1、安徽卷（14）在数列在中，,其中为常数，则的值是 2.（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为 3.（湖北卷14）已知函数,等差数列的公差为.若,则 .4.（湖北卷15）观察下列等式：可以推测，当2（）时， .5.（重庆卷14）设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .三 解答题：1.（全国一22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：解析：，故函数在区间（0,1）上是增函数；
2、（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；（）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立. （）证明：由可得1， 若存在某满足，则由知：2， 若对任意都有，则，即成立.2.（全国二20）（本小题满分12分）设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（）依题意，即，由此得 4分因此，所求通项公式为， 6分（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是 12分3.（四川卷20）（本小题满分12分） 设数列的前项和为，已知当时，是
3、等比数列；（）求的通项公式由题意知，且两式相减得即 （）当时，由知于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，由由得因此得4.（天津卷20）（本小题满分12分）在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分12分由题设（），得，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）解法：由（），（）将以上各式相加，得（）所以当时，上式对显然成立（）解：由（），当时，显然不
4、是与的等差中项，故由可得，由得，整理得，解得或（舍去）于是另一方面，由可得，所以对任意的，是与的等差中项5.（安徽卷21）（本小题满分13分）设数列满足为实数对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：;（）设，证明：解 （1） 必要性 ： ， 又 ，即充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明 当时，.假设 则，且，由数学归纳法知对所有成立 （2） 设 ，当时，结论成立 当 时， ,由（1）知，所以 且 （3） 设 ，当时，结论成立 当时，由（2）知6.（山东卷19）。（本小题满分12分）将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a1
5、0记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足1=（n2）.（）证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k（k3）行所有项和的和. （）证明：由已知，（）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q0. 因为 所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项， 故 a82在表中第13行第三列， 因此 又 所以 q=2. 记表中第k（k3）行所有项的和为S， 则（k3）.7.（江苏卷19）.（）设是各项均不为零的等差数列（
6、），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：当n =4时，求的数值；求的所有可能值；（）求证：对于一个给定的正整数n（n4），存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用（）当n4 时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d0若删去，则有即化简得0，因为0，所以=4 ；若删去，则有，即，故得=1综上=1或4当n5 时， 中同样不可能删去首项或末项若删去，则有，即故得=6 ；若删去，则，即化简得30，因为d0，所以也不能删去；若删去，则有，即故得= 2 当
7、n6 时，不存在这样的等差数列事实上，在数列， 中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与d0 矛盾；同样若删去也有，这与d0 矛盾；若删去， 中任意一个，则必有，这与d0 矛盾综上所述，n4，5（）略8.（江西卷19）（本小题满分12分）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求；（2）求证.（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，依题意有由知为正有理数，故为的因子之一，解得故（2）9.（湖北卷21）.（本小题满分14分）已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证
8、明你的结论；（）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.因为bn+1=（-1）n+1an+1-3（n-1）+21=（-1）n+1（an-2n+14）=（-1）n（an-3n+21）=-bn又b1x-（+18）,所以当18，bn=0（nN+）,此时bn不是等比数列：当18时，b1=（+18） 0,由上可知bn0，（nN+）.故
9、当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.（）由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-（+18）1（）nb（nN+） 当n为正奇数时，1f（n）f（n）的最大值为f（1）=,f（n）的最小值为f（2）= ,于是，由式得a-（+18）,当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有ab,且的取值范围是（b-18,-3a-18）.10.（湖南卷18）.（本小题满分12分） 数列 （）求并求数列的通项公式； （）设证明：当 解: （）因为所以一般地，当时，即所以数列是首项为
10、1、公差为1的等差数列，因此所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为（）由（）知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 （1）当n = 6时，成立. （2）假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由（1）、（2）所述，当n6时，.即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，11.（陕西卷22）（本小题满分14分）已知数列的首项，（）求的通项公式；对任意的，；（）证明：解法一：（），又，是以为首项，为公比的等比数列，（）由（）知，原不等式成立（）由（）知，对任意的，有取，则原不等式成立解法二：（）同解法一（）设，则当时，；当时，当时，取得最大值（）同解法一12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分.）设各项均为正数的数列an满足.（）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；（）记对n2恒成立，求a2的值及数列bn的通项公式. 解：（）因 由此有，故猜想的通项为 （）令 由题设知x1=1且 因式对n=2成立，有 下用反证法证明： 由得
