上海工程技术大学概率论第一章标准答案.docx
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上海工程技术大学概率论第一章标准答案
上海工程技术大学概率论第一章答案
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习题一
2.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A_B)=0.3,求P(AB..解:
P(AB)
=1_P(AB)=1-[P(A)_P(A_B)]
=1—[0.7-0.3]=0.6。
3.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,
P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率。
解:
因为ABCAB^以0乞P(ABC)乞P(AB),又P(AB)=0,则P(ABC)=0,
P(AUBUC)
=P(A)+P(B)+P(C)—P(AB)—P(BC)—P(AC)+P(ABC)11113
=—+—+=—。
443124
4•将3个不同的球随机地放入4个杯子中去,求所有杯中球的最大个数分别为1,2,3的
概率。
解:
设A={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3。
将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯
中最多放一球,故
P(A)=竽
438
而杯中球的最大个数为3,
即三个球全放入一个杯中,故卩(人)二密-,因此
4316
P(A戶j("P(3A潟2—16或P(aw警嗥
6.从1,2,3,4,5,6,7,8,9,0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数,求下列事件的概率:
(1)这五个数字组成一个五位偶数;
(2)2和3都被抽到且靠在一起
59876—487641
解
(1)P5
A90
/c、C4X2P<^<^<64
(2)P45
A045
7.对一个五人学习小组考虑生日'可题:
(1)求五个人的生日都在星期日的概率;
(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.
解:
基本事件总数为75,
(1)设A1={五个人的生日都在星期日},所求事件包含基本事件的个数为1个,故
p(A1)=*=g)5;
(2)设A2={五个人生日都不在星期日
p(a)=65=(7)5;
(3)设A3={五个人的生日不都在星期日
},所求事件包含样本点的个数为
65,故
P(A)=1_P(Ai)=i—
},利用对立事件的性质,可得
A
(1)
P(BA)
P(AB)
P(A)
0.1
05
=0.2,
所以
201910
302928
0.16.
&某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:
(1)在下雨条件下下雪的概率;
(2)这天下雨或下雪的概率。
解:
设A={下雨},B={下雪}。
(2)p(AUB)=P(A)P(B)-P(AB)=0.30.5-0.1=0.7。
9.设A,B为随机事件,且P(B)>0,P(A|B)=1,试比较P(AUB)与P(A)的大小。
解:
由加法公式,P(AUB)=P(A)•P(B)-P(AB),再根据乘法定理,有
P(AB)二P(B)P(AB)二P(B)
P(AUB)=P(A)P(B)-P(B)=P(A)。
10.袋中有红球和白球共30个,其中白球有10个。
每次从袋中任取一球不放回,求第三次
才取到白球的概率。
11.一盒子中装有10个零件,其中8只是正品,2只是次品,从中抽取两次,每次任取一只不放回,求:
(1)两次都取得正品的概率;
(2)第一次取得次品,第二次取得正品的概率;
(3)一次取得次品,另一次取得正品的概率;(4)第二次取得正品的概率.
(1)
8
7
=28
或
=28
P
X—
P
10
9
45
C0
45
(2)
8
2
=_8_
PP
X—
10
9
45
(3)
P
8
2
2
8
16.
P3二
16
r8228门“
X—
+-
X—
=或
2=
P0.36
10
9
10
9
45
C10
45
107
(4)
8
7
2
8
P
X—
+-
X-
=0.8.
10
9
10
9
解
12.某种动物由出生活到30岁的概率为0.9,活到40岁的概率为0.5.问现年30岁的这种动
物活到40岁的概率是多少?
设A={活到30岁},B={活到40岁},则
13.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率
为0.02,—个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求
(1)一产品检查为合格品的概率
(2)在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率。
解:
设A={产品确为合格品},B={产品被认为是合格品}
(1)由全概率公式得
P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(B0)=0.96父0.98+0.04汉0.05=0.9428
(2)由贝叶斯公式得
P(AB)=氏BU一P(A)P(BA),一
P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(BA)
0.96x0.98
0.960.980.040.05
14.甲、乙、丙三厂生产同一型号产品,设三个厂生产的产品的次品率分别是
0.1,他们的产品的数量比为5:
3:
2。
现随机抽取一件该型号的产品,
(1)求该产品为次品
的概率;
(2)现知所取产品是次品,求该次品是乙厂生产的概率。
解:
设A={该产品为次品},B1={该产品是甲厂生产},B2={该产品是乙厂生产},B3={该产品是丙三厂生产},则由全概率公式得
(1)P(A)=P(BJP(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)
50.3©0.2—0.123
101010100
P(B2)P(A|B2)
P(B)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)
100
15•某保险公司把被保险人分为三类:
“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料
表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被
保险人占20%“一般的”占50%“冒失的”占30%试求
(1)—年内被保险人出事故的概率;
(2)现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?
解:
设A={该客户是“谨慎的”},B={该客户是“一般的”},C={该客户是“冒失的”},
D={该客户在一年内出了事故},则由全概率公式得
(1)P(A)=P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)
=0.20.050.50.150.30.3=
(2)由贝叶斯公式得
P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)
0.20.052
0.20.050.50.150.30.^35
111
16•三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为-,-,丄,求将此密码破译出
的概率。
解设Ai={第i人能破译}(i=1,2,3),则密码被破译的概率为
P(UA)-P(A^A2Ab^^P(^)P(A2)P(a3)
17.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互
独立,求下列概率:
(1)恰好命中一次,
(2)至少命中一次。
解:
(1)设恰好命中一次为A事件,则
P(A)=0.40.50.40.60.50.40.60.50.6=0.38
(2)设至少命中一次为B事件,则
P(B)=1-P(B)=1-0.60.50.4=0.88
19.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止
(1)问正好在第6次停止的概率;
(2)问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率
20.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概
率不小于0.9?
解:
设必须进行n次独立射击,则至少击中一次的概率为1-0.8n,由题意
1-0.8n-0.9
即为(0.8)n兰0.1,故n>log0.80.1,n》10.3,,即至少必须进行11次独立射击.
21.为了提高抗菌素生产的产量和质量,需要对生产菌种进行诱变处理,然后从一大批经过
处理的变异菌株中抽取一小部分来培养、测定,从中找出优良的菌株.如果某菌种的优良变
异率为0.03,试问从一大批经诱变处理的菌株中,采取多少只来培养、测定,才能以95%的
把握从中至少可以选到一只优良菌株?
解设采取n只来培养满足条件,则该问题是一个n重贝努利概型,利用对立事件的概率求解较简单,即
=1—C»O.O30".97n30.95,即n>logo.9y0.05,解得n兰98.35,
即至少培养99只菌株才能以95%的把握从中至少可以选到一只优良菌株.
22.某仪器有三个独立工作的元件,损坏的概率都是0.1,当一个元件损坏时,机器发生故
障的概率是0.25,当两个元件损坏时,机器发生故障的概率是0.6,三个元件全损坏时,机
器发生故障的概率是0.95,求仪器发生故障的概率.
解设A={机器发生故障},Bi珂i个元件损坏},则由全概率公式,
3
P(A)»P(A|BJP(BJ,
i-0
其中,P(Bi)用3重贝努利概型求解,所以
P(A)=0.25xC3><0.1X0.92+0.6XC;x0.12x0.9+0.95xC3><0.13=0.0779.
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- 上海 工程技术 大学 概率论 第一章 标准答案