高考数学试题分类汇编数列Word文档格式.docx
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安徽卷(14)在数列在中,,,,其中为常数,则的值是
2.(江苏卷10)将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
23
456
78910
.......
按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为.
3.(湖北卷14)已知函数,等差数列的公差为.若,则.
4.(湖北卷15)观察下列等式:
……………………………………
可以推测,当≥2()时,
.
5.(重庆卷14)设Sn=是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.
三.解答题:
1.(全国一22).(本小题满分12分)
(注意:
在试题卷上作答无效)
设函数.数列满足,.
(Ⅰ)证明:
函数在区间是增函数;
(Ⅱ)证明:
;
(Ⅲ)设,整数.证明:
.
解析:
,
故函数在区间(0,1)上是增函数;
(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,
由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立;
(ⅱ)假设当时,成立,即
那么当时,由在区间是增函数,得
.而,则,
,也就是说当时,也成立;
根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.
(Ⅲ)证明:
由.可得
1,若存在某满足,则由⑵知:
2,若对任意都有,则
,即成立.
2.(全国二20).(本小题满分12分)
设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ)设,求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,求的取值范围.
解:
(Ⅰ)依题意,,即,
由此得.4分
因此,所求通项公式为
,.①6分
(Ⅱ)由①知,,
于是,当时,
当时,
又.
综上,所求的的取值范围是.12分
3.(四川卷20).(本小题满分12分)
设数列的前项和为,已知
当时,是等比数列;
(Ⅱ)求的通项公式
由题意知,且
两式相减得
即①
(Ⅰ)当时,由①知
于是
又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,即
当时,由由①得
因此
得
4.(天津卷20)(本小题满分12分)
在数列中,,,且().
(Ⅰ)设(),证明是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若是与的等差中项,求的值,并证明:
对任意的,
是与的等差中项.
本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
由题设(),得
,即,.
又,,所以是首项为1,公比为的等比数列.
(Ⅱ)解法:
由(Ⅰ)
,
……
,().
将以上各式相加,得().
所以当时,
上式对显然成立.
(Ⅲ)解:
由(Ⅱ),当时,显然不是与的等差中项,故.
由可得,由得, ①
整理得,解得或(舍去).于是.
另一方面,,
.
由①可得,.
所以对任意的,是与的等差中项.
5.(安徽卷21).(本小题满分13分)
设数列满足为实数
对任意成立的充分必要条件是;
(Ⅱ)设,证明:
;
(Ⅲ)设,证明:
解
(1)必要性:
,
又,即
充分性:
设,对用数学归纳法证明
当时,.假设
则,且
,由数学归纳法知对所有成立
(2)设,当时,,结论成立
当时,
由
(1)知,所以且
(3)设,当时,,结论成立
当时,由
(2)知
6.(山东卷19)。
(本小题满分12分)
将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a1
a2a3
a4a5a6
a7a8a9a10
……
记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足=1=(n≥2).
(Ⅰ)证明数列{}成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.
(Ⅰ)证明:
由已知,
(Ⅱ)解:
设上表中从第三行起,每行的公比都为q,且q>0.
因为
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,
故a82在表中第13行第三列,
因此
又
所以q=2.
记表中第k(k≥3)行所有项的和为S,
则(k≥3).
7.(江苏卷19).(Ⅰ)设是各项均不为零的等差数列(),且公差,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:
①当n=4时,求的数值;
②求的所有可能值;
(Ⅱ)求证:
对于一个给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用.
(Ⅰ)①当n=4时,中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0.
若删去,则有即
化简得=0,因为≠0,所以=4;
若删去,则有,即,故得=1.
综上=1或-4.
②当n=5时,中同样不可能删去首项或末项.
若删去,则有=,即.故得=6;
若删去,则=,即.
化简得3=0,因为d≠0,所以也不能删去;
若删去,则有=,即.故得=2.
当n≥6时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列,,,…,,,中,
由于不能删去首项或末项,若删去,则必有=,这与d≠0矛盾;
同样若删
去也有=,这与d≠0矛盾;
若删去,…,中任意一个,则必有
=,这与d≠0矛盾.
综上所述,n∈{4,5}.
(Ⅱ)略
8.(江西卷19).(本小题满分12分)
数列为等差数列,为正整数,其前项和为,数列为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.
(1)求;
(2)求证.
(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,
依题意有①
由知为正有理数,故为的因子之一,
解①得
故
(2)
∴
9.(湖北卷21).(本小题满分14分)
已知数列和满足:
其中为实数,为正整数.
(Ⅰ)对任意实数,证明数列不是等比数列;
(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设,为数列的前项和.是否存在实数,使得对任意正整数,都有
?
若存在,求的取值范围;
若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力,(满分14分)
假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以{an}不是等比数列.
因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·
(an-3n+21)=-bn
又b1x-(λ+18),所以
当λ=-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列:
当λ≠-18时,b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).
故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18,故知bn=-(λ+18)·
(-)n-1,于是可得
Sn=-
要使a<
Sn<
b对任意正整数n成立,
即a<
-(λ+18)·
[1-(-)n]〈b(n∈N+)
①
当n为正奇数时,1<
f(n)
∴f(n)的最大值为f
(1)=,f(n)的最小值为f
(2)=,
于是,由①式得a<
-(λ+18),<
当a<
b3a时,由-b-18=-3a-18,不存在实数满足题目要求;
当b>
3a存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<
b,且λ的取值范围是(-b-18,-3a-18).
10.(湖南卷18).(本小题满分12分)
数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设证明:
当
解:
(Ⅰ)因为所以
一般地,当时,
=,即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,①
②
①-②得,
所以
要证明当时,成立,只需证明当时,成立.
证法一
(1)当n=6时,成立.
(2)假设当时不等式成立,即
则当n=k+1时,
由
(1)、
(2)所述,当n≥6时,.即当n≥6时,
证法二
令,则
所以当时,.因此当时,
于是当时,
综上所述,当时,
11.(陕西卷22).(本小题满分14分)
已知数列的首项,,.
(Ⅰ)求的通项公式;
对任意的,,;
(Ⅲ)证明:
解法一:
(Ⅰ),,,
又,是以为首项,为公比的等比数列.
,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,原不等式成立.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的,有
取,
则.
原不等式成立.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设,
则
当时,;
当时,,
当时,取得最大值.
(Ⅲ)同解法一.
12.(重庆卷22)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
设各项均为正数的数列{an}满足.
(Ⅰ)若,求a3,a4,并猜想a2cos的值(不需证明);
(Ⅱ)记对n≥2恒成立,求a2的值及数列{bn}的通项公式.
解:
(Ⅰ)因
由此有,故猜想的通项为
(Ⅱ)令
由题设知x1=1且
②
因②式对n=2成立,有
③
下用反证法证明:
由①得
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