时n n nn bn+1- bnn bn求出极限，常常用于比值形式的式子）（6） 递推式求极限：不动点法 an+1 =f (a )，且lim a = A
5、，则A =n nnf ( A)。（7） 平均值法： 若lim a= A，则lim a1 + a2 + . + an= A。n nn n（8） 利用定积分的定义求极限。需要配凑 Riemann 和的形式。n a9、几个重要数列的极限（1） a0时，limn= 1；（2） n nlimn（3） n n!limn（4） klim n= 1；= +；= 0，其中k 0，a1为常数；n an1 1 1an + an + . + an 1 an + an + . + an （5）lim( 1 2 k ) n = maxa , a ,., a ；lim( 1 2 k )n = k a a .a .n k1
6、2 kn k1 2 k10、数列极限型函数的表达式： f (x) = lim g(n, x)。n处理方式：对 x 分类讨论，在各种情况下将 x 视为常数，对 n 求极限。例如：f (x) = limxn +1，x R+。求f (x)。n 2xn +11+ 1当x1时，f (x) = lim xn+n12xn. 当x = 1时，f (x) = 2 ；3= 1 ； 2当0x1时，f (x) = limxn +1= 0 +1= 1 。n 2xn +1最终结果要写成分段函数。0 +1三、函数的极限1、函数极限的定义：-语言（某点 x0 处）、-M 语言（x时）。2、数列极限与函数极限的关系：Heine
7、 定理lim f (x) = A 对任一数列xn 满足lim xn = a，有lim f (xn ) = A。（a可以是）xa逆否命题：nnlim f (x)不存在 存在两个数列xn ,yn ，满足lim xn = lim yn = axann且lim f (xn )与lim f ( yn )不都存在或者lim f (xn ) lim f ( yn )。nnnn3、极限的性质：（1） 四则运算、连续函数极限的复合运算；（2） 夹逼性；（3） *保号性；（4）（函数）局部有界性： 若lim f (x) = A，则在a的一个邻域内，f (x)有界。xa（5）有序性：若f (x)g(x（)或者）在a
8、的一个邻域内成立，则lim f (x) lim g(x)。（反过来未必成立）xa xa4、两个重要极限：limx0sinx x= 1；lim(1+x1 )x = lim(1+ x) x = e。（x 也可以是中间变量）1x x0（求极限时注意配凑出这两个极限）5、单侧极限（可以用来判断某点极限是否存在）四、连续函数1、连续的定义： limx x0f (x) =f (x0 )。（左连续、右连续）2、连续的三个必要条件： f (x)在x0处有定义，limx x0f (x)存在，limx x0f (x) =f (x0 )。3、连续性在四则运算、复合运算、反函数中的保持。4、间断点（可去、跳跃间断点为
9、第一类，其余为第二类）（1） 无穷间断点：f(x)在此点无定义并且趋向于。（2） *振荡间断点：函数值在此点附近无限快地振荡， 如f (x) = sin 1 在x = 0处。x（3） 可去间断点：对这一个点的函数值进行补充定义或调整，可以使函数在此点连续，即limx x0f (x)存在但不等于f (x0 )，或f (x0 )不存在。（4） 跳跃间断点： lim0x x+f (x)与lim0x x-f (x)存在但不相等。5、一切初等函数在其定义域内均连续。6、闭区间上连续函数的性质（1）有界；（2）存在最大值和最小值；（3）介值定理；（4）零点存在性定理。7、连续型无穷小的比较（1）x0 时，
10、 若0，则x = (x)；（2）x+时， 若0ab1，则a x = (bx )。（3） 对任意p 0，有 lim lnx = 0，即x +时有 1=( 1 ).x+ x p（4） 等价无穷小替换：x 0时，sin x x tan x，ln(1+ x) x，1- cos x x px2 ，n 1+ x -1 2ln xx ，ex n-1 x, arcsinx x arctan x。注：等价无穷小替换只有在乘除运算中才可以随意使用，同号无穷小相减，可能会产生 x 的高阶无穷小。8、函数图像的渐近线：垂直渐近线 x=x0。斜（水平）渐近线 y=ax+b。其中a = lim f (x)，b = lim
11、 f (x) - ax。注意 x+与 x-的情况可能不一样。x xx第二章 导数与微分一、导数1、导数的定义（不能忽视，也是求导的常用方法）：f (a) = lim f (x) - f (a) = lim f (a + x) - f (a) .（如果 f(a)=0 或者 a=0，注意分子分 xax - ax0 x母可能需要补 0）（注意左导数、右导数的概念）2、可导必定连续，连续未必可导。3、导数的四则运算（略）注意( f1 f2 . fn ) = f1 f2 . fn + f1 f2 . fn +. + f1 f2 . fn .4、复合函数的导数：f(g(x)=f(g(x)g(x)。（链式法
12、则）0 05、反函数的导数：若在点(x , y )处，y = f (x)可导且f (x ) 0，则 f -1 ( y )= 1 .0 06、初等函数的导数公式f (x0 )其中，shx =ex - e- x2, chx =ex + e- x2, thx =ex - e- xex + e- x ,arshx = ln(x + x2 +1), archx = ln(x +x2 -1), arthx = 1 ln 1+ x . 7、对数求导法f (x) = u(x)v( x) ln f (x) = v(x) ln u(x)2 1- x f (x) = v(x) ln u(x) + v(x) u(x)
13、f (x) u(x) f (x) = u(x)v( x)v(x) ln u(x) + v(x) u(x).u(x)8、几个重要的高阶导数)(sin x)(n) = sin( x + n2)(cos x)(n) = cos(x + n2(ln x)(n) = (-1)n-1 (n -1)!x-n( 1 )x(n)= (-1)n n! xn+1(xk )(n) =k (k -1).(k - n +1)xk -n , n k0, n k +1.(k N+ )nn9、高阶导数的莱布尼茨公式： f (x)g(x)(n) = Ci f (i ) (x)g (n-i ) (x).二、微分1、微分的实质： 在
14、可微的x0处，dy =2、对于一元函数，可微等价于可导。3、微分的四则运算（略）i=0f (x0 )x =f (x0 )dx = y -(x).4、复合函数的微分一阶微分形式不变性（Pfaff form）： dy = dy du .dy 2 d ( dy ) dx du dxdy = dt d y dt dx5、参数方程的微分：dx， =dx dx2dtdx .dt6、近似计算： f (x0 + x) f (x0 ) + f (x0 )x.0 0*7、误差估计： 精确值x，近似值x ，则绝对误差x =| x - x |，相对误差= x| x0 |0xx上界为绝对误差限，相对误差限 * = x
15、。若y = f (x)，则 =| f (x ) |， * =| x0 f (x0 ) | *. x三、微分学中值定理及其应用x | x |y 0 x yf (x0 )1、一切的大前提：f(x)、g(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导。（证明时要给出这两个条件！）2、Fermat 引理：可导极值点处导数等于 0。3、Rolle 中值定理： f (a) = f (b) 存在(a, b)使得f () = 0.4、Lagrange 中值定理： 存在(a, b)使得f () =推论：（1）f(x)=0，则 f(x)=C。（2）f(x)=g(x)，则 f(x)=g(x)+C。f (b) - f (a)
16、 .b - a5、Cauchy 中值定理： 存在(a, b)使得 f (b) - f (a) =g(b) - g(a)f () .g()6、使用中值定理的注意点：（1） 要有运用中值定理的意识，将其当成做题时考虑的对象之一；（2） 学会在高阶导数情况下多次运用中值定理；（3） 在遇到例如 f () 的式子时要构造g(x（)2（4） 补 0 是常用方法；如x2），运用Cauchy中值定理求解。（5）构造函数很重要，要熟悉一些常见的变形：xn f (x)（1）xf (x) + nf (x) =；xn-1（2）f (x) + f (x) =ex f (x)ex ;（3）f (x) - f (x) =
17、 ex f (x)；ex（4 f (x)） = ln | f (x) |；f (x)（5）f (x) - f (x) = f (x) - f (x) + f (x) - f (x) =ex ( f (x) - f (x)ex .（在看到相关的式子时要有意识地尝试这些构造，实质是对这些式子做积分）7、L Hospital0 - ，1，0 ,00 0 法则：用于 ， ，0 等情况，但最终都应回归到 或 。0 而且，此法则不是万能的。n f (k ) (x ) k n8、Taylor公式：f (x) = 0 (x - x0 ) +(x - x0 )（.Peano余项）k =0 k!(1+ x) =
18、1+x + (-1) x2 + . + (-1).(- n +1) xn +(xn );2ln(1+ x) = x - x22!- +x3+ .3(-1)n+1 xnn+(xnn!)( 0);3tan x = x + x3+ 2 x515+(x5（)只需知道前几项）。*Taylor 展开对一切中间变量 u 都成立，即对于在 a 处连续的函数 g(x)，有nf (g(x) = i=0f (i ) (g(a)i!(g(x) - g(a)i+(g(x) - g(a)n .*Taylor 展开的应用：近似计算、求极限、证明一些与高阶导数有关的结论在此总结一下求函数极限的一些方法：（1） -语言（较繁琐
19、，极少使用）；（2） 代数变形，如x = 11x= n xn，a - b =an - bnan-1 + an-2b + . + bn-1，a = a + b - b，ax = ex ln a，f (x) =f (x) x，f (x)g ( x) = eg ( x) ln f ( x)，补0等；x（3） 等价无穷小替换（加减法中慎用，避免产生更高阶的无穷小）；（4） Heine定理：可以用函数极限求对应数列的极限；（5） 先证明相关数列收敛，再用取整函数夹逼（ 必须转化为某变量趋向+ 的情况）；（6） L Hospital法则：求导之后会变得简单或可以计算时使用，注意不是不定型的不能使用；（7）
20、 Taylor展开：可以自行选择展开的项数以配凑次数。（在确定式子阶数之后，一定要展0开到所有能产生该阶小量的项都出现。在处理四、函数的单调性与凸性型式子时几乎万能）01、用一阶导数的符号判断函数的单调性：注意，可导函数在某区间单调递增（递减）的充要条件是 f(x)0（0），等号不能少。另外，极值点是 x 的值而不是一个点。*一个有趣的结论：对于连续可导函数f (x)，若lim f (x) 存在，则f (a) = 0，且xa x - alim f (x) = f (a（)xa x - a2、几个概念再次提醒补0的重要性）。（1） 极值点：使得 f(x)在 x 附近的一个邻域内取得最值的 x 的
21、值。函数在极值点处不一定可导，但只要可导，则其导数等于 0。（2） 临界点（驻点）：在该点处可导且导数为 0 的 x 的值。临界点不一定是极值点，可能只是函数变化过程中在此点的瞬时变化率为 0，其两侧的单调性可以相同。3、函数取极值的充分条件：极值点的左右邻域内导数值异号（一边0，另一边0）。4、用一阶、二阶导数判断极值点：若 f(x0)=0 且 f (x0)0，则 x0 是 f(x)的极值点。（f (x0)0 为极小值点，f (x0)0 为极大值点）*通过 Taylor 展开做出的推广：若存在正整数 n 使得 f(x)在 x0 处的前(2n-1)阶导数都等于 0，而 2n 阶导数不等于 0，
22、则 x0 是 f(x)的极值点。5、求函数在闭区间上最值的步骤：求极值求端点值比较以上各值。6、凸性的定义：对于a, b上的连续函数f (x)与x1，x2 a, b，f ( x1 + x2 ) 2f (x1 ) + f (x2 ) f (x)在a, b上下凸。反之则为上凸。2*推论：f (x)在a, b上下凸 x ，x ，.，xa, b，f ( x1 + x2 + . + xn ) f (x1 ) + f (x2 ) + . + f (xn ) .1 2 n n n7、用二阶导数判断凸性：仍然注意与的等号不能少。另外，拐点是点而不是x 的值。8、拐点的实质：两侧邻域内凸性相反的点。可以二阶不可
23、导，但一旦二阶可导则二阶导数等于 0。9、函数草图的描画步骤（1） 确定函数 f(x)的定义域。如果有奇偶性、周期性，也需指出；（2） 计算 f(x)，找出所有驻点与不可导点，确定 f(x)的单调区间与极值（表格）；（3） 计算 f (x)，确定 f(x)的凸性区间与拐点（表格）；（4） 讨论曲线的渐近线；（5） 将极值点、拐点处的函数值求出，如需要增加图像的准确性，可以再取几个特殊点。（6） 最终图像效果的衡量：单调性、凸性是否正确，渐近线是否正确并画全， 关键点处函数值是否正确。*五、用 Newton 切线法求方程的近似解1、基本原理：在 f(x)零点所在小区间a,b的端点处作切线，此切线
24、与 x 轴交于(x1,0)；再作(x1,f(x1)处的切线，此切线与 x 轴交于(x2,0)；以此类推，数列xn将收敛于。x = x- f (xn ) .n2、数列xn的递推式：n+1n f (x )3、误差估计：| xn+1-|M | x2m n-|2其中 M 是|f (x)|在a,b上的最大值，m 是|f (x)|在a,b上的最小值。第三章 一元函数积分学（本章重难点在于不定积分和非初等定积分，其余的部分稍微简略一些） 一、定积分的概念n1、Riemann 和：对闭区间a,b做分割 a=x0x1x2.0）1） x d x= x + 1 + + 1C （ - 1）；2）1 d x = lnx| x | + C ；x a x x x3） ad x =ln a+ C （ a 0， a 1）， ed x = e+ C ；4） sinx d x =- cosx + C ；5） cosx d x= sinx + C ；6）1 d x =cos 2 x sec2 x d x =tan
