典型共点力平衡问题例题.docx
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典型共点力平衡问题例题
典型共点力作用下物体的平衡例题
[例1]质量为m的物体,
用水平细绳AB拉住,静止在倾角为θ的固定斜面上,
物体对斜面压力的大小,如图1(甲)。
[分析]本题主要考察,物体受力分析与平衡条件,物体在斜面上受力如图1乙,以作用点为原点建立直角坐标系,据平衡条件∑F=0,即
找准边角关系,列方程求解。
[解]解法一:
以物体m为研究对象建立图1乙所示坐标系,由平衡条件得:
Tcosθ-mgsinθ=0
(1)
N-Tsinθ-mgcooθ=0
(2)
联立式
(1)
(2)解得N=mg/cosθ
据牛顿第三定律可知,物体对斜面压力的大小为N′=mg/cosθ
解法二:
以物体为研究对象,建立如图
体受共点力的平衡条件知:
Ncosθ-mg=0
2所示坐标系,据物∴N=mg/cocθ
同理N′=mg/cosθ
[说明]
(1)由上面解法可知:
虽然两种情况下建立坐标系的方法不同,但结果相同,因此,如何建立坐标系与解答的结果无关,从两种解法繁简不同,可以得到启示:
处理物体受力,巧建坐标系可简化运算,而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。
(2)用正交分解法解共点力平衡时解题步骤:
选好研究对象→正确受力分析→
合理巧建坐标系→根据平衡条件
(3)不管用哪种解法,找准力线之间的角度关系是正确解题的前提,角度一错全盘皆错,这是非常可惜的。
(4)由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点,题目中物体受重力G,斜面支持N,水平细绳拉力T三个共点力作用而平衡,这三个力必然构成如图3所示的封闭三角形力图。
这一点在解物理题时有时很方便。
例2]如图1所示,挡板AB和竖直墙之间夹有小球,球的质量为m,问当挡板
与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时,AB板及墙对球压力如何变化。
[分析]本题考察当θ角连续变化时,小球平衡问题,此题可以用正交分解法。
选定某特定状态,然后,通过θ角变化情况,分析压力变化,我们用上题中第四条结论解答此题。
[解]由图2知,G,N2(挡板对球作用力),N1墙壁对球作用力,构成一个封闭三
角形,且θ↑封闭三角形在变化,当增加到θ'时,由三角形边角关系知N1↓,N2↓。
[说明]封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论,简捷直观。
本题是一种动态变化题目,这种题目在求解时,还可用一种极限法判断,如把AB板与竖直墙
壁夹角θ增到90°时,可知N1=0,过程中N1一直减小,N2=mg,N2也一直在减小。
[例3]如图1所示,用一个三角支架悬挂重物,已知AB杆所受的最大压力为2000N,
AC绳所受最大拉力为1000N,∠α=30°,为不使支架断裂,求悬挂物的重力应满足的条件?
[分析]悬绳A点受到竖直向下的拉力F=G,这个拉力将压紧水平杆AB并拉引绳索AC,所以应把拉力F沿AB、CA两方向分解,设两分力为F1、F2,画出的平行四边形如图2所示。
[解]由图2可知:
因为AB、AC能承受的最大作用力之比为
当悬挂物重力增加时,对AC绳的拉力将先达到最大值,所以为不使三角架断裂,计算中应以AC绳中拉力达最大值为依据,即取F2=F2m=1000N,于是得悬挂物的重力应满足的条件为
Gm≤F2sin30°=500N,
[说明]也可取A点为研究对象,由A点受力,用共点平衡条件求解。
A点受三个力:
悬挂物的拉力F=G,杆的推力FB,绳的拉力FC,如图4所示。
根据共点力平衡条件,由
FCsinα=G,FCcosα=FB,
即得
共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况,具有更普遍的意义。
[例4]如图1所示,细绳CO与竖直方向成30°角,A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连,已知物体B所受到的重力为100N,地面对物体B的支持力为80N,试求
1)物体A所受到的重力;
2)物体B与地面间的摩擦力;
3)细绳CO受到的拉力。
[分析]此题是在共点力作用下的物体平衡问题,据平衡条件∑Fx=0,∑Fy=0,分别取物体B和定滑轮为研究对象,进行受力情况分析,建立方程。
[解]如图2所示,选取直角坐标系。
据平衡条件得
f-T1sinα=0,
N+T1cosα-mBg=0。
对于定滑轮的轴心O点有T1sinα-T2sin30°=0,
T2cos30°-T1cosα-mAg=0。
因为T1=mAg,得α=60°,解方程组得
(1)T1=40N,物体A所受到的重力为40N;
2)物体B与地面间的摩擦力f=T1sinα=40sin60°≈34.6N;
3)细绳CO受到的拉力
[说明]
在本题中,我们选取定滑轮的轴心为研究对象,并认定
T1与mAg作用在这点上,
即构成共点力,使问题得以简化。
例5]如图1所示,在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳,细绳的另一端连着圆环,圆环套在水平的棒上可以滑动,环与棒间的静摩擦因数为0.75,另有条细绳,在其一端跨过定滑轮,定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。
当细绳的端点挂上重物G,而圆环将要开始滑动时,试问
2)圆环将要开始滑动时,重物G的质量是多少?
1)长为30cm的细绳的张力是多少?
3)角φ多大?
[分析]选取圆环作为研究对象,分析圆环的受力情况:
圆环受到重力、细绳的张力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用。
文档
[解]因为圆环将要开始滑动,所以,可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡
问题。
由牛顿第二定律给出的平衡条件∑Fx=0,∑Fy=0,建立方程有
μN-Tcosθ=0,
N-Tsinθ=0。
设想:
过O作OA的垂线与杆交于B′点,由AO=30cm,tgθ=,得B′O的长为40cm。
在直角三角形中,由三角形的边长条件得AB′=50cm,但据题述条件AB=50cm,故B′点与滑轮的固定处B点重合,即得φ=90°。
(1)如图2所示选取坐标轴,根据平衡条件有
Gcosθ+Tsinθ-mg=0,
Tcosθ-Gsinθ=0。
解得T≈8N,
2)圆环将要滑动时,得mGg=Tctgθ,mG=0.6kg。
3)前已证明φ为直角。
例6]如图1所示,质量为m=5kg的物体放在水平面上,物体与水平面间的动摩擦因数求当物体做匀速直线运动时,牵引力F的最小值和方向角θ。
[分析]本题考察物体受力分析:
由于求摩擦力f时,N受F制约,而求F最小值,即转化为在物理问题中应用数学方法解决的实际问题。
我们可以先通过物体受力分析。
据平衡条件,找出F与θ关系。
进一步应用数学知识求解极值。
[解]作出物体m受力分析如图2,由平衡条件。
∑Fx=Fcosθ-μN=0
(1)
∑Fy=Fsinθ+N-G=0
(2)
由cos(θ-Ф)=1即θ—Ф=0时
Ф=30°,θ=30°
[说明]本题中我们应用了数学上极值方法,来求解物理实际问题,这是在高考中考察的一项重要能力。
在以后解题中我们还会遇到用如:
几何法、三角形法等数学方法解物理问题,所以,在我们学习物理时,逐步渗透数学思想,对解决物理问题是很方便的。
但要注意,求解结果和物理事实的统一性。
[例7]如图1,A、B两物体质量相等,B用细绳拉着,绳与倾角θ的斜面平行。
A与B,A与斜面间的动摩擦因数相同,若A沿斜面匀速下滑,求动摩擦因数的值。
[分析]本题主要考察受力分析及物体平衡条件。
选择A为研究对象,分析物体A受力,应用正交分解法。
据平衡条件求解。
[解]取A为研究对象,画出A受力如图2,建立如图所示坐标系。
据物体平衡条件
∑Fx=mgsinθ-f1-f2=0
(1)
∑Fy=N1-NB-mgcosθ=0
(2)
其中f1=μN1(3)
f2=μNB(4)
由B受力知NB=mgcosθ(5)
联立上面式
(1)
(2)(3)(4)(5)得
[说明]
(1)本题在进行受力分析时,要注意A与斜面C的接触力N1和f1,A与物体B
的接触力N2和f2,一定注意,N1和N2的取值。
(2)本题可以变化为若A沿斜面加速下滑,或沿斜面减速下滑。
μ应满足关系?
则加速时mgsinθ>μN1+μNB
3)摩擦力公式f=μN,有时因物体只受水平作用力,f=μN=μmg,但当物体
受力变化以后,N就不一定等于mg了,如图3的两个情形。
所以切记:
公式一定要写成μN。
对N求解
不要想当然,应据题设进行实际分析而得。
【例8】如图1所示,支杆BC一端用铰链固定于B,另一端连接滑轮C,重物P上系一轻绳经C固定于墙上A点。
若杆BC、滑轮C及绳子的质量、摩擦均不计,将绳端A点沿墙稍向下移,再使之平衡时,绳的拉力和BC杆受到的压力如何变化?
[误解一]滑轮C点受杆BC的支持力F、绳AC的拉力T和绳CP的拉力Q(其中Q大小等于G),如图2所示。
由平衡条件可得
F=G·sinα,T=G·cosα
当绳的A点下移后,α增大,所以F增大,而T减小。
[误解二]滑轮C点受到杆BC支持力F,绳AC的拉力T和绳CP的拉力Q(其中Q的大小等于G),如图3,T与F的合力与Q等值反向。
当A点下移后,T与竖直方向的夹角要增大,滑轮C也要下降,
使BC与墙间的夹角θ增大,但因这两力的合力始终与Q等值反向,所以这两个分力
均要增大。
[正确解答]滑轮C点受到F、T、Q三力作用而平衡,三力组成封闭三角形,如图4,注意到同一条绳上各处张力都相同,则有T=Q=G,
以杆受到压力增大,
而绳子拉力仍不变,大小为G。
[错因分析与解题指导]当不计绳子的质量时,绳子各处张力都相等,两个[误解]
都未认识这个事实。
另外,[误解一]自设T与F垂直作为讨论依据并将它扩展到一般
情况,是毫无道理的。
[误解二]则臆断A点下移时,滑轮C也要下降,BC与墙间的夹
角θ增大,与事实不符。
值得一提的是:
本题BC杆对滑轮C点的作用力是沿着杆子的,而这是有条件的,仅当BC杆重力不计且只受两个力作用而平衡时,上述结论才成立。
1.明确研究对象,对它进行受力分析,画出受力图;
2.根据平衡条件列方程;
3.统一单位,代入数字、解方程、求答案。
由题讲话
由题讲话,促使学生积极思维,获得更加全面的知识,加深对物理现象和规律的理解。
现举一、二例加以说明。
如图1,OA是一根横梁,一端安在轴O上,另一端用钢索AB拉着,在B处安装一小滑轮,可以改变钢索的长度,OB=OA,在A端挂一重物G。
(横梁重不计)试求钢索BA的拉力?
学生不感到困难。
根据∑M=0,解得:
这时教师向学生发问:
若将钢索BA加长(即缓慢下放),钢索的拉力F如何变
化?
学生根据上面的结果自然会想到,θ角将逐渐变小,力F必将逐渐增大。
当
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