1、得证。10-4 在上题中， 如果l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，问每个小球所带的电量q为多大？解 在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r0 = 5.2910-11m。质子的质量m = 1.6710-27kg，电子的质量m = 9.1110-31kg，它们的电量为 e =1.6010-19c。（1）求电子所受的库仑力；（2）电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？（3）求电子绕核运动的速率。解 （1）电子与质子之间的库仑力为（2）电子与质子之间
2、的万有引力为所以（3）质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以从上式解出电子绕核运动的速率，为10-6 边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。图10-10（1）证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为. （2） f的方向如何？解 立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如b角上的qb，它所受到的力 、 和 大小也是相等的，即首先让我们来计算 的大小。由图10-10可见， 、 和 对 的作用力不产生x方向的分量；对 的作用力f1的大小为f1的方向与x轴的夹角为45。对 的作用力f2的大小为f2的方向与x轴的夹角为0。对 的作用力
3、f3的大小为f3的方向与x轴的夹角为45。对 的作用力f4的大小为f4的方向与x轴的夹角为， 。于是所受合力的大小为 f的方向：f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为、和，并且10-7 计算一个直径为1.56 cm的铜球所包含的正电荷电量。解 根据铜的密度可以算的铜球的质量铜球的摩尔数为该铜球所包含的原子个数为每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为1.60210-19 c，所以铜球所带的正电荷为10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e，我们就把一个带正电的试探电荷q0 引入该点，测定f/q0。问f/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度e
4、？解 这样测得的f / q0是小于该点的电场强度e的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动， q0受力f减小了。10-9 根据点电荷的电场强度公式当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？解 当r 0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。10-10 离点电荷50 cm处的电场强度的大小为2.0 nc-1 。求此点电荷的电量。解 由于所以有10-11 有两个点电荷，电量分别为5.010-7c和2.810-8c，相距15 cm。求：（1）
5、一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；（2）作用在每个电荷上的力。图10-11解 已知 = 5.010-7c、 = 2.810-8c，它们相距r = 15 cm ，如图10-11所示。（1） 在点b产生的电场强度的大小为方向沿从a到b的延长线方向。在点a产生的电场强度的大小为方向沿从b到a的延长线方向。 对 的作用力的大小为对 的作用力的大小为10-12 求由相距l的 q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：（1）轴的延长线上距轴心为r处，并且r l；图10-12（2）轴的中垂面上距轴心为r处，并且r l。（1）在轴的延长线上任取一点p，如图10-12所示，该点距轴心的距
6、离为r。p点的电场强度为在r l的条件下，上式可以简化为图10-13 .（1）令这就是电偶极子的电矩。这样，点p的电场强度可以表示为.（3）（2）在轴的中垂面上任取一点q，如图10-13所示，该点距轴心的距离为r。q点的电场强度为也引入电偶极子电矩，将点q的电场强度的大小和方向同时表示出来：10-13 有一均匀带电的细棒，长度为l，所带总电量为q。（1）细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a（2）细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a图10-14（1）以棒中心为坐标原点建立如图10-14所示的坐标系。在x轴上到o点距离为a处取一点p，在x处取棒元dx，它所带电荷元为dx
7、 ，该棒元到点p的距离为a- x，它在p点产生的电场强度为整个带电细棒在p点产生的电场强度为图10-15方向沿x轴方向。（2）坐标系如图10-15所示。在细棒中垂线（即y轴）上到o点距离为a处取一点p，由于对称性，整个细棒在p点产生的电场强度只具有y分量ey。所以只需计算ey就够了。仍然在x处取棒元dx，它所带电荷元为dx，它在p点产生电场强度的y分量为图10-1610-14 一个半径为r的圆环均匀带电，线电荷密度为。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。解以环心为坐标原点，建立如图10-16所示的坐标系。在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。在环上取元段dl，元段所带电
8、量为dq = dl，在p点产生的电场强度的大小为由于对称性，整个环在p点产生的电场强度只具有x分量ex。所以只需计算ex就够了。10-15 一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。图10-17解 取盘心为坐标原点建立如图10-17所示的坐标系。为计算整个圆盘在p点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环，该圆环在p点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即的方向沿x轴方向。整个圆盘在p点产生的电场强度，可对上式积分求得图10-1810-16 一个半径为R的半球面均匀带电，面电荷密度为。求球心的电场强度。解 以球心o为坐标原点，建
9、立如图10-18所示的坐标系。在球面上取宽度为dl的圆环，圆环的半径为r。显然圆环所带的电量为根据题10-14的结果，该圆环在球心产生的电场强度为方向沿x轴的反方向。由图中可见， , 将这些关系代入上式，得e的方向沿x轴的反方向。10-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面s内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e，另一类是处于高斯面s外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e ，显然高斯面上任一点的电场强度e = e + e。试证明： ； 。解 高斯面的电通量可以表示为显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高
10、斯面电通量的贡献。高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以0，而与s以外的电荷无关。”可见，高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为 （1）所以，关系式 的成立是高斯定理的直接结果。因为于是可以把高斯定理写为将式（1）代入上式，即得. （2）图10-1910-20 一个半径为r的球面均匀带电，面电荷密度为。求球面内、外任意一点的电场强度。解 由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。在球内任取一点，到球心的距离为r1，以r1为半径作带电球面的同心球面s1，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得由此解得球面内部的电
11、场强度为在球外任取一点，到球心的距离为r2，以r2为半径作带电球面的同心球面s2，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得即由此解得e2的方向沿径向向外。10-21 一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。图10-20解 显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面s1（见图10-20）作为高斯面并运用高斯定理上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为
12、于是得方向沿径向向外。用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面s2，如图10-20所示。在s2上运用高斯定理，得根据相同的情况，上面的积分可以化为由上式求得10-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 ，两板相距d。当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。（1）求两板之间的电场强度；（2）当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.510-8 s的时间撞击在对面的正电板上，若d = 2.0 cm，求电子撞击正电板的速率。图10-21（1）在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，
13、并且电场都集中在两板之间的间隙中。作底面积为s的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图10-21所示。在此高斯面上运用高斯定理，得由此解得两板间隙中的电场强度为（2）根据题意可以列出电子的运动学方程两式联立可以解得10-24 一个半径为r的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。解 先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。在球内： ，根据高斯定理，可列出下式解得在球外： ，根据高斯定理，可得球内任意一点的电势：, （）.球外任意一点的电势：, （）.10-25 点电荷+q和-3q相距d = 1.0 m，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。图10-22（1）电势为零的点：这点可能处于+q的右侧，也可能处于+q的左侧，先
