1、福建省福州市高二下学期期中考试数学理试题解析版10高二下学期期中考试数学（理）试题注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题1已知复数满足(为虚数单位)，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意，由复数的运算法则得到,根据复数的模的概念得到模长，故 |z|=1故选：B2有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的所有直线”.已知直线平面，直线平面，则直线直线”你认为这个推理（ ） A结论正确 B大前提错误 C小前提错误 D推理形式错误【答案】B【解析】试题分析：一条
2、直线平行于一个平面时，这条直线与平面内的部分直线平行，并是不与所有直线平行，所以大前提错误，故选B.考点：1.演绎推理；2.直线与平面平行的性质.3若定义在上的函数在处的切线方程是，则f(2)+f(2)=（ ）A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】因为函数在处的切线方程是，故得到又因为f(2)= -2 +1=-1，故，故答案选A.4函数的单调递减区间为 ()A. B. (1，) C. (0，1) D. （0，）【答案】C【解析】函数f（x）= x2lnx的定义域为：x|x0函数f（x）=x2lnx的导函数为：f（x）=x，令x0并且x0，解得0x1函数f（x）=x2lnx的单调递减区
3、间为（0，1）故选：C5若， ，则、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 由的取值确定【答案】A【解析】 故0，不等式等价为x1时，f（x）0，此时函数单调递增，原函数图像单调递增，由图象可知此时解集为：，当x1时，f（x）0，此时函数单调递减，找得图像单调增即可，由图象可知，即不等式的解集为故选：B10下面给出了四个类比推理： 为实数，若则；类比推出:为复数，若则. 若数列是等差数列，则数列也是等差数列；类比推出：若数列是各项都为正数的等比数列，则数列也是等比数列. 若则； 类比推出：若为三个向量，则. 若圆的半径为,则圆的面积为；类比推出：若椭圆的长半轴长为,短半轴长为,则椭圆的面积为
4、.上述四个推理中，结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在复数集C中，若z1，z2C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i故错误；在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以类比推出：若数列cn是各项都为正数的等比数列，dn=，则数列dn也是等比数列正确；由若a，b，cR则（ab）c=a（bc）；类比推出：若为三个向量则.，不正确，因为与共线，与共线，当、方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立；若圆的半径为a，则圆的面积为a2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a
5、，短半轴长为b，则椭圆的面积为ab根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确故选：D点睛：逐个验证：数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例；在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等；向量要考虑方向；区分向量的数乘和点积.根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确11设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】0（x0），设函数g（x）= ，
6、g（x）=0，g（x）的单调递减区间为（0，+），g（x）=g（x），g（x）为偶函数，g（x）的单调递减区间为（0，+），f（2）=0，g（2）=0g（2）=0，当x2时，g（x）0，当0x2时，g（x）0，不等式xf（x）0的解集等价于g（x）0，当-2x0或0x2时，g（x）0，不等式xf（x）0的解集.故选：B点睛：题重点考查了函数的基本性质，函数的单调性与导数之间的关系等知识点，属于中档题首先构造函数g（x）=，然后得到该函数的单调区间，再根据0得到g（x）的单调性，由是奇函数得到g（x）是偶函数，最后结合该函数的取值情形，进行求解12已知函数满足，当x 1,3时，.若函数在区间上有
7、三个不同的零点，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当x，1时，1，3，故（x）=（）=ln=lnx；故g（x）=|lnx|，作函数（x）=|lnx|与函数y=ax的图象如下，设直线l与(x)=|lnx|相切，如图，设切点为（x，lnx），则由导数的几何意义可得， = ，可得切点横坐标为x=e；有导数的几何意义得到kl=；故实数a的取值范围是，），故选：A点睛：本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用，先根据分段函数的解析式得到f（x）=|lnx|，将函数的零点个数问题转化成图像交点问题，从而作函数f（x）=|lnx|与函数y=ax的图象，利用导数及数
8、形结合的思想求解第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13复数满足： (为虚数单位) ，则复数的共轭复数=_.【答案】 【解析】首先根据复数的运算法则得到：,根据共轭复数的概念得到 故答案为.14由曲线与直线围成的平面图形的面积为_.【答案】【解析】画出两个曲线的图像，记两图像在第一象限的交点为A（3，3）点，则围成的图像的面积，由积分的定义得到，.15观察下列数表：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 设2017是该表第行的第个数，则的值为_【答案】508【解析】根据数表可知该数表的通项公式，由得.所以2027是第101
9、4个奇数，根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9都是连续奇数，第一行1个数，第二行个数,且第1个数是1第三行个数,且第1个数是第四行个数,且第1个数是前行共有个奇数.当时，所以2027位于第10行，第10行第1个数是.，所以所以；故答案为：.16某同学在研究函数在处的切线问题中，偶然通过观察上图中的图象发现了一个恒成立的不等式：当时，仿照该同学的研究过程，请你研究函数的过原点的切线问题，写出一个类似的恒成立的不等式：_.【答案】 【解析】观察原式子是的切线，且直线恒在曲线的下方；求过原点的切线即可，设切点为，根据切线的几何意义得到故切点为，直线斜率为，故过原点的直线为.结合图像知道直线
10、恒在曲线上方.故得到.点睛：这是考查学生知识的迁移能力，用题目中给的结论，类比出相应的结论.研究出原题目中的结论，是切线和曲线的位置关系问题，通过求切线和结合图像，得到两者的位置关系.类比这种解题思路，解决所给函数的切线问题.评卷人得分三、解答题17已知复数（其中为虚数单位）.（）当实数取何值时，复数是纯虚数； （）若复数在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围。【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）将复数整理得，由纯虚数的定义得，解方程组即可；（）因为复数对应的点在第四象限，所以，解不等式组即可.试题解析： （），由题意得， （）由解得， 考点：1.复数相关的定义；2.复数的几何
11、意义;3.复数的运算.18已知函数。（）若函数在时有极值0，求常数a,b的值；（）若函数在点处的切线平行于x轴，求实数b的值。【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）根据函数的极值点的概念得到，极值点既在切线上又在曲线上，得到参数值.(2)根据导数的几何意义得到，从而得到参数值. （）依题意得解得或当时，这时函数无极值，与已知矛盾，故舍去； 当时，此时，当时，；当时，故 在处有极值，符合题意. （2）， 由已知得 所以.19设函数（1）证明：；（2）若对任意都有，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) x的范围是.【解析】试题分析：（1）根据均值不等式，乘积是定值，可以证得问题.(
12、2)首先要根据根据函数特殊值，再由函数的单调性直接比较函数自变量的大小关系即可.（1）（当且仅当即时取“=”） （2）由（1）可知，对任意，均有，所以 函数在上单调递增从而 ，故当对任意都有时，的取值范围是. 点睛：这道题目是考查不等式与函数最值集合的问题，第一问因为乘积是定值，故就想到了均值不等式求最值.第二问，解不等式，根据抽象函数的单调性，直接去掉f，直接比较括号内的大小关系即可.20已知数列的前项和（1）计算，；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论【答案】（1）依题设可得，；（2）猜想：证明：当时，猜想显然成立假设时，猜想成立，即那么，当时，即又，所以，从而即时，猜想也成立故由和，可知猜想成立【解析】(1)分别令n=1,2,3,4,依次求出，的值.(2)再用数学归纳法证明时要按两个步骤进行，缺一不可21为宣传平潭综合试验区的“国际旅游岛”建设，试验区某旅游部门开发了一种旅游纪念产品，每件产品的成本是12元，销售价是16元，月平均销售件。后该旅游部门通过改进工艺，在保证产品成本不变的基础上，产品的质量和技术含金量提高，于是准备将产品的售价提高。经市场分析，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为。记改进工艺后，旅游部门销售该纪念
