1、典型共点力平衡问题例题典型共点力作用下物体的平衡例题 例 1 质量为 m 的物体，用水平细绳 AB拉住， 静止在倾角为的固定斜面上，物体对斜面压力的大小，如图 1（甲）。分析 本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受力如图 1 乙， 以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件 F 0，即找准边角关系，列方程求解。解 解法一：以物体 m为研究对象建立图 1乙所示坐标系，由平衡条件得：Tcos -mgsin 0 （1）N-Tsin -mgcoo 0 （2）联立式（ 1）（ 2）解得 N mg cos 据牛顿第三定律可知， 物体对斜面压力的大小为 N mg cos解法二：以物体为研究对象，
2、建立如图体受共点力的平衡条件知： Ncos -mg=02 所示坐标系，据物 N mgcoc 同理 N =mg cos 说明 （1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但结果相同， 因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种解法繁简不同，可以得到启示：处 理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越 少越佳。（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象 正确 受力分析合理巧建坐标系根据平衡条件（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提，角度一错 全盘皆错，这是非常可惜的。（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点
3、，题 目中物体受重力 G，斜面支持 N，水平细绳拉力 T 三个共点力作用 而平衡，这三个力必然构成如图 3 所示的封闭三角形力图。这一点 在解物理题时有时很方便。例 2 如图 1 所示，挡板 AB 和竖直墙之间夹有小球，球的质量为 m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角缓慢增加时， AB板及墙对球压力如何变化。分析 本题考察当角连续变化时，小球平衡问题，此题可以用正交分解法。选 定某特定状态，然后，通过角变化情况，分析压力变化，我们用上题中第四条结论 解答此题。解 由图 2知， G，N2（挡板对球作用力）， N1墙壁对球作用力，构成一个封闭三角形，且封闭三角形在变化，当增加到时，由三角形边角关系知 N
4、1， N2。说明 封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论，简捷直观。本题是一 种动态变化题目，这种题目在求解时，还可用一种极限法判断，如把 AB 板与竖直墙壁夹角增到 90时，可知 N1=0，过程中 N1 一直减小， N2=mg，N2也一直在减小。例 3如图1所示，用一个三角支架悬挂重物， 已知 AB杆所受的最大压力为 2000N，AC绳所受最大拉力为 1000N， =30，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足 的条件？ 分析 悬绳 A 点受到竖直向 下的拉力 F G，这个拉力将压紧 水平杆 AB并拉引绳索 AC，所以 应把拉力 F沿 AB、CA两方向分解， 设两分力为 F1、 F2，画出
5、的平行 四边形如图 2 所示。解 由图 2可知：因为 AB、 AC能承受的最大作用力之比为当悬挂物重力增加时，对 AC绳的拉力将先达到最大值，所以为不使三角架断裂， 计算中应以 AC绳中拉力达最大值为依据，即取 F2=F2m=1000N，于是得悬挂物的重力应 满足的条件为GmF2sin30 500N，说明 也可取 A点为研究对象，由 A点受力，用共点平衡条件求解。 A点受三个 力：悬挂物的拉力 F=G，杆的推力 FB，绳的拉力 FC，如图 4 所示。根据共点力平衡条 件，由FCsin =G， FCcos =FB，即得共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况，具有更普遍的意义。例 4如图 1
6、所示，细绳 CO与竖直方向成 30角， A、 B两物体用跨过滑轮的细 绳相连，已知物体 B 所受到的重力为 100N，地面对物体 B 的支持力为 80N，试求1）物体 A 所受到的重力；2）物体 B 与地面间的摩擦力；3）细绳 CO受到的拉力。分析 此题是在共点力作用下的物体平衡问题， 据平衡条件 Fx=0， Fy=0，分 别取物体 B 和定滑轮为研究对象，进行受力情况分析，建立方程。解 如图 2所示，选取直角坐标系。据平衡条件得f-T 1sin =0，N T1cos -mBg=0。对于定滑轮的轴心 O点有 T 1sin -T 2sin30 =0，T 2cos30 -T 1cos -mAg=0
7、。因为 T1=mAg，得 =60，解方程组得（1） T1=40N，物体 A 所受到的重力为 40N；2）物体 B与地面间的摩擦力 f T1sin =40sin60 34.6N；3）细绳 CO受到的拉力 说明 在本题中，我们选取定滑轮的轴心为研究对象，并认定T1 与 mAg 作用在这点上，即构成共点力，使问题得以简化。例 5 如图 1 所示，在质量为 1kg 的重物上系着一条长 30cm 的细绳，细绳的另一 端连着圆环， 圆环套在水平的棒上可以滑动， 环与棒间的静摩擦因数为 0.75 ，另有 条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环 0.5m 的地方。当细绳的端点 挂上重物 G，而圆环将
8、要开始滑动时，试问2）圆环将要开始滑动时，重物 G的质量是多少？1）长为 30cm 的细绳的张力是多少？3）角多大？ 分析 选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的张 力 T、杆对圆环的支持力 N、摩擦力 f 的作用。文档解 因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件 Fx=0， Fy=0，建立方程有 N-Tcos =0，N-Tsin 0。设想：过 O作 OA的垂线与杆交于 B点，由 AO=30cm，tg = ， 得 BO的长 为 40cm。在直角三角形中， 由三角形的边长条件得 AB =50cm，但据题述条件 A
9、B=50cm， 故 B点与滑轮的固定处 B 点重合，即得 =90。（1）如图 2 所示选取坐标轴，根据平衡条件有Gcos +Tsin -mg=0，Tcos -Gsin =0。解得 T 8N，2）圆环将要滑动时，得 m Gg Tctg ， m G=0.6kg 。3）前已证明为直角。例 6 如图 1 所示，质量为 m 5kg 的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩 擦因数 求当物体做匀速直线运动时，牵引力 F 的最小值和方向角。分析 本题考察物体受力分 析：由于求摩擦力 f 时，N受 F 制约， 而求 F 最小值，即转化为在物理问 题中应用数学方法解决的实际问 题。我们可以先通过物体受力分析。
10、据平衡条件，找出 F 与关系。进 一步应用数学知识求解极值。 解 作出物体 m 受力分析如图 2，由平衡条件。Fx=Fcos-N=0 （ 1）Fy=Fsin +N-G=0 （ 2）由 cos （ - ） =1 即 =0 时 =30， =30说明 本题中我们应用了数学上极值方法，来求解物理实际问题，这是在高考 中考察的一项重要能力。在以后解题中我们还会遇到用如：几何法、三角形法等数学 方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决物理问题是 很方便的。但要注意，求解结果和物理事实的 统一性 。例 7 如图 1，A、B两物体质量相等， B用细绳拉着，绳与倾角的斜面平行。 A 与
11、B，A与斜面间的动摩擦因数相同，若 A 沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。分析 本题主要考察受力分析及物 体平衡条件。选择 A 为研究对象，分析物 体 A 受力，应用正交分解法。据平衡条件 求解。解取 A为研究对象，画出 A受力如图 2，建立如图所示坐标系。据物体平衡条 件Fx=mgsin -f 1-f 2=0 （1）Fy N1-N B-mgcos =0 （ 2）其中 f 1= N1 （3）f 2=NB （ 4）由 B 受力知 NB mgcos （ 5）联立上面式（ 1）（ 2）（ 3）（4）（5）得 说明 （1）本题在进行受力分析时，要注意 A与斜面 C的接触力 N1和 f 1，A与物体 B
12、的接触力 N2和 f 2，一定注意， N1和 N2的取值。（ 2）本题可以变化为若 A沿斜面加速下滑， 或沿斜面减速下滑。 应满足关系？则加速时 mgsin N1+ NB3）摩擦力公式 f N，有时因物体只受水平作用力， f= N= mg，但当物体受力变化以后， N 就不一定等于 mg了，如图 3 的两个情形。所以切记：公式一定要写成 N。对 N 求解不要想当然，应据题设进行实际分析而得。【例 8】如图 1 所示，支杆 BC一端用 铰链固定于 B，另一端连接滑轮 C，重物 P 上系一轻绳经 C固定于墙上 A 点。若杆 BC、 滑轮 C及绳子的质量、 摩擦均不计， 将绳端 A点沿墙稍向下移，再使
13、之平衡时，绳的拉 力和 BC杆受到的压力如何变化？误解一 滑轮 C点受杆 BC的支持力 F、绳 AC的拉力 T 和绳 CP的拉力 Q（其中 Q 大小等于 G），如图 2 所示。由平衡条件可得F Gsin ， T G cos当绳的 A点下移后，增大，所以 F 增大，而 T 减小。误解二滑轮 C点受到杆 BC支持力 F，绳AC的拉力 T和绳 CP 的拉力 Q（其中 Q的大小等于 G），如图 3，T与 F 的合力与 Q等值 反向。当 A点下移后， T与竖直方向的夹角要增大， 滑轮 C也要下降，使 BC与墙间的夹角增大，但因这两力的合力始终与 Q 等值反向，所以这两个分力均要增大。 正确解答 滑轮 C
14、 点受到 F、T、Q三力作用而平衡，三力组成封闭三角形，如 图 4，注意到同一条绳上各处张力都相同，则有 T=Q=G，以杆受到压力增大，而绳子拉力仍不变，大小为 G。错因分析与解题指导 当不计绳子的质量时，绳子各处张力都相等，两个 误解 都未认识这个事实。 另外， 误解一自设 T与 F 垂直作为讨论依据并将它扩展到一般情况，是毫无道理的。 误解二 则臆断 A点下移时，滑轮 C也要下降， BC与墙间的夹角增大，与事实不符。值得一提的是：本题 BC杆对滑轮 C 点的作用力是沿着杆子的，而这是有条件的， 仅当 BC杆重力不计且只受两个力作用而平衡时，上述结论才成立。1明确研究对象，对它进行受力分析，画出受力图；2根据平衡条件列方程；3统一单位，代入数字、解方程、求答案。由题讲话由题讲话，促使学生积极思维，获得更加全面的知识， 加深对物理现象和规律的理解。 现举一、 二例加以说明。 如 图 1， OA是一根横梁，一端安在轴 O上，另一端用钢索 AB 拉着，在 B 处安装一小滑轮， 可以改变钢索的长度， OB OA， 在 A 端挂一重物 G。（横梁重不计）试求钢索 BA 的拉力？学生不感到困难。根据 M=0，解得：这时教师向学生发问：若将钢索 BA加长（即缓慢下放），钢索的拉力 F 如何变化？学生根据上面的结果自然会想到，角将逐渐变小，力 F 必将逐渐增大。当
