福建省福州市高二下学期期中考试数学理试题解析版10.docx
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福建省福州市高二下学期期中考试数学理试题解析版10
高二下学期期中考试数学(理)试题
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
评卷人
得分
一、选择题
1.已知复数满足(为虚数单位),则等于()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】根据题意,由复数的运算法则得到,根据复数的模的概念得到模长,故
∴|z|=1.
故选:
B.
2.有一段演绎推理是这样的:
“若一条直线平行于一个平面,则此直线平行于这个平面内的所有直线”.已知直线平面,直线平面,则直线直线”.你认为这个推理()
A.结论正确B.大前提错误C.小前提错误D.推理形式错误
【答案】B
【解析】
试题分析:
一条直线平行于一个平面时,这条直线与平面内的部分直线平行,并是不与所有直线平行,所以大前提错误,故选B.
考点:
1.演绎推理;2.直线与平面平行的性质.
3.若定义在上的函数在处的切线方程是,则f
(2)+f’
(2)=()
A.B.C.0D.1
【答案】A
【解析】因为函数在处的切线方程是,故得到又因为f’
(2)=-2+1=-1,故,故答案选A.
4.函数的单调递减区间为( )
A.B.(1,+∞)C.(0,1)D.(0,+∞)
【答案】C
【解析】函数f(x)=x2﹣lnx的定义域为:
{x|x>0}.
函数f(x)=x2﹣lnx的导函数为:
f′(x)=x﹣,
令x﹣<0并且x>0,解得0<x<1.
函数f(x)=x2﹣lnx的单调递减区间为(0,1).
故选:
C.
5.若,,则、的大小关系是()
A.B.C.D.由的取值确定
【答案】A
【解析】
故<0.
故,
故答案为A.
6.下列计算错误的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】故正确.
表示以坐标原点为圆心,1为半径的圆的四分之一的面积,是,故答案正确.
C故答案不正确.
D.故两者相等.
故最终答案选择C.
7.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】有两个不等的变号根,则二次函数在实数集上有两个不等跟根,只要判别式大于零即可;或
故结果为.
故答案为B.
8.利用数学归纳法证明…且)时,第二步由到时不等式左端的变化是( )
A.增加了这一项
B.增加了和两项
C.增加了和两项,同时减少了这一项
D.以上都不对
【答案】C
【解析】当时,左端,那么当时左端,故第二步由到时不等式左端的变化是增加了和两项,同时减少了这一项,故选C.
9.已知函数的图像如右图所示,则不等式的解集为()
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】∵(x﹣1)•f′(x)>0,
∴不等式等价为x>1时,f′(x)>0,此时函数单调递增,原函数图像单调递增,由图象可知此时解集为:
,当x<1时,f′(x)<0,此时函数单调递减,找得图像单调增即可,由图象可知,即不等式的解集为.
故选:
B.
10.下面给出了四个类比推理:
①为实数,若则;类比推出:
为复数,若则.
②若数列是等差数列,,则数列也是等差数列;类比推出:
若数列是各项都为正数的等比数列,,则数列也是等比数列.
③若则;类比推出:
若为三个向量,则.
④若圆的半径为,则圆的面积为;类比推出:
若椭圆的长半轴长为,短半轴长为,则椭圆的面积为.上述四个推理中,结论正确的是()
A.①②B.②③C.①④D.②④
【答案】D
【解析】①在复数集C中,若z1,z2∈C,z12+z22=0,则可能z1=1且z2=i.故错误;
②在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:
由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以类比推出:
若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,dn=,则数列{dn}也是等比数列.正确;
③由若a,b,c∈R则(ab)c=a(bc);类比推出:
若为三个向量则.,不正确,因为与共线,与共线,当、方向不同时,向量的数量积运算结合律不成立;
④若圆的半径为a,则圆的面积为πa2;类比推出:
若椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,则椭圆的面积为πab.根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确.
故选:
D.
点睛:
逐个验证:
①数集有些性质以传递的,但有些性质不能传递,因此,要判断类比的结果是否正确,关键是要在新的数集里进行论证,当然要想证明一个结论是错误的,也可直接举一个反例;②在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:
由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等;
③向量要考虑方向;区分向量的数乘和点积.④根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确.
11.设是定义在上的奇函数,且,当时,有恒成立,则不等式的解集是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵<0(x>0),设函数g(x)=,∴g′(x)=<0,
∴g(x)的单调递减区间为(0,+∞),∵g(﹣x)===g(x),
∴g(x)为偶函数,∴g(x)的单调递减区间为(0,+∞),
∵f(﹣2)=0,∴g(﹣2)=0.g
(2)=0,∴当x<﹣2时,g(x)<0,
当﹣2<x<0时,g(x)>0,当0<x<2时,g(x)<0,当x>2时,g(x)>0,
∵不等式xf(x)>0的解集等价于g(x)>0,∴当-2 不等式xf(x)>0的解集. 故选: B. 点睛: 题重点考查了函数的基本性质,函数的单调性与导数之间的关系等知识点,属于中档题.首先构造函数g(x)=,然后得到该函数的单调区间,再根据<0得到g(x)的单调性,由是奇函数得到g(x)是偶函数,最后结合该函数的取值情形,进行求解. 12.已知函数满足,当x[1,3]时,.若函数在区间上有三个不同的零点,则实数的取值范围是() A.B.C.D. 【答案】A 【解析】当x∈[,1]时,∈[1,3], 故(x)=()=ln=﹣lnx; 故g(x)=|lnx|, 作函数(x)=|lnx|与函数y=ax的图象如下, , 设直线l与(x)=|lnx|相切,如图,设切点为(x,lnx), 则由导数的几何意义可得,=,可得切点横坐标为x=e;有导数的几何意义得到 kl=;故实数a的取值范围是[,), 故选: A. 点睛: 本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用,先根据分段函数的解析式得到f(x)=|lnx|,将函数的零点个数问题转化成图像交点问题,从而作函数f(x)=|lnx|与函数y=ax的图象,利用导数及数形结合的思想求解. 第II卷(非选择题) 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.复数满足: (为虚数单位),则复数的共轭复数=_________. 【答案】 【解析】首先根据复数的运算法则得到: 根据共轭复数的概念得到 故答案为. 14.由曲线与直线围成的平面图形的面积为____________. 【答案】 【解析】画出两个曲线的图像,记两图像在第一象限的交点为A(3,3)点,则围成的图像的面积,由积分的定义得到,. 15.观察下列数表: 1 35 791113 1517192123252729 ………设2017是该表第行的第个数,则的值为______________ 【答案】508 【解析】根据数表可知该数表的通项公式,由得. 所以2027是第1014个奇数, 根据上面数表的数的排列规律,1、3、5、7、9…都是连续奇数, 第一行1个数, 第二行个数,且第1个数是1 第三行个数,且第1个数是 第四行个数,且第1个数是 … 前行共有个奇数. 当时,,所以2027位于第10行, 第10行第1个数是. , 所以 所以; 故答案为: . 16.某同学在研究函数在处的切线问题中, 偶然通过观察上图中的图象发现了一个恒成立的不等式: 当时,,仿照该同学的研究过程,请你研究函数的过原点的切线问题,写出一个类似的恒成立的不等式: ____________________________. 【答案】 【解析】观察原式子是的切线,且直线恒在曲线的下方;求过原点的切线即可,设切点为,根据切线的几何意义得到故切点为,直线斜率为,故过原点的直线为.结合图像知道直线恒在曲线上方.故得到. 点睛: 这是考查学生知识的迁移能力,用题目中给的结论,类比出相应的结论.研究出原题目中的结论,是切线和曲线的位置关系问题,通过求切线和结合图像,得到两者的位置关系.类比这种解题思路,解决所给函数的切线问题. 评卷人 得分 三、解答题 17.已知复数(其中为虚数单位). (Ⅰ)当实数取何值时,复数是纯虚数; (Ⅱ)若复数在复平面上对应的点位于第四象限,求实数的取值范围。 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将复数整理得,由纯虚数的定义得,解方程组即可;(Ⅱ)因为复数对应的点在第四象限,所以,解不等式组即可. 试题解析: (Ⅰ),由题意得, (Ⅱ)由 解得, 考点: 1.复数相关的定义;2.复数的几何意义;3.复数的运算. 18.已知函数。 (Ⅰ)若函数在时有极值0,求常数a,b的值; (Ⅱ)若函数在点处的切线平行于x轴,求实数b的值。 【答案】 (1); (2). 【解析】试题分析: (1)根据函数的极值点的概念得到,极值点既在切线上又在曲线上,得到参数值. (2)根据导数的几何意义得到,从而得到参数值. (Ⅰ)依题意得解得或 当时,, 这时函数无极值,与已知矛盾,故舍去; 当时,, 此时,当时,;当时, 故在处有极值,符合题意. (2),由已知得 所以. 19.设函数 (1)证明: ; (2)若对任意都有,求的取值范围. 【答案】 (1)见解析; (2)x的范围是. 【解析】试题分析: (1)根据均值不等式,乘积是定值,可以证得问题. (2)首先要根据根据函数特殊值,再由函数的单调性直接比较函数自变量的大小关系即可. (1)(当且仅当即时取“=”) (2)由 (1)可知,对任意,均有,所以函数在上单调递增 从而, 故当对任意都有时,的取值范围是. 点睛: 这道题目是考查不等式与函数最值集合的问题,第一问因为乘积是定值,故就想到了均值不等式求最值.第二问,解不等式,根据抽象函数的单调性,直接去掉f,直接比较括号内的大小关系即可. 20.已知数列的前项和. (1)计算,,,; (2)猜想的表达式,并用数学归纳法证明你的结论 【答案】 (1)依题设可得,,,; (2)猜想: . 证明: ①当时,猜想显然成立. ②假设时,猜想成立, 即.那么,当时,,即. 又,所以, 从而.即时,猜想也成立. 故由①和②,可知猜想成立. 【解析】 (1)分别令n=1,2,3,4,依次求出,,,的值. (2)再用数学归纳法证明时要按两个步骤进行,缺一不可 21.为宣传平潭综合试验区的“国际旅游岛”建设,试验区某旅游部门开发了一种旅游纪念产品,每件产品的成本是12元,销售价是16元,月平均销售件。 后该旅游部门通过改进工艺,在保证产品成本不变的基础上,产品的质量和技术含金量提高,于是准备将产品的售价提高。 经市场分析,如果产品的销售价提高的百分率为,那么月平均销售量减少的百分率为。 记改进工艺后,旅游部门销售该纪念
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