1、安徽卷(14)在数列在中,,其中为常数,则的值是 2.(江苏卷10)将全体正整数排成一个三角形数阵:12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律,第n 行(n 3)从左向右的第3 个数为 3.(湖北卷14)已知函数,等差数列的公差为.若,则 .4.(湖北卷15)观察下列等式:可以推测,当2()时, .5.(重庆卷14)设Sn=是等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .三 解答题:1.(全国一22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)设函数数列满足,()证明:函数在区间是增函数;()证明:;()设,整数证明:解析:,故函数在区间(0,1)上是增函数;
2、(用数学归纳法)(i)当n=1时,由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,即成立;()假设当时,成立,即那么当时,由在区间是增函数,得.而,则,也就是说当时,也成立;根据()、()可得对任意的正整数,恒成立. ()证明:由可得1, 若存在某满足,则由知:2, 若对任意都有,则,即成立.2.(全国二20)(本小题满分12分)设数列的前项和为已知,()设,求数列的通项公式;()若,求的取值范围解:()依题意,即,由此得 4分因此,所求通项公式为, 6分()由知,于是,当时,当时,又综上,所求的的取值范围是 12分3.(四川卷20)(本小题满分12分) 设数列的前项和为,已知当时,是
3、等比数列;()求的通项公式由题意知,且两式相减得即 ()当时,由知于是 又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。()当时,由()知,即 当时,由由得因此得4.(天津卷20)(本小题满分12分)在数列中,且()()设(),证明是等比数列;()求数列的通项公式;()若是与的等差中项,求的值,并证明:对任意的,是与的等差中项本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分12分由题设(),得,即,又,所以是首项为1,公比为的等比数列()解法:由(),()将以上各式相加,得()所以当时,上式对显然成立()解:由(),当时,显然不
4、是与的等差中项,故由可得,由得,整理得,解得或(舍去)于是另一方面,由可得,所以对任意的,是与的等差中项5.(安徽卷21)(本小题满分13分)设数列满足为实数对任意成立的充分必要条件是;()设,证明:;()设,证明:解 (1) 必要性 : , 又 ,即充分性 :设 ,对用数学归纳法证明 当时,.假设 则,且,由数学归纳法知对所有成立 (2) 设 ,当时,结论成立 当 时, ,由(1)知,所以 且 (3) 设 ,当时,结论成立 当时,由(2)知6.(山东卷19)。(本小题满分12分)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a1
5、0记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和,且满足1=(n2).()证明数列成等差数列,并求数列bn的通项公式;()上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第k(k3)行所有项和的和. ()证明:由已知,()解:设上表中从第三行起,每行的公比都为q,且q0. 因为 所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项, 故 a82在表中第13行第三列, 因此 又 所以 q=2. 记表中第k(k3)行所有项的和为S, 则(k3).7.(江苏卷19).()设是各项均不为零的等差数列(
6、),且公差,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:当n =4时,求的数值;求的所有可能值;()求证:对于一个给定的正整数n(n4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用()当n4 时,中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d0若删去,则有即化简得0,因为0,所以=4 ;若删去,则有,即,故得=1综上=1或4当n5 时, 中同样不可能删去首项或末项若删去,则有,即故得=6 ;若删去,则,即化简得30,因为d0,所以也不能删去;若删去,则有,即故得= 2 当
7、n6 时,不存在这样的等差数列事实上,在数列, 中,由于不能删去首项或末项,若删去,则必有,这与d0 矛盾;同样若删去也有,这与d0 矛盾;若删去, 中任意一个,则必有,这与d0 矛盾综上所述,n4,5()略8.(江西卷19)(本小题满分12分)数列为等差数列,为正整数,其前项和为,数列为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.(1)求;(2)求证.(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,依题意有由知为正有理数,故为的因子之一,解得故(2)9.(湖北卷21).(本小题满分14分)已知数列和满足:,其中为实数,为正整数.()对任意实数,证明数列不是等比数列;()试判断数列是否为等比数列,并证
8、明你的结论;()设,为数列的前项和.是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力,(满分14分)假设存在一个实数,使an是等比数列,则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n(an-3n+21)=-bn又b1x-(+18),所以当18,bn=0(nN+),此时bn不是等比数列:当18时,b1=(+18) 0,由上可知bn0,(nN+).故
9、当-18时,数列bn是以(18)为首项,为公比的等比数列.()由()知,当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18,故知bn= -(+18)()n-1,于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立,即a-(+18)1()nb(nN+) 当n为正奇数时,1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是,由式得a-(+18),当a3a存在实数,使得对任意正整数n,都有ab,且的取值范围是(b-18,-3a-18).10.(湖南卷18).(本小题满分12分) 数列 ()求并求数列的通项公式; ()设证明:当 解: ()因为所以一般地,当时,即所以数列是首项为
10、1、公差为1的等差数列,因此所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此故数列的通项公式为()由()知, -得, 所以 要证明当时,成立,只需证明当时,成立. 证法一 (1)当n = 6时,成立. (2)假设当时不等式成立,即 则当n=k+1时, 由(1)、(2)所述,当n6时,.即当n6时, 证法二 令,则 所以当时,.因此当时,于是当时,综上所述,当时,11.(陕西卷22)(本小题满分14分)已知数列的首项,()求的通项公式;对任意的,;()证明:解法一:(),又,是以为首项,为公比的等比数列,()由()知,原不等式成立()由()知,对任意的,有取,则原不等式成立解法二:()同解法一()设,则当时,;当时,当时,取得最大值()同解法一12.(重庆卷22)(本小题满分12分,()小问5分,()小问7分.)设各项均为正数的数列an满足.()若,求a3,a4,并猜想a2cos的值(不需证明);()记对n2恒成立,求a2的值及数列bn的通项公式. 解:()因 由此有,故猜想的通项为 ()令 由题设知x1=1且 因式对n=2成立,有 下用反证法证明: 由得