1、上海工程技术大学概率论第一章标准答案上海工程技术大学概率论第一 章答案作者:日期:习题一2.设 A, B 为随机事件，且 P （A） =0.7 , P（A_B）=0.3，求 P （ AB. 解：P （AB）=1 _P（ AB）=1 -P（A）_P（A_B）=1 0.7 -0.3=0.6。3.设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（ B）=1/4，P（ C）=1/3 且 P（ AB）=P（ BC）=0，P（ AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率。解：因为 ABC AB以 0 乞 P（ABC）乞 P（AB），又 P（AB）=0，则 P（ABC） =0 ,P (A U B U C
2、)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) 11113=+ + =。4 4 3 12 44将3个不同的球随机地放入 4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为 1 , 2, 3的概率。解：设A=杯中球的最大个数为i, i=1 , 2, 3。将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有 43种，杯中球的最大个数为 1时，每个杯中最多放一球，故P(A)=竽43 8而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故卩（人）二密-，因此43 16P(A戶 j( P(3A潟 216或 P(aw 警嗥6.从1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0这10个数
3、字中任取五个数按先后顺序组成多位数， 求下列事件的概率：（1）这五个数字组成一个五位偶数； （2） 2和3都被抽到且靠在一起59876 4 876 41解（1） P 5A 90/c、 C4 X2P0 , P(A|B)=1，试比较 P(A U B)与P(A)的大小。 解：由加法公式，P(AUB) =P(A) P(B)-P(AB)，再根据乘法定理，有P(AB)二P(B) P(A B)二P(B)P(AUB) =P(A) P(B) -P(B) =P(A)。10.袋中有红球和白球共 30个，其中白球有10个。每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到白球的概率。11.一盒子中装有10个零件，其中8只是正品
4、，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一 只不放回，求：(1)两次都取得正品的概率； (2)第一次取得次品，第二次取得正品的概率；(3) 一次取得次品，另一次取得正品的概率； (4)第二次取得正品的概率.(1)87=28或=28PX P10945C045(2)82=_8_PPX 10945(3)P822816 .P3 二16r 8 2 2 8 门“X + -X = 或2 =P 0.3610910945C1045107(4)8728PX + -X-=0.8 .109109解12.某种动物由出生活到 30岁的概率为0.9,活到40岁的概率为0.5 .问现年30岁的这种动物活到40岁的概率是多少？设A
5、=活到30岁 , B =活到40岁，则13.某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02, 个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求(1) 一产品检查为合格品的概率(2)在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率。解：设A=产品确为合格品 , B=产品被认为是合格品(1 )由全概率公式得P(B) =P(A)P(B A) +P(A)P(B0) =0.96父0.98 + 0.04汉0.05=0.9428(2 )由贝叶斯公式得P(AB)=氏BU一P(A)P(BA)，一P( B) P(A) P(B| A) + P( A)P(B A)0.96x0.98
6、0.96 0.98 0.04 0.0514.甲、乙、丙三厂生产同一型号产品，设三个厂生产的产品的次品率分别是0.1，他们的产品的数量比为 5:3:2。现随机抽取一件该型号的产品， (1)求该产品为次品的概率；(2)现知所取产品是次品，求该次品是乙厂生产的概率。解：设A=该产品为次品, B1=该产品是甲厂生产 , B2=该产品是乙厂生产 , B3=该产 品是丙三厂生产，则由全概率公式得(1)P(A) =P(BJP(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)5 0.3 0.2 0.1 2310 10 10 100P(B2)P(A|B2)P(B)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)
7、P(B3)P(A|B3)10015某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的” .统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15 和0.30 ;如果“谨慎的”被保险人占20% “一般的”占50% “冒失的”占30%试求(1)年内被保险人出事故的 概率；(2)现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？解：设A=该客户是“谨慎的” , B=该客户是“一般的” , C=该客户是“冒失的” ,D=该客户在一年内出了事故，则由全概率公式得(1) P(A) =P(A)P(D | A) P(B)P(D |B) P(C)P(D |C)= 0.2
8、 0.05 0.5 0.15 0.3 0.3 =(2)由贝叶斯公式得P(D) P(A)P(D | A) P(B)P(D | B) P(C)P(D |C)0.2 0.05 20.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.3511116 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为 -,-,丄，求将此密码破译出的概率。解设Ai=第i人能破译 (i=1,2,3)，则密码被破译的概率为P(UA) -P(AA2AbP()P(A2)P(a3)17.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为 0.4, 0.5和0.6,是否命中，相互独立，求下列概率：(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。解：(1
9、)设恰好命中一次为 A事件，则P(A) =0.4 0.5 0.4 0.6 0.5 0.4 0.6 0.5 0.6 =0.38(2)设至少命中一次为 B事件，则P(B) =1 - P(B) =1 -0.6 0.5 0.4 =0.8819.掷一枚均匀硬币直到出现 3次正面才停止(1)问正好在第6次停止的概率；(2)问正好在第6次停止的情况下，第 5次也是出现正面的概率20.设每次射击的命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?解：设必须进行n次独立射击，则至少击中一次的概率为 1 -0.8n，由题意1-0.8n -0.9即为(0.8)n兰0.1，故n lo
10、g0.8 0.1, n10.3,，即至少必须进行11次独立射击.21.为了提高抗菌素生产的产量和质量， 需要对生产菌种进行诱变处理， 然后从一大批经过处理的变异菌株中抽取一小部分来培养、 测定，从中找出优良的菌株.如果某菌种的优良变异率为0.03，试问从一大批经诱变处理的菌株中，采取多少只来培养、测定，才能以 95%的把握从中至少可以选到一只优良菌株？解 设采取n只来培养满足条件，则该问题是一个n重贝努利概型，利用对立事件的概率求 解较简单，即=1CO.O30.97n 30.95,即 n logo.9y 0.05,解得 n 兰 98.35,即至少培养99只菌株才能以95%的把握从中至少可以选到一只优良菌株 .22.某仪器有三个独立工作的元件，损坏的概率都是 0.1,当一个元件损坏时，机器发生故障的概率是0.25，当两个元件损坏时，机器发生故障的概率是 0.6，三个元件全损坏时，机器发生故障的概率是 0.95，求仪器发生故障的概率.解 设A=机器发生故障, Bi珂i个元件损坏，则由全概率公式，3P(A) P(A|BJP(BJ ,i -0其中，P(Bi)用3重贝努利概型求解，所以P(A) =0.25xC30.13 =0.0779 .
