1、上海市复兴高级中学届高三下学期检测数学试题解析版复兴高级中学高三月考数学试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 已知集合，则_【1题答案】【答案】【解析】【分析】结合已知条件求出集合，然后利用集合的交运算即可求解.【详解】由可知，即，解得，从而，因为，所以.故答案为：.2. 若复数满足，则_【2题答案】【答案】1【解析】【分析】设，,代入方程利用复数相等即可求解，求模即可.【详解】设，,则，整理得：解得，所以，故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.3. 若函数，则_.【3题答案】【答案】3【解析】【分析】由可得：，问题得
2、解.【详解】由可得： 故答案为：3.4. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于_.【4题答案】【答案】2.【解析】【分析】先求出焦点坐标和渐近线方程，进而求出焦点到渐近线的距离即可.【详解】由题意，渐近线方程为：，焦点到渐近线的距离为：.故答案为：2.5. 已知，则方程的解集是_【5题答案】【答案】【解析】【分析】根据行列式运算公式化简可得，根据三角函数图象计算即可求得结果.【详解】由行列式运算公式可知，所以，解得：或，即或.因，所以或.故答案为：.【点睛】本题考查行列式的概念，考查由三角函数值求角问题，属于基础题.6. 已知的展开式的常数项为60，则_.【6题答案】【答案】【解析】【分析】写出展开
3、式的通项，然后可算出答案.【详解】的展开式的通项，由，得，且，可得，.故答案为：67. 若，且，则的取值范围是_.【7题答案】【答案】或【解析】【分析】由，可得，即，求解即可【详解】由题意，由于，故，即，故解得：或8. 一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为_【8题答案】【答案】40【解析】【详解】设B层中的个体数为，则，则总体中的个体数为9. 已知，为球的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，则球的表面积为_.【9题答案】【答案】【解析】【分析】根据的面积求出的半径，根据正弦定理求出
4、，根据勾股定理求出球的半径，根据球的表面积公式可得结果.【详解】因为的面积为，所以的半径为2，直径为4，所以，所以球的半径为，所以球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理，考查了球的性质，考查了球的表面积公式，属于基础题.10. 四叶回旋镖可看作是四个相同的直角梯形拼成的图形，如图所示，为线段上一动点，则的最大值为_.【10题答案】【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得直线的方程为，求得的坐标，写出向量的坐标，利用向量的数量积的运算公式，结合的范围，即可求解.【详解】由题意，以为原点建立平面直角坐标系，如图所示，因为，可得直线的方程为，因为为线段上一动点，则，其中，所以，可
5、得，因为，所以当时，取得最大值.故答案为：.11. 已知实数，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为_.【11题答案】【答案】【解析】【分析】把对任意，总存在，使得，转化为在成立，结合一次函数与基本不等式分别求得函数的最小值，列出不等关系式，即可求解.【详解】由题意，对任意，总存在，使得，等价于在成立，根据函数在上为单调递减函数，所以，即，即，当时，可得；当时，可得，所以当时，化简，又由，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，即，即，所以a的最大值.故答案为：.【点睛】方法点拨：把对任意，总存在，使得，转化为在成立，结合函数的性质和基本不等式分别求得函数的最小值是解答的关键.12. 定义表
6、示实数、中的较大的数，已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为_.【12题答案】【答案】【解析】【分析】分、两种情况讨论，推导出数列是以为周期的周期数列，结合可求得的值，进而可求得的值.【详解】当时，则，由上可知，对任意的，所以，即，解得，此时，；当时，则，由上可知，对任意，所以，即，解得，不合乎题意.综上所述，.故答案为：.二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 设、表示三条互不重合的直线，、表示两个不重合的平面，则使得“”成立的一个充分条件为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【13题答案】【答案】C【解析】【分析】由线线垂直的性质可判断A，由线面平行的性质可判断B，由线面
7、平行的性质可判断C，由线面平行垂直的性质可判断D【详解】选项A：当，时，则或与相交或异面，A错误，选项B：当，时，则或与相交或异面，B错误，选项C：由线面平行的性质定理，当，时，则，C正确，选项D：当，时，则或与相交或异面，D错误故选：C14. 圆的参数方程可以是（ ）A. B. C. D. 【14题答案】【答案】D【解析】【分析】依次考察A，B，C，D中的取值范围，以及是否满足即可【详解】选项A，而圆中不成立；选项B，而圆中不成立；选项C，而圆中不成立；选项D，且，故可以是圆的参数方程故选：D15. 已知抛物线：的焦点为，、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（ ）A
8、. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个【15题答案】【答案】D【解析】【分析】先说明这样的满足，并且弦以为中点的，再证明对于无数多个点，都存在满足条件的弦即可.【详解】当时，易知为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，这样的即满足要求.设，则，又，两式相减可得，即，所以总存在以为中点的弦，即这样的三角形有无数个.故选：D【点睛】本题关键在于构造出，再说明对于点，只要满足的在抛物线内部，并且存在以为中点的弦，即存在，这样的每一个点都会对应一个.16. 设函数，记，则（ ）A. B. C. D. 【16题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别讨论，的单
9、调性，根据的定义，对数列求和即可.【详解】在上单调递增，可得，=在上单调递增，在单调递减，=在，上单调递增，在，上单调递减，可得因此故选：.【点睛】本题考查数列求和，涉及正弦型三角函数的单调性，属综合中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 将边长为正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧. (1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.【17题答案】【答案】(1) (2).【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径，再由三角形面积公式计算后即得.（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角，再
10、结合题设条件确定，得出即可试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径由的长为，可知，（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为直线与所成的角由长为，可知，又，所以，从而为等边三角形，得因为平面，所以在中，因为，所以，从而直线与所成的角的大小为【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及
11、基本运算能力等.18. 在；且；且.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.设等差数列的前项和为，是等比数列，.（1）求数列通项公式；（2）求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【1819题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】先由题设条件求出与，再求得，然后利用分组求和与裂项相消法求数列的前项和【小问1详解】选：当时，当时，又满足，所以；选：设公差为，由，得解得所以；选：由得，所以，即，所以，所以；【小问2详解】设的公比为，又因为，由得，所以；由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故19. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径
12、的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.【19题答案】【答案】（1）；（2）5【解析】【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.【详解】（1）连结，则四边形的面积为（2）由题意，在中，由正弦定理同理在中，由正弦定理令时，即，的最大值为5【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归
13、，数学运算能力，属于较难题20. 已知椭圆C（ab0）与抛物线y2=4x共焦点F，且过点，设是椭圆上任意一点，A、B为椭圆的左、右顶点，点E满足（1）求椭圆C的方程；（2）判断是否为定值，并说明理由；（3）设Q是直线x=9上动点，直线AQ、BQ分别交椭圆于M、N两点，求|MF | +| NF |的最小值【2022题答案】【答案】（1） （2）是定值3；理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）求出点的坐标，再根据的关系及点求得，解得得出答案；（2）根据是椭圆上任意一点，求得，将用表示，从而可得出结论；（3）可设，求出直线AQ、BQ的方程，分别联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理分别求出，再根据为椭圆的右准线，由椭圆上得点到焦点得距离与到准线得距离之比为离心率，可得，计算结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】解：抛物线y2=4x的焦点，则有，解得，所以椭圆C的方程为；【小问2详解】解：因为，所以，因为是椭圆上任意一点，所以，则，所以，所以是定值3；【小问3详解】解：，可设，则，则直线的方程为，消得：，则有，所以，同理可得，因为为椭圆的右准线，所以由椭圆上得点到焦点得距离与到准线得距离之比为离心率，可得，当且仅当，即时，取等号，所以|MF | +| NF |的最小值为.【点睛】本题考查了椭圆、抛物线的标准方程，考查了椭圆中的
