1、构造抽屉；应用1 引言：鸽巣原理又名抽屉原理或狄利克雷原理, 它由德国数学家狄利克雷（Divichlet，18051855）首先发现. 在组合数学中占据着非常重要的地位, 并且在数论和密码学中也有着广泛的应用. 使用鸽巣原理解题的关键是巧妙构造鸽巣, 即如何找出合乎问题条件的分类原则.（参见1）那么什么是鸽巢原理？先从一个小例子来看，“桌上有3个小球，要把这3个小球放到两个柜子里”，无论哪一种放法, 都可以说“必有一个柜子放了两个或两个以上的小球”. 这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”.以此来推，如果有4个苹果放入3个盒子里，一定有一个盒子至少有两个苹果；如果有5封信，
2、投入4个信箱，一定有一个信箱至少有两封信；如果有10只鸽子，飞入9个笼子，则一定有一个笼子至少有两只鸽子.我们把小球，苹果，信件，鸽子看做物体，把柜子，盒子，信箱，笼子看做抽屉，这些就是抽屉原理（鸽巢原理）的最简单的表达形式.2 抽屉原理2.1 抽屉原理的简单形式对抽屉原理具体的定义，主要有下面几种形式: 原理 把多于个的元素按任一确定的方式分成个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.证明：（反证法）假设每个盒子里至多含有一个物体，则个盒子里的物体总数小于等于，与物体总数是矛盾. 原理 假如，有个元素，把它们放入个集合里，则必有一个抽屉里至少有个元素.证明（反证法）如果一个集合里面
3、至多放个元素，则个集合里面的元素数不超过.与已知的个元素矛盾.即必有一个集合里面至少有若把看作是有限集合的元素个数，看作是集合的个子集，则我们又可以把上述原理表示为：设是元集，且，则必有正整数，使得原理 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素.反证法同理可证.原理、是对原理的深入阐述，把抽屉原理推入了更深的层次.且容易证明，甚至这样一些简单的原则，在初等乃至高等数学中，也都有着广泛地应用.恰当巧妙地运用这些原则，可以顺利解决一些看上去很复杂，让人无法下手的数学问题.2.2 抽屉的构造通过了解抽屉原理的形式，我们可以利用它的特殊形式来解决不同的问题，在利用抽
4、屉原理解题时，需要明确哪些是“物体”，哪些是“抽屉”，这些往往都需要我们用一些巧妙的方法构造.2.2.1整数分组构造抽屉利用这种构造法解题, 确定分组的“对象”很关键. 确定了“对象”之后, 其个数相对于“球”的个数而言, 又往往显得太多. 只有把这些“对象”分成适当数量的组（即鸽巣）后才能应用鸽巣原理.例1（参见2）一个泼妇在60天内每天至少与他人吵架一次，但60天内至多吵架90次.证明一定存在连续的若干天这个泼妇恰好与他人吵架29次.证明 令是在这60天内的第1天到第天（含第天）时泼妇的累计吵架次数，则是不同正整数的一个递增序列，其中.从而也是不同正整数的一个递增序列,其中.显然 120
5、个正整数,全都小于或等119.也就是说120个正整数只能在119个正整数中取，则把 120 个正整数作为鸽子，1到 119个不同的数作为鸽巢，由鸽巢原理至少有两个正整数相同.因为各不相同，也各不相同。 所以一定存在和满足即.这意味着从第天到第天泼妇恰好与他人吵架29次.例2 任意给定7个不同的整数,求证:其中必有两数之和或差是10的倍数。 证明 设这7个不同的整数分别为,它们分别除以10后,得到的余数是从0到9中的一个数.（1）若这7个余数中有两个数相同:,则即存在两数之差是的倍数.（2）若这7个余数中任何两个都不同,由抽屉原理知,至少有一数被10除余数为6、7、8、9四个数中的一个.将余数为
6、6的数与余数为4的数划为一组,余数为7的数与余数为3的数为一组,余数为8的数与余数为2的数划为一组,余数为9的数与余数为1的数划为一组.于是便有,这7个不同的余数,除0,5外,其余的必有一组数它们做和是10的倍数.2.2.2 分割图形构造抽屉 在涉及到一个几何图形内有若干点时, 常常是把图形巧妙的分割成适当的部分, 用分割所得的小图形做鸽巣. 这种分割一般符合一个“分化”的定义, 即鸽巣间的元素既互不重复, 也不遗漏；但有时根据解题需要, 分割也可使鸽巣之间含有公共元素. 例3 在边长为1米的正方形内，任意放入9个点求证：这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过1/8. 解
7、将边长为1的正方形分割成边长为1/2的4个小正方形，视这4个正方形为抽屉，9个点任意放入这4个正方形中，由抽屉原理必有3个点落入同一个小正方形。现取出这个正方形加以讨论.把落在这个正方形中的3点记为如图1，通过这三点的任意一点（如E），作正方形边平行线 所以，结论成立.例4 （ 参见3）在直径为5的圆中放入9个点，求证:其中必有某两点的距离小于2.分析：设想将圆周分成8等分，连接圆心O与各分点形成8个相等的扇形.显然每个区域都不能保证任二点的距离小于2，这种分法不行，问题在于沿半径方向最长可达2.5.所以我们必须减少沿半径的方向，另法构造抽屉.以O为圆心，9为半径做圆，再把圆环等分为7个扇形，
8、如图得到8个抽屉.这时这种分法也不行。为此，必须将圆周等分为8份.连结分点及圆心得到8个扇形，然后再以为圆心，0.9为半径做圆，以此小圆为一抽屉，8个扇形被切下的部分为8个抽屉，如图由. 故，即每个抽屉中任两点的距离都小于2.但是，现在却出现了这样一个问题:9个点，9个抽屉，元素个数与抽屉的个数一样多，不能直接使用抽屉原理，怎么办?将圆绕O点旋转，所给9个点总在圆内，则1 必有某扇形区域的直边通过其中一点.不妨设为A，相邻的两扇形记为甲乙. 若其余8个l从全少有一点在甲、乙两扇形内，则问题得证.若其余8个点均不在甲、乙两扇形内.则它们应在其余的7个抽屉内，8个点个抽屉，问题得证.无论如何旋转，
9、扇形的直边均不通过此9点，这时9点必全在小圆内，间题显然.2.2.3 等分区间构造抽屉如果在长度为1的区间内有多于个的点, 可考虑把区间等分成个子区间, 由鸽巣原理知, 一定有两点落在同一子区间, 它们之间的距离不大于1/n. 这种构造法常用于处理一些不等式的证明.例5 （参见4）已知11个数,全满足,证明必有两个（）满足证明 如图1，将实数轴上介于0与1那段（连同端点）等分为10小段（这10个小段也就是10个等分区间，即10个抽屉），每一小段长为.由抽屉原理，11个点（数）中至少有+1=2个点落在同一条小线段上，这两点相应的数之差的绝对值图1 例6 求证：对于任给的正无理数及任意大的自然数，
10、存在一个有理数证明 把区间（0，1）进行等分，得个小区间由抽屉原理知，这些区间内的个数中，必有两个数落在某一个区间，从而这两个数的差的绝对值小于，则由是正无理数得所以这个数中，必有2个数，不妨设为，它们的差的绝对值小于，即，则上述例子涉及区间问题，把区间（0，1）进行个小区间，自然就得到了个抽屉，而个数可以作为个物体，此处可以利用抽屉原理解决问题.2.2.4按整数对模p的剩余类分类构造抽屉涉及自然数的问题, 有时常用对模同余分类法, 构造个鸽巣, 以为模, 可以将全体自然数分为余数为0的自然数,余数为1的自然数,余数为的自然数, 共个鸽巣.例7 设是2013个任意正整数的序列，则至少存在正整数
11、，使得和是2013的倍数.证明 构造一个序列：，由于每一个均为正整数，所以，有两种可能：（1）存在某一个是2013的倍数，则定理已得证.（2）假设在上面的序列中没有任何一个元素是2013的倍数，用模2013的剩余类做成2013个抽屉。由假设，均不属于中，从而这2013个数应属于这2012个抽屉，于是根据抽屉原理，有一个至少被放入了两个数，不妨设为这样,即,也就是和是2013的倍数. 2.2.5用转化的方法构造抽屉用转化的方法构造鸽巣就是通过某种对应方法或变换手段, 把原问题转化为更易求解的新问题, 一旦新为题解决, 原问题随之得解. 例8（参见5）设空间有六个点,任意三点不共线,四点不共面,如
12、果把这六个点两两用直线联系起来,并把这些直线涂以红色或白色.证明不论如何涂色,必存在一个是同种颜色所围成的三角形.证明 六个点中任取一点与其它五点相联可以得到五条联线,但所涂的颜色只有两种.故设=五条联线=红色、白色.因为，所以对于任意有使即五条联线中,至少有三条是同色的,不妨设为同色（如图）若三点连线是同色那么问题得证,若三点联线不同色那么至少有一条是红色的,不妨设是红色的,那么的三边涂有相同的颜色,得证. 例9在中任取个不同的数, 证明至少有一个数是另一个数的倍数.证明 任何的正整数都可以表成的形式, 其中是自然数（包括0）,为奇数.设选出的个数为，把它们依次表为 , ,其中个奇数, 它们
13、的取值只有种可能, 即. 由鸽巣原理, 必存在使得. 我们考虑, 不妨设则有. 这就证明了3. 抽屉原理的一些应用3.1 抽屉原理应用于几何图形在上节中主要介绍了抽屉原理在整除中的应用，然而抽屉原理的应用并不仅仅局限于此。在某些与几何图形相关命题的证明中，也可以根据题目的特点构造抽屉，应用抽屉原理解题.例10九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形证明:这九条直线中至少有三条经过同一点 证明 如图，设是一条这样的这样的直线我们再画出这两个梯形的中位线，因这两个梯形有相等的高，所以他们的面积比应等于对应的中位线长的比，即等于（或者）因为点有确定的位置，它在正方形一对对边中点的连线上，并且，由几何上的对称性，这种点共有4个，即图中的已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须过这4点中的一点把当成4个抽屉，9条直线当成9个物体，即可看出必有3条分割直线经过同一个点“对称性”是数学中常用的处理
