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构造抽屉;
应用
1引言:
鸽巣原理又名抽屉原理或狄利克雷原理,它由德国数学家狄利克雷(Divichlet,1805—1855)首先发现.在组合数学中占据着非常重要的地位,并且在数论和密码学中也有着广泛的应用.使用鸽巣原理解题的关键是巧妙构造鸽巣,即如何找出合乎问题条件的分类原则.
(参见[1])那么什么是鸽巢原理?
先从一个小例子来看,“桌上有3个小球,要把这3个小球放到两个柜子里”,
无论哪一种放法,都可以说“必有一个柜子放了两个或两个以上的小球”.这个结论是在“任意放法”的情况下,得出的一个“必然结果”.
以此来推,如果有4个苹果放入3个盒子里,一定有一个盒子至少有两个苹果;
如果有5封信,投入4个信箱,一定有一个信箱至少有两封信;
如果有10只鸽子,飞入9个笼子,则一定有一个笼子至少有两只鸽子.
我们把小球,苹果,信件,鸽子看做物体,把柜子,盒子,信箱,笼子看做抽屉,这些就是抽屉原理(鸽巢原理)的最简单的表达形式.
2抽屉原理
2.1抽屉原理的简单形式
对抽屉原理具体的定义,主要有下面几种形式:
原理Ⅰ把多于
个的元素按任一确定的方式分成
个集合,则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.
证明:
(反证法)假设每个盒子里至多含有一个物体,则
个盒子里的物体总数小于等于
,与物体总数是
矛盾.
原理Ⅱ假如,有
个元素,把它们放入
个集合里,则必有一个抽屉里至少有
个元素.
证明(反证法)如果一个集合里面至多放
个元素,则
个集合里面的元素数不超过
.
与已知的
个元素矛盾.即必有一个集合里面至少有
若把
看作是有限集合
的元素个数,
看作是集合
的
个子集,则我们又可以把上述原理表示为:
设
是
元集,
且
,则必有正整数
,使得
原理Ⅲ把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合,则至少有一个集合中仍含无穷个元素.
反证法同理可证.
原理Ⅱ、Ⅲ是对原理Ⅰ的深入阐述,把抽屉原理推入了更深的层次.且容易证明,甚至这样一些简单的原则,在初等乃至高等数学中,也都有着广泛地应用.恰当巧妙地运用这些原则,可以顺利解决一些看上去很复杂,让人无法下手的数学问题.
2.2抽屉的构造
通过了解抽屉原理的形式,我们可以利用它的特殊形式来解决不同的问题,在利用抽屉原理解题时,需要明确哪些是“物体”,哪些是“抽屉”,这些往往都需要我们用一些巧妙的方法构造.
2.2.1整数分组构造抽屉
利用这种构造法解题,确定分组的“对象”很关键.确定了“对象”之后,其个数相对于“球”的个数而言,又往往显得太多.只有把这些“对象”分成适当数量的组(即鸽巣)后才能应用鸽巣原理.
例1(参见[2])一个泼妇在60天内每天至少与他人吵架一次,但60天内至多吵架90次.证明一定存在连续的若干天这个泼妇恰好与他人吵架29次.
证明令
是在这60天内的第1天到第
天(含第
天)时泼妇的累计吵架次数,则
是不同正整数的一个递增序列,其中
.从而
也是不同正整数的一个递增序列,其中
.显然120个正整数
全都小于或等119.也就是说120个正整数只能在119个正整数中取,则把120个正整数作为鸽子,1到119个不同的数作为鸽巢,由鸽巢原理至少有两个正整数相同.因为
各不相同,
也各不相同。
所以一定存在
和
满足
即
.这意味着从第
天到第
天泼妇恰好与他人吵架29次.
例2任意给定7个不同的整数,求证:
其中必有两数之和或差是10的倍数。
证明设这7个不同的整数分别为
它们分别除以10后,得到的余数是从0到9中的一个数.
(1)若这7个余数中有两个数相同:
则
即存在两数之差是
的倍数.
(2)若这7个余数中任何两个都不同,由抽屉原理知,至少有一数被10除余数为6、7、8、9四个数中的一个.
将余数为6的数与余数为4的数划为一组,余数为7的数与余数为3的数
为一组,余数为8的数与余数为2的数划为一组,余数为9的数与余数为1的数划为一组.于是便有,这7个不同的余数,除0,5外,其余的必有一组数它们做和是10的倍数.
2.2.2分割图形构造抽屉
在涉及到一个几何图形内有若干点时,常常是把图形巧妙的分割成适当的部分,用分割所得的小图形做鸽巣.这种分割一般符合一个“分化”的定义,即鸽巣间的元素既互不重复,也不遗漏;
但有时根据解题需要,分割也可使鸽巣之间含有公共元素.
例3在边长为1米的正方形内,任意放入9个点.求证:
这9个点中任取3个点组成的三角形中,至少有一个的面积不超过1/8.
解将边长为1的正方形分割成边长为1/2的4个小正方形,视这4个正方形为抽屉,9个点任意放入这4个正方形中,,由抽屉原理必有3个点落入同一个小正方形。
现取出这个正方形加以讨论.
把落在这个正方形中的3点记为
如图1,通过这三点的任意一点(如E),作正方形边平行线
所以,结论成立.
例4(参见[3])在直径为5的圆中放入9个点,求证:
其中必有某两点的距离小于2.
分析:
设想将圆周分成8等分,连接圆心O与各分点形成8个相等的扇形.显然每个区域都不能保证任二点的距离小于2,这种分法不行,问题在于沿半径方向最长可达2.5.所以我们必须减少沿半径的方向,另法构造抽屉.
以O为圆心,9为半径做圆,再把圆环等分为7个扇形,如图得到8个抽屉.
这时
这种分法也不行。
为此,必须将圆周等分为8份.连结分点及圆心得到8个扇形,然后再以为圆心,0.9为半径做圆,以此小圆为一抽屉,8个扇形被切下的部分为8个抽屉,如图由
.故
,即每个抽屉中任两点的距离都小于2.但是,现在却出现了这样一个问题:
9个点,9个抽屉,元素个数与抽屉的个数一样多,不能直接使用抽屉原理,怎么办?
将圆绕O点旋转,所给9个点总在圆内,则
1必有某扇形区域的直边通过其中一点.不妨设为A,,相邻的两扇形记为甲乙.
若其余8个l从全少有一点在甲、乙两扇形内,则问题得证.
若其余8个点均不在甲、乙两扇形内.则它们应在其余的7个抽屉内,8个点个抽屉,问题得证.
②无论如何旋转,扇形的直边均不通过此9点,这时9点必全在小圆内,间题显然.
2.2.3等分区间构造抽屉
如果在长度为1的区间内有多于
个的点,可考虑把区间等分成
个子区间,由鸽巣原理知,一定有两点落在同一子区间,它们之间的距离不大于1/n.这种构造法常用于处理一些不等式的证明.
例5(参见[4])已知11个数
全满足
证明必有两个
(
)满足
证明如图1,将实数轴上介于0与1那段(连同端点)等分为10小段(这10个小段也
就是10个等分区间,即10个抽屉),每一小段长为
.由抽屉原理,11个点(数)中至少有
+1=2个点落在同一条小线段上,这两点相应的数之差的绝对值
图1
例6求证:
对于任给的正无理数
及任意大的自然数
,存在一个有理数
.
证明把区间(0,1)进行
等分,得
个小区间
由抽屉原理知,这些区间内的
个数中,必有两个数落在某一个区间,从而这两个数的差的绝对值小于
,则由
是正无理数得
所以这
个数
中,必有2个数,不妨设为
,它们的差的绝对值小于
,即
,则
上述例子涉及区间问题,把区间(0,1)进行
个小区间,自然就得到了
个抽屉,而
个数可以作为
个物体,此处可以利用抽屉原理解决问题.
2.2.4按整数对模p的剩余类分类构造抽屉
涉及自然数的问题,有时常用对模同余分类法,构造
个鸽巣,以
为模,可以将全体自然数分为{余数为0的自然数},{余数为1的自然数},…,{余数为
的自然数},共
个鸽巣.
例7设
是2013个任意正整数的序列,则至少存在正整数
,
,使得和
是2013的倍数.
证明构造一个序列:
…,
由于每一个
均为正整数,所以,
,有两种可能:
(1)存在某一个
是2013的倍数,则定理已得证.
(2)假设在上面的序列中没有任何一个元素是2013的倍数,用模2013的剩余类
做成2013个抽屉。
由假设,
均不属于
中,从而
这2013个数应属于
这2012个抽屉,于是根据抽屉原理,有一个
至少被放入了两个数,不妨设为
这样
即
也就是和
是2013的倍数.
2.2.5用转化的方法构造抽屉
用转化的方法构造鸽巣就是通过某种对应方法或变换手段,把原问题转化为更易求解的新问题,一旦新为题解决,原问题随之得解.
例8(参见[5])设空间有六个点,任意三点不共线,四点不共面,如果把这六个点两两用直线联系起来,并把这些直线涂以红色或白色.证明不论如何涂色,必存在一个是同种颜色所围成的三角形.
证明六个点中任取一点与其它五点相联可以得到五条联线,但所涂的颜色只有两种.
故设
={五条联线}
={红色、白色}.因为
,所以对于任意
有
使
即五条联线中,至少有三条是同色的,不妨设
为同色(如图)若
三点连线是同色那么问题得证,若
三点联线不同色那么至少有一条是红色的,不妨设
是红色的,那么△
的三边涂有相同的颜色,得证.
例9在
中任取
个不同的数,证明至少有一个数是另一个数的倍数.
证明任何的正整数
都可以表成
的形式,其中
是自然数(包括0),
为奇数.
设选出的
个数为
,把它们依次表为
…,
其中
个奇数,它们的取值只有
种可能,即
.由鸽巣原理,必存在
使得
.我们考虑
不妨设
则有
.这就证明了
3.抽屉原理的一些应用
3.1抽屉原理应用于几何图形
在上节中主要介绍了抽屉原理在整除中的应用,然而抽屉原理的应用并不仅仅局限于此。
在某些与几何图形相关命题的证明中,也可以根据题目的特点构造抽屉,应用抽屉原理解题.
例10九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:
3的两个四边形.证明:
这九条直线中至少有三条经过同一点.
证明如图,设
是一条这样的这样的直线.我们再画出这两个梯形的中位线
,因这两个梯形有相等的高,所以他们的面积比应等于对应的中位线长的比,即等于
(或者
)因为点
有确定的位置,它在正方形一对对边中点的连线上,并且
,由几何上的对称性,这种点共有4个,即图中的
.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须过
这4点中的一点.把
当成4个抽屉,9条直线当成9个物体,即可看出必有3条分割直线经过同一个点.
“对称性”是数学中常用的处理
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