1、6若x, y满足 kx y0且z y x的最小值为-4，则k的值为（yA.2 B. 2 C.1D.丄7在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A 2,0,0 , B 2,2,0 , C 0,2,0 , D 1,1,、2，若Si, S2, S3分别表示三棱锥 D ABC在xOy , yOz , zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（B） Si S2且 S3 S|（C） Si S3且 S3 S2（D） S2 S3 且 Si S3（A） Si S2 S38有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种.若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比 B高，则称“ A同学比B同
2、学成绩好”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的问满足条件的最多有多少学生（ ）（a）2（B）3（C）4（D）5二、填空题（共6小题，每小题5 分卜，共30分）9.复数ir rr r10.已知向量a、b满足ca 1，b2,1，且 a b 0R，则y2 211. 设双曲线C经过点2,2，且与 匚 x 1具有相同渐近线，则 C的方程为 ；4渐近线方程为 .12. 若等差数列 an满足a7 a8 a? 0， a? ai 0,则当n 时a“的前n项和最大.13.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有14.设函数 f （
3、x） sin（ x ）， A 0,0,若f （x）在学科网区间,上具有单调性，且6 2，则f （x）的最小正周期为6三解答题（共6题，满分80分）15.（本小题13分）如图，在 ABC中， B -, AB 8，点D在BC边上，且CD 2,cos ADC - 3 7（1 ）求 sin BAD（2）求BD,AC的长16.（本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场215客场213主场3客场3217主场423客场4主场52420客场525（1） 从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6的概率
4、（2） 从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过0.6的概率（3） 记X是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X为李明在这比赛中的命中次数，比较 E（X）与x的大小学科网（只需写出结论）17.（本小题 14 分）如图，正方形 AMDE 的边长为 2， B,C 分别为 AM ,MD 的中点，在五棱锥 P ABCDE中，F为棱PE的中点，平面 ABF与棱PD,PC分别交于点G,H .1）求证： AB/FG ；（2）若PA 底面ABCDE，且AF PE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并 求线段 PH 的长 .18.（本小题13分）
5、已知函数 f（x） xcosx sin x,x 0,（1） 求证：f（x） 0 ；sin x（2） 若a b在（0,）上恒成立，求a的最大值与b的最小值.x 219. （本小题 14 分）y2 2的已知椭圆 C :x2 2y2 4 ， （1）求椭圆 C 的离心率 .（2）设0为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y 2上，且OA OB，求直线AB与圆x2 位置关系，并证明你的结论 .20. （本小题 13 分） 对于数对序列 P（a1,b1）,（a2,b2）,L ,（an,bn） ，记 T1（P） a1 b1，Tk（P） bk maxTk i（P）,ai a? L ak（2 k n），其中max
6、Tk i（P）, si a? L ak表示Tk i（P）和印a? L ak两个数中最大的数，（1） 对于数对序列 P（2,5）, P（4,1），求 T1（P）,T2（P）的值.（2） 记m为a,b,c,d四个数中最小值，对于由两个数对 （a,b）,（c,d）组成的数对序列 P（a,b）,（c,d）和P（a,b）,（c,d），试分别对m a和m d的两种情况比较T2（P）和T2（P）的大小.（3） 在由5个数对（11,8）,（5,2）,（16,11）,（11,11）,（4,6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使Ts（P） 最小，并写出 T5（P） 的值.（只需写出结论） .2014年普通
7、高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2） A （3）B （4）C（5）D（6） D （7）D （8）B（共6小题,每小题5分,共30分）（9） 1（10）5x（11）2x（12） 83（13） 36 （14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共 13 分）解：（I ）在 ADC中，因为COS ADC丄，所以sin ADC 口7 7所以 sin BAD sin（ ADC B）sin ADC cosB cos ADC sinB4 .3 丄 1 丄3 337 2 7 2 14（u）在 ABD中，由正弦定理得BDAB sin
8、BADsin ADB144、3在ABC中，由余弦定理得AC2 2AB BC 2AB BC cosB82 52 2 8 5 - 49所以AC 7（16）解（I ）根据投篮计数据可以算岀李明投篮命中率超过 0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6的概率是0.5.（H）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6 ”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6 ”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，场不超过0.6 ”。则 C=AB
9、U AB，a,b 独立。3 2根据投篮统计数据， P（A） ，P（B） .5 5P（C） P（AB） P（AB）3 3 2 25 5 5 5所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，场不超过0.6的概率为 .（山）EX X.（17）（共 14 分）（I）在正方形中，因为B是am的中点，所以AB / DE。又因为AB 平面PDE所以AB /平面PDE因为AB 平面abf,且平面ABF I平面PDF FG ,所以 AB / FG。（n）因为 PA 底面 ABCDE所以 PA AB , PA AE .如图建立空间直角坐标系 Axyz，则 A（0,0,0） , B（1,
10、0,0） , C（2,1,0） , P（0,0,2） , F （0,1,1）,uuuBC （1,1,0）.设平面ABF的法向量为n （x, y, z），则nAB0,uuir即AFz 0.令z1,则y。所以n （0, 1,1），设直线BC与平面ABF所成角为a,则sinacos（n, BC）n BC ；-uuurn BC因此直线BC与平面ABF所成角为30.设点H的坐标为（u,v,w）.uuir uuu因为点h在棱pc上，所以可设PH PC（0 p p 1）,即（u,v, w 2） （2,1, 2）.。所以 u 2 , v , w 2 2因为n是平面ABF的法向量，所以n AB 0,即（0, 1
11、,1） （2 , ,2 2 ） 0。2 4 2 2解得，所以点聊坐标为打.。所以pH ；（3）2（；）2（ 3）2 2（18）（共 13 分） 解：（I ）由 f（x） xcosx sinx 得f（x） cosx xsi nx cosx xsi nx。因为在区间（0,）上f （x）xsin x p 0，所以f （x）在区间0,上单调递减从而 f （x） f （0） 0（u）当 xf 0时，“ snxf a等价于“ sinx axf 0等价于sinx bxp 0令 g（x） sinx cx，贝U g （x） cosx c ,当c 0时，g（x） f 0对任意x （0,）恒成立。 2当c 1时，因
12、为对任意x （0-），gcosxc p 0，所以g（x）在区间上单调递减从而g（x） p g（0） 0对任意x （0,3）恒成立。当 0pcp1 时，存在唯一的 x0 （0,3）使得 g （x0） cosxo c 0。g（x）与g（x）在区间（0,）上的情况如下：（0,x0）X。（旳）gg（x）/因为g（x）在区间0,x0上是增函数，所以g（x0） f g（0） 0。进一步，“g（x）f 0对任意x （0,）恒成立当且仅当g（） 1 c 0，即0 p c2 2 2综上所述，当且仅当c 时，g（x） f 0对任意x （0,）恒成立；当且仅当c 1时,g（x） p 0对任意x （0,）恒成立。si
13、n x 2所以，若a p p b对任意x （0, 3）恒成立，则a最大值为 ，b的最小值为1.（19）（I ）由题意，椭圆C的标准方程为y- 1。所以a2 4,b22，从而cb2 2。因此 a 2,c 、2故椭圆c的离心率e1（n） 直线ab与圆2相切。证明如下:设点A,B的坐标分别为（X。，y），（t,2），其中 Xo 0。uuu uuu因为OA OB，所以OA OB0，即 tXo 2yo 0，解得 t2yX0当X0 t时，y f，代入椭圆C的方程，得t .2，故直线ab的方程为x、2。圆心O到直线AB的距离d 、.-。此时直线AB与圆x2y 2相切。当x0 t时，直线AB的方程为y 2彰（
14、x t），Xo即（y 2）x （x t）y 2x ty圆心0到直线AB的距离2x0 ty0t）2又 X02 2y02 4，t纽故20）（I） T1（P）T1（P）1 max T1（P）,2 4 1max7,6 =8（u） T2（P） max ab d,a cdT2（Pmax cd b,c ab.当m=a时，）=max c db,c a b=c d b因为 c dbcb d，且 acdcb d，所以 T2（P） T2（P当m=d时，b,cabcab因为 a bd ca b，且 aa b所以 T2（P） ）。所以无论m=a还是m=d T2（P） ）都成立。（山）数对序列 P： （4,6 ）, （11,11 ）, （16,11 ）, （11,8 ）, （5,2 ）的 T5（P）值最小,T1（P）=10， T2（P）=26， T3（P）=42， T4（P）=50， T5（P）=52
