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高等数学微积分知识整理
高等数学微积分知识整理
第一章极限与连续
一、函数
1、函数的定义与要素(定义域、对应法则;函数相等的条件)
2、函数的性质:
单调性,奇偶性,周期性,有界性
*单调性的定义(以递增为例):
∀x1,x2∈Df,若x1<x2时f(x1)≤
f(x)在Df上严格单调递增。
f(x2),则f(x)在Df上单调递增;将≤改为<,则
*有界的定义:
∃M>0,对于∀x∈A⊆Df,都有|f(x)|≤M,则f(x)在A上有界。
(f(x)≥m∈R,则f(x)下有界;反之则上有界。
只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。
)
3、函数的运算:
四则运算、复合运算、反函数
*题型:
判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况:
①y与x一一对应;②f(x)是某区间上的严格单调函数
(反函数的单调性与原来的函数相同)
f-1fff
*D=R;当x∈D时,f-1(f(x))=x;当x∈R时,f(f-1(x))=x。
4、初等函数:
包括6大基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。
二、数列的极限
1、数列的定义及表示方法
2、数列的性质:
单调性、有界性
3、数列极限的定义:
ε-N语言(存在性命题要学会寻找充分条件,即增加对N
的限制,从而找到N;绝对值不等式与不等式放缩也很重要)
4、极限的四则运算
5、无穷小量的性质
(1)
nn
若lima=A,则{a-A}是无穷小量。
(一种证明极限的方法)
n→∞
(2)有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。
(3)无穷小量乘以有界量还是无穷小量。
6、收敛数列的性质
(1)收敛数列必然有界
(2)收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。
(☆逆否命题:
如果一个数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列,则该数列发散。
)
(3)夹逼性(注意夹条件与逼条件)
(4)
nn
*保号性:
若lima=A>0,则必然存在N,当n>N时,a>0(.
n→∞
7、无穷大量的两个定义:
小于0类似)
(1)
a
若1为无穷小量,则{a}为无穷大量;
{}n
n
(2)∀K>0,∃N,当n>N时,|an|>K。
8、数列收敛的判定方法与极限的求解
(1)利用极限的定义(先知道极限才能使用,技巧性略强)
(2)单调有界数列必收敛(不能同时求出极限,往往用于递推式)
(3)利用子列的收敛性(可以直接得出极限,逆否命题常用于判断发散)
(4)柯西收敛准则(不能同时求出极限,往往用于求和式)
(5)Stolz定理:
若{b}严格单调递增且limb
=∞,而liman+1-an
=A,则liman
=A。
(可以同时
nn→∞n
n→∞bn+1
-
bn
n→∞bn
求出极限,常常用于比值形式的式子)
(6)递推式求极限:
不动点法——an+1=
f(a),且lima=A,则A=
nn
n→∞
f(A)。
(7)平均值法:
若lima
=A,则lima1+a2+...+an
=A。
n→∞n
n→∞n
(8)利用定积分的定义求极限。
需要配凑Riemann和的形式。
na
9、几个重要数列的极限
(1)a>0时,lim
n→∞
=1;
(2)
nn
lim
n→∞
(3)
nn!
lim
n→∞
(4)
k
limn
=1;
=+∞;
=0,其中k≥0,a>1为常数;
n→∞an
111
an+an+...+an1an+an+...+an
(5)lim(12k)n=max{a,a,...,a};lim(12k)n=kaa...a.
n→∞k
12k
n→∞k
12k
10、数列极限型函数的表达式:
f(x)=limg(n,x)。
n→∞
处理方式:
对x分类讨论,在各种情况下将x视为常数,对n求极限。
例如:
f(x)=lim
xn+1
,x∈R+。
求f(x)。
n→∞2xn+1
1+1
①当x>1时,f(x)=limxn
+
n→∞1
2
xn
.②当x=1时,f(x)=2;
3
=1;2
③当0<x<1时,f(x)=lim
xn+1
=0+1
=1。
n→∞2xn+1
最终结果要写成分段函数。
0+1
三、函数的极限
1、函数极限的定义:
ε-δ语言(某点x0处)、ε-M语言(x→∞时)。
2、数列极限与函数极限的关系:
Heine定理
limf(x)=A⇔对任一数列{xn}满足limxn=a,有limf(xn)=A。
(a可以是∞)
x→a
逆否命题:
n→∞
n→∞
limf(x)不存在⇔存在两个数列{xn},{yn},满足limxn=limyn=a
x→a
n→∞
n→∞
且limf(xn)与limf(yn)不都存在或者limf(xn)≠limf(yn)。
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
3、极限的性质:
(1)四则运算、连续函数极限的复合运算;
(2)夹逼性;
(3)*保号性;
(4)(函数)局部有界性:
若limf(x)=A,则在a的一个邻域内,f(x)有界。
x→a
(5)有序性:
若f(x)<g(x()
或者≤)在a的一个邻域内成立,则limf(x)≤limg(x)。
(反过来未必成立)
x→ax→a
4、两个重要极限:
lim
x→0
sinxx
=1;lim(1+
x→∞
1)x=lim(1+x)x=e。
(x也可以是中间变量)
1
xx→0
(求极限时注意配凑出这两个极限)
5、单侧极限(可以用来判断某点极限是否存在)
四、连续函数
1、连续的定义:
lim
x→x0
f(x)=
f(x0)。
(左连续、右连续)
2、连续的三个必要条件:
f(x)在x0处有定义,lim
x→x0
f(x)存在,lim
x→x0
f(x)=
f(x0)。
3、连续性在四则运算、复合运算、反函数中的保持。
4、间断点(可去、跳跃间断点为第一类,其余为第二类)
(1)无穷间断点:
f(x)在此点无定义并且趋向于∞。
(2)*振荡间断点:
函数值在此点附近无限快地振荡,如f(x)=sin1在x=0处。
x
(3)可去间断点:
对这一个点的函数值进行补充定义或调整,可以使函数在此
点连续,即lim
x→x0
f(x)存在但不等于f(x0),或f(x0)不存在。
(4)跳跃间断点:
lim
0
x→x+
f(x)与lim
0
x→x-
f(x)存在但不相等。
5、一切初等函数在其定义域内均连续。
6、闭区间上连续函数的性质
(1)有界;
(2)存在最大值和最小值;(3)介值定理;(4)零点存在性定理。
7、连续型无穷小的比较
(1)x→0时,若0<α<β,则xβ=ο(xα);
(2)x→+∞时,若0<a<b<1,则ax=ο(bx)。
(3)对任意p>0,有limlnx=0,即x→+∞时有1
=ο
(1).
x→+∞xp
(4)等价无穷小替换:
x→0时,sinx~x~tanx,ln(1+x)~x,1-cosx~
xp
x
2
,n1+x-1~
2
lnx
x,exn
-1~x,arcsinx~x~arctanx。
注:
等价无穷小替换只有在乘除运算中才可以随意使用,同号无穷小相减,可能会产生x的高阶无穷小。
8、函数图像的渐近线:
垂直渐近线x=x0。
斜(水平)渐近线y=ax+b。
其中
a=limf(x),b=lim[f(x)-ax]。
注意x→+∞与x→-∞的情况可能不一样。
x→∞x
x→∞
第二章导数与微分
一、导数
1、导数的定义(不能忽视,也是求导的常用方法):
f'(a)=limf(x)-f(a)=limf(a+∆x)-f(a).(如果f(a)=0或者a=0,注意分子分
x→a
x-a
∆x→0∆x
母可能需要补0)
(注意左导数、右导数的概念)
2、可导必定连续,连续未必可导。
3、导数的四则运算(略)
注意(f1f2...fn)'=f1'f2...fn+f1f2'...fn+...+f1f2...fn'.
4、复合函数的导数:
[f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x)。
(链式法则)
00
5、反函数的导数:
若在点(x,y)处,y=f(x)可导且f'(x)≠0,则[f-1(y)]'=1.
00
6、初等函数的导数公式
f'(x0)
其中,shx=
ex-e-x
2
chx=
ex+e-x
2
thx=
ex-e-x
ex+e-x,
arshx=ln(x+x2+1),archx=ln(x+
x2-1),arthx=1ln1+x.
7、对数求导法
f(x)=u(x)v(x)⇒lnf(x)=v(x)lnu(x)
21-x
⇒f'(x)=v'(x)lnu(x)+v(x)u'(x)
f(x)u(x)
⇒f'(x)=u(x)v(x)[v'(x)lnu(x)+v(x)u'(x)].
u(x)
8、几个重要的高阶导数
)
(sinx)(n)=sin(x+nπ
2
)
(cosx)(n)=cos(x+nπ
2
(lnx)(n)=(-1)n-1(n-1)!
⋅x-n
(1)
x
(n)
=(-1)n⋅
n!
xn+1
(xk)(n)={
k(k-1)...(k-n+1)xk-n,n≤k
0,n≥k+1.
(k∈N+)
n
n
9、高阶导数的莱布尼茨公式:
[f(x)g(x)](n)=∑Cif(i)(x)g(n-i)(x).
二、微分
1、微分的实质:
在可微的x0处,dy=
2、对于一元函数,可微等价于可导。
3、微分的四则运算(略)
i=0
f'(x0)∆x=
f'(x0)dx=∆y-ο(∆x).
4、复合函数的微分——一阶微分形式不变性(Pfaffform):
dy=dy⋅du.
dy2d(dy)
dxdudx
dy=dtdy
dtdx
5、参数方程的微分:
dx
,=
dxdx2
dt
dx.
dt
6、近似计算:
f(x0+∆x)≈f(x0)+f'(x0)∆x.
00
*7、误差估计:
精确值x,近似值x,则绝对误差∆x=|x-x|,相对误差ε=∆x
|x0|
0
x
∆x上界为绝对误差限δ,相对误差限δ*=δx。
若y=f(x),则δ=|f'(x)|δ,δ*=|x0f'(x0)|δ*.
x
三、微分学中值定理及其应用
x|x|
y0xy
f(x0)
1、一切的大前提:
f(x)、g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。
(证明时要给出这两个条件!
)
2、Fermat引理:
可导极值点处导数等于0。
3、Rolle中值定理:
f(a)=f(b)⇒存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=0.
4、Lagrange中值定理:
存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=
→推论:
(1)f’(x)=0,则f(x)=C。
(2)f’(x)=g’(x),则f(x)=g(x)+C。
f(b)-f(a).
b-a
5、Cauchy中值定理:
存在ξ∈(a,b)使得f(b)-f(a)=
g(b)-g(a)
f'(ξ).
g'(ξ)
6、使用中值定理的注意点:
(1)要有运用中值定理的意识,将其当成做题时考虑的对象之一;
(2)学会在高阶导数情况下多次运用中值定理;
(3)在遇到例如f'(ξ)的式子时要构造g(x()
2ξ
(4)补0是常用方法;
如x2),运用Cauchy中值定理求解。
☆(5)构造函数很重要,要熟悉一些常见的变形:
[xnf(x)]'
(1)xf'(x)+nf(x)=
;
xn-1
(2)f(x)+f'(x)=
[exf(x)]'
ex;
(3)f'(x)-f(x)=ex[f(x)]';
ex
(4f'(x)
)=[ln|f(x)|]';
f(x)
(5)f(x)-f''(x)=f(x)-f'(x)+f'(x)-f''(x)=
[ex(f(x)-f'(x))]'
ex.
(在看到相关的式子时要有意识地尝试这些构造,实质是对这些式子做积分)
7、L'Hospital
0∞∞-∞,1∞,∞0,000∞
法则:
用于,,
0∞
等情况,但最终都应回归到或。
0∞
而且,此法则不是万能的。
nf(k)(x)kn
8、Taylor公式:
f(x)=∑0(x-x0)+ο[(x-x0)
(].
Peano余项)
k=0k!
(1+x)α=1+αx+α(α-1)x2+...+α(α-1)...(α-n+1)xn+ο(xn);
2
ln(1+x)=x-x
2
2!
-+
x3
+...
3
(-1)n+1xn
n
+ο(xn
n!
)(α≠0);
3
tanx=x+x
3
+2x5
15
+ο(x5()
只需知道前几项)。
*Taylor展开对一切中间变量u都成立,即对于在a处连续的函数g(x),有
n
f(g(x))=∑
i=0
f(i)(g(a))
i!
(g(x)-g(a))i
+ο[(g(x)-g(a))n].
*Taylor展开的应用:
近似计算、求极限、证明一些与高阶导数有关的结论……
★在此总结一下求函数极限的一些方法:
(1)ε-δ语言(较繁琐,极少使用);
(2)代数变形,如x=1
1
x
=nxn,a-b=
an-bn
an-1+an-2b+...+bn-1
,a=a+b-b,
ax=exlna,f(x)=
f(x)⋅x,f(x)g(x)=eg(x)lnf(x),补0等;
x
(3)等价无穷小替换(加减法中慎用,避免产生更高阶的无穷小);
(4)Heine定理:
可以用函数极限求对应数列的极限;
(5)先证明相关数列收敛,再用取整函数夹逼(必须转化为某变量趋向+∞的情况);
(6)L'Hospital法则:
求导之后会变得简单或可以计算时使用,注意不是不定型的不能使用;
(7)Taylor展开:
可以自行选择展开的项数以配凑次数。
(在确定式子阶数之后,一定要展
0
开到所有能产生该阶小量的项都出现。
在处理
四、函数的单调性与凸性
型式子时几乎万能)
0
1、用一阶导数的符号判断函数的单调性:
注意,可导函数在某区间单调递增(递减)的充要条件是f’(x)≥0(≤0),等号不能少。
另外,极值点是x的值而不是一个点。
*一个有趣的结论:
对于连续可导函数f(x),若limf(x)存在,则f(a)=0,且
x→ax-a
limf(x)=f'(a()
x→ax-a
2、几个概念
再次提醒补0的重要性)。
(1)极值点:
使得f(x)在x附近的一个邻域内取得最值的x的值。
函数在极值点处不一定可导,但只要可导,则其导数等于0。
(2)临界点(驻点):
在该点处可导且导数为0的x的值。
临界点不一定是极值点,可能只是函数变化过程中在此点的瞬时变化率为0,其两侧的单调性可以相同。
3、函数取极值的充分条件:
极值点的左右邻域内导数值异号(一边≥0,另一边
≤0)。
4、用一阶、二阶导数判断极值点:
若f’(x0)=0且f’(x0)≠0,则x0是f(x)的极值点。
(f’(x0)>0为极小值点,f’(x0)<0为极大值点)
*通过Taylor展开做出的推广:
若存在正整数n使得f(x)在x0处的前(2n-1)阶导数都等于0,而2n阶导数不等于0,则x0是f(x)的极值点。
5、求函数在闭区间上最值的步骤:
求极值→求端点值→比较以上各值。
6、凸性的定义:
对于[a,b]上的连续函数f(x)与∀x1,x2∈[a,b],
f(x1+x2)≤
2
f(x1)+f(x2)⇔f(x)在[a,b]上下凸。
反之则为上凸。
2
*推论:
f(x)在[a,b]上下凸⇔∀x,x,...,x
∈[a,b],f(x1+x2+...+xn)≤
f(x1)+f(x2)+...+f(xn).
12nnn
7、用二阶导数判断凸性:
仍然注意≥与≤的等号不能少。
另外,拐点是点而不是
x的值。
8、拐点的实质:
两侧邻域内凸性相反的点。
可以二阶不可导,但一旦二阶可导则二阶导数等于0。
9、函数草图的描画步骤
(1)确定函数f(x)的定义域。
如果有奇偶性、周期性,也需指出;
(2)计算f’(x),找出所有驻点与不可导点,确定f(x)的单调区间与极值(表格);
(3)计算f’(x),确定f(x)的凸性区间与拐点(表格);
(4)讨论曲线的渐近线;
(5)将极值点、拐点处的函数值求出,如需要增加图像的准确性,可以再取几个特殊点。
(6)最终图像效果的衡量:
单调性、凸性是否正确,渐近线是否正确并画全,关键点处函数值是否正确。
*五、用Newton切线法求方程的近似解
1、基本原理:
在f(x)零点ξ所在小区间[a,b]的端点处作切线,此切线与x轴交于(x1,0);再作(x1,f(x1))处的切线,此切线与x轴交于(x2,0);以此类推,数列{xn}将收敛于ξ。
x=x
-
f(xn).
n
2、数列{xn}的递推式:
n+1
nf'(x)
3、误差估计:
|xn+1
-ξ|≤
M|x
2mn
-ξ|2
其中M是|f’(x)|在[a,b]上的最大值,m是
|f’(x)|在[a,b]上的最小值。
第三章一元函数积分学
(本章重难点在于不定积分和非初等定积分,其余的部分稍微简略一些)一、定积分的概念
n
1、Riemann和:
对闭区间[a,b]做分割a=x0 Riemann和σ=∑f(ξi)∆xi.其中△xi=xi-xi-1,ξi∈[xi,xi-1](i=1,2,...n)。 i=1 2、可积: 即在n→∞(本质上是max{Δxi}→0)时Riemann和收敛,并且此极限与分割点和ξi的选取无关。 闭区间上有有限个间断点的有界函数可积;闭区间上的连续函数必定可积。 3、定积分的几何意义: 曲边梯形的面积(注意函数图像在y轴下方时的情况) 4、定积分的基本性质 a (1)⎰af(x)dx=0; a b (2)⎰f(x)dx=-⎰f(x)dx; ab (3) b c b ⎰f(x)dx=⎰f(x)dx+⎰f(x)dx; aac bbb (4)⎰[αf(x)+βg(x)]dx=α⎰f(x)dx+β⎰ g(x)dx; aaa bb (5)f(x)≤g(x)⇒⎰af(x)dx≤⎰ag(x)dx; b b (6)|⎰af(x)dx|≤⎰a|f(x)|dx; b (7)∀x∈[a,b],f(x)≥0⇒⎰af(x)dx≥0; b (8)(积分中值定理)若f(x)在[a,b]上连续,则存在ξ∈(a,b),使得⎰a x x 5、原函数与微积分基本定理 f(x)dx=f(ξ)(b-a). (1)对于[a,b]上的连续函数f(x),有d dx ⎰af(t)dt= f(x),即⎰af(t)dt是f(x)的一个原函数。 d *推论: dx ϕ(x) ⎰ ψ(x) f(t)dt= f(ϕ(x))ϕ'(x)-f(ψ(x))ψ'(x). (2)微积分基本定理——Newton-Leibniz公式: 对于[a,b]上的连续函数f(x),若F(x)是其原函数之一,则bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|b ⎰aa 二、不定积分 1、不定积分的性质 (1)[⎰f(x)dx]'=f(x),即d⎰f(x)dx=f(x)dx; (2)⎰F'(x)dx=F(x)+C,即⎰dF(x)=F(x)+C (3)⎰[αf(x)+βg(x)]dx=α⎰f(x)dx+β⎰g(x)dx. ☆2、基本不定积分公式(规定所有公式中a>0) 1)⎰x αdx =xα+1+ α+1 C(α≠ -1); 2)⎰ 1dx=ln x |x|+C; xaxxx 3)⎰a dx= lna + C(a >0,a ≠1),⎰e dx=e + C; 4)⎰sin xdx= - cos x+C; 5)⎰cos xdx =sin x+C; 6)⎰ 1dx= cos2x ⎰sec 2xdx= tan
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