上海市复兴高级中学届高三下学期检测数学试题解析版.docx
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上海市复兴高级中学届高三下学期检测数学试题解析版
复兴高级中学高三月考数学试卷
一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)
1.已知集合,,则_____________.
【1题答案】
【答案】
【解析】
【分析】结合已知条件求出集合,然后利用集合的交运算即可求解.
【详解】由可知,,即,
解得,从而,
因为,
所以.
故答案为:
.
2.若复数满足,则__________.
【2题答案】
【答案】1
【解析】
【分析】设,,代入方程利用复数相等即可求解,求模即可.
【详解】设,,
则,
整理得:
解得,
所以,
故答案为1
【点睛】本题主要考查了复数的概念,复数的模,复数方程,属于中档题.
3.若函数,则__________.
【3题答案】
【答案】3
【解析】
【分析】由可得:
,问题得解.
【详解】由可得:
故答案为:
3.
4.双曲线的焦点到渐近线的距离等于___________.
【4题答案】
【答案】2.
【解析】
【分析】先求出焦点坐标和渐近线方程,进而求出焦点到渐近线的距离即可.
【详解】由题意,,渐近线方程为:
,焦点到渐近线的距离为:
.
故答案为:
2.
5.已知,则方程的解集是________.
【5题答案】
【答案】
【解析】
【分析】
根据行列式运算公式化简可得,根据三角函数图象计算即可求得结果.
【详解】由行列式运算公式可知,
所以,解得:
或,即或.
因,所以或.
故答案为:
.
【点睛】本题考查行列式的概念,考查由三角函数值求角问题,属于基础题.
6.已知的展开式的常数项为60,则______.
【6题答案】
【答案】
【解析】
【分析】写出展开式的通项,然后可算出答案.
【详解】的展开式的通项,由,得,
且,可得,.
故答案为:
6
7.若,且,则的取值范围是__________.
【7题答案】
【答案】或
【解析】
【分析】由,可得,即,求解即可
【详解】由题意,,
由于,故,即,
故
解得:
或
8.一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:
1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体数为_______.
【8题答案】
【答案】40
【解析】
【详解】设B层中的个体数为,则,则总体中的个体数为
9.已知,,为球的球面上的三个点,为的外接圆.若的面积为,,则球的表面积为______.
【9题答案】
【答案】
【解析】
【分析】
根据的面积求出的半径,根据正弦定理求出,根据勾股定理求出球的半径,根据球的表面积公式可得结果.
【详解】因为的面积为,所以的半径为2,直径为4,
所以,
所以球的半径为,
所以球的表面积为.
故答案为:
【点睛】本题考查了正弦定理,考查了球的性质,考查了球的表面积公式,属于基础题.
10.四叶回旋镖可看作是四个相同的直角梯形拼成的图形,如图所示,,,,为线段上一动点,则的最大值为__________.
【10题答案】
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系,求得直线的方程为,求得的坐标,写出向量的坐标,利用向量的数量积的运算公式,结合的范围,即可求解.
【详解】由题意,以为原点建立平面直角坐标系,如图所示,
因为,,,可得直线的方程为,
因为为线段上一动点,
则,其中,
所以,
可得,
因为,所以当时,取得最大值.
故答案为:
.
11.已知实数,函数,若对任意,总存在,使得,则a的最大值为___________.
【11题答案】
【答案】
【解析】
【分析】把对任意,总存在,使得,转化为在成立,结合一次函数与基本不等式分别求得函数的最小值,列出不等关系式,即可求解.
【详解】由题意,对任意,总存在,使得,
等价于在成立,
根据函数在上为单调递减函数,所以,
即,即,
当时,可得;当时,可得,
所以当时,化简,
又由,当且仅当,即时等号成立,
所以,
所以,即,即,所以a的最大值.
故答案为:
.
【点睛】方法点拨:
把对任意,总存在,使得,转化为在成立,结合函数的性质和基本不等式分别求得函数的最小值是解答的关键.
12.定义表示实数、中的较大的数,已知数列满足,,,若,记数列的前项和为,则的值为__________.
【12题答案】
【答案】
【解析】
【分析】分、两种情况讨论,推导出数列是以为周期的周期数列,结合可求得的值,进而可求得的值.
【详解】当时,,,,
则,,,
,,,,
由上可知,对任意的,,
所以,,即,解得,
此时,;
当时,,,,
则,,,
,,,,
由上可知,对任意,,
所以,,即,解得,不合乎题意.
综上所述,.
故答案为:
.
二、选择题(本大题共4题,满分20分)
13.设、、表示三条互不重合的直线,、表示两个不重合的平面,则使得“”成立的一个充分条件为()
A.,B.,
C.,,D.,,
【13题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由线线垂直的性质可判断A,由线面平行的性质可判断B,由线面平行的性质可判断C,由线面平行垂直的性质可判断D.
【详解】选项A:
当,时,则或与相交或异面,∴A错误,
选项B:
当,时,则或与相交或异面,∴B错误,
选项C:
由线面平行的性质定理,当,,时,则,∴C正确,
选项D:
当,时,∴,∵,则或与相交或异面,∴D错误
故选:
C
14.圆的参数方程可以是()
A.B.
C.D.
【14题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】依次考察A,B,C,D中的取值范围,以及是否满足即可
【详解】选项A,,而圆中不成立;
选项B,,而圆中不成立;
选项C,,而圆中不成立;
选项D,,
且,故可以是圆的参数方程
故选:
D
15.已知抛物线:
的焦点为,、、为抛物线上三点,当时,称为“特别三角形”,则“特别三角形”有()
A.1个B.2个C.3个D.无数个
【15题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】先说明这样的满足,并且弦以为中点的,再证明对于无数多个点,都存在满足条件的弦即可.
【详解】
当时,易知为的重心,连接并延长至,使,当在抛物线内部时,设,若存在以为中点的弦,这样的即满足要求.设,则,又,两式相减可得,即,所以总存在以为中点的弦,即这样的三角形有无数个.
故选:
D
【点睛】本题关键在于构造出,再说明对于点,只要满足的在抛物线内部,并且存在以为中点的弦,即存在,这样的每一个点都会对应一个.
16.设函数,,,,记,则()
A.B.C.D.
【16题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意,分别讨论,的单调性,根据的定义,对数列求和即可.
【详解】∵在上单调递增,可得,
,…,,
∴
=
∵在上单调递增,在单调递减
∴,…,,,
,…,
∴
==
=
∵在,上单调递增,
在,上单调递减,可得
因此.
故选:
.
【点睛】本题考查数列求和,涉及正弦型三角函数的单调性,属综合中档题.
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.将边长为正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中与在平面的同侧.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求异面直线与所成的角的大小.
【17题答案】
【答案】
(1)
(2).
【解析】
【详解】试题分析:
(1)由题意可知,圆柱的高,底面半径,,再由三角形面积公式计算后即得.
(2)设过点的母线与下底面交于点,根据,知或其补角为直线与所成的角,再结合题设条件确定,.得出即可.
试题解析:
(1)由题意可知,圆柱的高,底面半径.
由的长为,可知.
,
.
(2)设过点的母线与下底面交于点,则,
所以或其补角为直线与所成的角.
由长为,可知,
又,所以,
从而为等边三角形,得.
因为平面,所以.
在中,因为,,,所以,
从而直线与所成的角的大小为.
【考点】几何体的体积、空间角
【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时,关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化,将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题,往往可以利用几何法、空间向量方法求解,应根据题目条件,灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.
18.在①;②且;③且.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.
设等差数列的前项和为,是等比数列,.
(1)求数列通项公式;
(2)求数列的前项和.
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【18~19题答案】
【答案】
(1)
(2)
【解析】
【分析】先由题设条件求出与,再求得,然后利用分组求和与裂项相消法求数列的前项和.
【小问1详解】
选①:
当时,,当时,,又满足,所以;
选②:
设公差为,由,得解得所以;
选③:
由得,所以,即,,所以,所以;
【小问2详解】
设的公比为,又因为,由得,,所以;
由数列的前项和为,又可知,
数列的前项和为,
故.
19.如图,有一景区的平面图是一个半圆形,其中O为圆心,直径的长为,C,D两点在半圆弧上,且,设;
(1)当时,求四边形的面积.
(2)若要在景区内铺设一条由线段,,和组成的观光道路,则当为何值时,观光道路的总长l最长,并求出l的最大值.
【19题答案】
【答案】
(1);
(2)5
【解析】
【分析】
(1)把四边形分解为三个等腰三角形:
,利用三角形的面积公式即得解;
(2)利用表示
(1)中三个等腰三角形的顶角,利用正弦定理分别表示,和,令,转化为二次函数的最值问题,即得解.
【详解】
(1)连结,则
四边形的面积为
(2)由题意,在中,,由正弦定理
同理在中,,由正弦定理
令
时,即,的最大值为5
【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题,考查了学生综合分析,数学建模,转化划归,数学运算能力,属于较难题
20.已知椭圆C∶(a>b>0)与抛物线y2=4x共焦点F,且过点,设是椭圆上任意一点,A、B为椭圆的左、右顶点,点E满足.
(1)求椭圆C的方程;
(2)判断是否为定值,并说明理由;
(3)设Q是直线x=9上动点,直线AQ、BQ分别交椭圆于M、N两点,求|MF|+|NF|的最小值.
【20~22题答案】
【答案】
(1)
(2)是定值3;理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
(1)求出点的坐标,再根据的关系及点求得,解得得出答案;
(2)根据是椭圆上任意一点,求得,将用表示,从而可得出结论;
(3)可设,求出直线AQ、BQ的方程,分别联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理分别求出,再根据为椭圆的右准线,由椭圆上得点到焦点得距离与到准线得距离之比为离心率,可得,计算结合基本不等式即可得出答案.
【小问1详解】
解:
抛物线y2=4x的焦点,
则有,解得,
所以椭圆C的方程为;
【小问2详解】
解:
因为,所以,
因为是椭圆上任意一点,所以,
则,
所以,
所以是定值3;
【小问3详解】
解:
,可设,
则,则直线的方程为,
,消得:
,
则有,所以,
同理可得,
因为为椭圆的右准线,
所以由椭圆上得点到焦点得距离与到准线得距离之比为离心率,
可得
,
当且仅当,即时,取等号,
所以|MF|+|NF|的最小值为.
【点睛】本题考查了椭圆、抛物线的标准方程,考查了椭圆中的
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