物理学第三版刘克哲 张承琚课后习题答案第十章Word格式.docx
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得证。
10-4在上题中,如果l=120cm,m=0.010kg,x=5.0cm,问每个小球所带的电量q为多大?
解在上题的结果中,将q解出,再将已知数据代入,可得
10-5氢原子由一个质子和一个电子组成。
根据经典模型,在正常状态下,电子绕核作圆周运动,轨道半径是r0=5.29⨯10-11m。
质子的质量m=1.67⨯10-27kg,电子的质量m=9.11⨯10-31kg,它们的电量为±
e=1.60⨯10-19c。
(1)求电子所受的库仑力;
(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍?
(3)求电子绕核运动的速率。
解
(1)电子与质子之间的库仑力为
(2)电子与质子之间的万有引力为
所以
(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力,所以
从上式解出电子绕核运动的速率,为
10-6边长为a的立方体,每一个顶角上放一个电荷q。
图10-10
(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为
.
(2)
f的方向如何?
解立方体每个顶角上放一个电荷q,由于对称性,每个电荷的受力情况均相同。
对于任一顶角上的电荷,例如b角上的qb,它所受到的力、和大小也是相等的,即
首先让我们来计算的大小。
由图10-10可见,、和对的作用力不产生x方向的分量;
对的作用力f1的大小为
f1的方向与x轴的夹角为45︒。
对的作用力f2的大小为
f2的方向与x轴的夹角为0︒。
对的作用力f3的大小为
f3的方向与x轴的夹角为45︒。
对的作用力f4的大小为
f4的方向与x轴的夹角为α,。
于是
所受合力的大小为
f的方向:
f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为α、β和γ,并且
10-7计算一个直径为1.56cm的铜球所包含的正电荷电量。
解根据铜的密度可以算的铜球的质量
铜球的摩尔数为
该铜球所包含的原子个数为
每个铜原子中包含了29个质子,而每个质子的电量为1.602⨯10-19c,所以铜球所带的正电荷为
10-8一个带正电的小球用长丝线悬挂着。
如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e,我们就把一个带正电的试探电荷q0引入该点,测定f/q0。
问f/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度e?
解这样测得的f/q0是小于该点的电场强度e的。
因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动,q0受力f减小了。
10-9根据点电荷的电场强度公式
当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时,则电场强度趋于无限大,这显然是没有意义的。
对此应作何解释?
解当r→0时,带电体q就不能再视为点电荷了,只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。
这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。
10-10离点电荷50cm处的电场强度的大小为2.0n⋅c-1。
求此点电荷的电量。
解由于
所以有
10-11有两个点电荷,电量分别为5.0⨯10-7c和2.8⨯10-8c,相距15cm。
求:
(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度;
(2)作用在每个电荷上的力。
图10-11
解已知=5.0⨯10-7c、=2.8⨯10-8c,它们相距r=15cm,如图10-11所示。
(1)
在点b产生的电场强度的大小为
方向沿从a到b的延长线方向。
在点a产生的电场强度的大小为
方向沿从b到a的延长线方向。
对的作用力的大小为
对的作用力的大小为
10-12求由相距l的±
q电荷所组成的电偶极子,在下面的两个特殊空间内产生的电场强度:
(1)轴的延长线上距轴心为r处,并且r>
>
l;
图10-12
(2)轴的中垂面上距轴心为r处,并且r>
l。
(1)在轴的延长线上任取一点p,如图10-12所示,该点距轴心的距离为r。
p点的电场强度为
在r>
l的条件下,上式可以简化为
图10-13
.
(1)
令
这就是电偶极子的电矩。
这样,点p的电场强度可以表示为
.(3)
(2)在轴的中垂面上任取一点q,如图10-13所示,该点距轴心的距离为r。
q点的电场强度为
也引入电偶极子电矩,将点q的电场强度的大小和方向同时表示出来:
10-13有一均匀带电的细棒,长度为l,所带总电量为q。
(1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度,并且a>
(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度,并且a>
图10-14
(1)以棒中心为坐标原点建立如图10-14所示的坐标系。
在x轴上到o点距离为a处取一点p,在x处取棒元dx,它所带电荷元为λdx,该棒元到点p的距离为a-x,它在p点产生的电场强度为
整个带电细棒在p点产生的电场强度为
图10-15
方向沿x轴方向。
(2)坐标系如图10-15所示。
在细棒中垂线(即y轴)上到o点距离为a处取一点p,由于对称性,整个细棒在p点产生的电场强度只具有y分量ey。
所以只需计算ey就够了。
仍然在x处取棒元dx,它所带电荷元为λdx,它在p点产生电场强度的y分量为
图10-16
10-14一个半径为r的圆环均匀带电,线电荷密度为λ。
求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。
解以环心为坐标原点,建立如图10-16所示的坐标系。
在x轴上取一点p,p点到盘心的距离为a。
在环上取元段dl,元段所带电量为dq=λdl,在p点产生的电场强度的大小为
由于对称性,整个环在p点产生的电场强度只具有x分量ex。
所以只需计算ex就够了。
10-15一个半径为r的圆盘均匀带电,面电荷密度为σ。
求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。
图10-17
解取盘心为坐标原点建立如图10-17所示的坐标系。
为计算整个圆盘在p点产生的电场强度,可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环,该圆环在p点产生的电场强度,可以套用上题的结果,即
的方向沿x轴方向。
整个圆盘在p点产生的电场强度,可对上式积分求得
图10-18
10-16一个半径为R的半球面均匀带电,面电荷密度为σ。
求球心的电场强度。
解以球心o为坐标原点,建立如图10-18所示的坐标系。
在球面上取宽度为dl的圆环,圆环的半径为r。
显然
圆环所带的电量为
根据题10-14的结果,该圆环在球心产生的电场强度为
方向沿x轴的反方向。
由图中可见,,,将这些关系代入上式,得
e的方向沿x轴的反方向。
10-19如果把电场中的所有电荷分为两类,一类是处于高斯面s内的电荷,其量用q表示,它们共同在高斯面上产生的电场强度为e'
,另一类是处于高斯面s外的电荷,它们共同在高斯面上产生的电场强度为e"
,显然高斯面上任一点的电场强度e=e'
+e"
。
试证明:
;
。
解高斯面的电通量可以表示为
显然,上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献,第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。
高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量,等于该闭合曲面所包围的电量除以ε0,而与s以外的电荷无关。
”可见,高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。
这句话在数学上应表示为
(1)
所以,关系式的成立是高斯定理的直接结果。
因为
于是可以把高斯定理写为
将式
(1)代入上式,即得
.
(2)
图10-19
10-20一个半径为r的球面均匀带电,面电荷密度为σ。
求球面内、外任意一点的电场强度。
解由题意可知,电场分布也具有球对称性,可以用高斯定理求解。
在球内任取一点,到球心的距离为r1,以r1为半径作带电球面的同心球面s1,如图10-19所示,并在该球面上运用高斯定理,得
由此解得球面内部的电场强度为
在球外任取一点,到球心的距离为r2,以r2为半径作带电球面的同心球面s2,如图10-19所示,并在该球面上运用高斯定理,得
即
由此解得
e2的方向沿径向向外。
10-21一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电,体电荷密度为ρ。
求圆柱体内、外任意一点的电场强度。
图10-20
解显然,电场的分布具有轴对称性,圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外,可以用高斯定理求解。
在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面s1(见图10-20)作为高斯面并运用高斯定理
上式左边的积分实际上包含了三项,即对左底面、右底面和侧面的积分,前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零,只剩下对侧面的积分,所以上式可化为
于是得
方向沿径向向外。
用同样的方法,在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面s2,如图10-20所示。
在s2上运用高斯定理,得
根据相同的情况,上面的积分可以化为
由上式求得
10-22两个带有等量异号电荷的平行平板,面电荷密度为±
σ,两板相距d。
当d比平板自身线度小得多时,可以认为两平行板之间的电场是匀强电场,并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。
(1)求两板之间的电场强度;
(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放,经过1.5⨯10-8s的时间撞击在对面的正电板上,若d=2.0cm,求电子撞击正电板的速率。
图10-21
(1)在题目所说情况下,带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器,并且电场都集中在两板之间的间隙中。
作底面积为δs的柱状高斯面,使下底面处于两板间隙之中,而上底面处于两板间隙之外,并且与板面相平行,如图10-21所示。
在此高斯面上运用高斯定理,得
由此解得两板间隙中的电场强度为
(2)根据题意可以列出电子的运动学方程
两式联立可以解得
10-24一个半径为r的球体均匀带电,电量为q,求空间各点的电势。
解先由高斯定理求出电场强度的分布,再由电势的定义式求电势的分布。
在球内:
,根据高斯定理,可列出下式
解得
在球外:
,根据高斯定理,可得
球内任意一点的电势:
().
球外任意一点的电势:
().
10-25点电荷+q和-3q相距d=1.0m,求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。
图10-22
(1)电势为零的点:
这点可能处于+q的右侧,也可能处于+q的左侧,先
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