1、子集A中任意一个元素均为B中的元素AB真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示ABABUA意义x|xA或xBx|xA且xBx|xU且xA4.集合关系与运算的常用结论（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个（2）任何集合是其本身的子集，即：AA.（3）子集的传递性：AB，BCAC.（4）ABABAABB.学=科网（5）U（AB）（UA）（UB），U（AB）（UA）（UB）典型例题考点一集合的基本概念【例1】（1）已知集合A0,1,2，则集合B
2、xy|xA，yA中元素的个数是（）A1 B3C5 D9【答案】C【解析】因为A0,1,2，所以Bxy|xA，yA0，1，2,1,2故集合B中有5个元素（2）已知a，bR，若a2，ab,0，则a2 019b2 019为（）A1 B0 C1 D1【解析】由已知得a0，则0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 019b2 019（1）2 01902 0191.（3）若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a（）A. BC0 D0或【答案】D【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax23x20只有一个实根或有两个相等实根.当a0时，x，符
3、合题意；当a0时，由（3）28a0，得a，所以a的取值为0或.（4）已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21，若AB3，则a_.【答案】1【解析】由AB3知，3B.又a211，故只有a3，a2可能等于3.当a33时，a0，此时A0,1，3，B3，2,1，AB1，3故a0舍去 当a23时，a1，此时A1,0，3，B4，3,2，满足AB3，故a1.规律方法 解决集合概念问题的一般思路（1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么本例（1）集合B中的代表元素为实数pq.（2）要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母
4、的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾【变式训练1】（1）已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_【答案】 （2）设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中的元素个数为（）A3B4C5D6【答案】B【解析】因为集合M中的元素xab，aA，bB，所以当b4，a1,2,3时，x5,6,7.当b5，a1,2,3时，x6,7,8.由集合元素的互异性，可知x5,6,7,8.即M5,6,7,8，共有4个元素（3）设a，bR，集合1，ab，a，则ba（）A1 B1C2 D2【解析】 因为1，ab，a，a0，所以ab0，则1，所以a1，b1，所以ba2.（4）已
5、知集合AxR|ax23x20，若A，则实数a的取值范围为_. 【答案】a【解析】由A知方程ax23x20无实根，不合题意，舍去；当a0时，98a0，a0，所以RPy|y1，所以RPQ，故选C.（4）已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为（）A1 B2 C3 D4【解析】 由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4，满足条件的C可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4（5）已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_【答案】（，3【解析】因为BA，若B，则2m1m1，此时m2.1若B，则解得2
6、m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为（，3规律方法 根据两集合的关系求参数的方法（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题【变式训练2】（1）已知集合Ax|x7，Bx|x2m1，若BA，则实数m的取值范围是_（，1【解析】由题意知2m13，m1，m的取值范围是（，1（2）已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若AB，则实数m的取值范围为_【答案】【解析】若AB，则即所以m的取值范围为.（3）已知集合
7、A1,2，Bx|x2mx10，xR，若BA，则实数m的取值范围为_【答案】2,2）【解析】若B，则m240，解得2m2；若1B，则12m10，解得m2，此时B1，符合题意；若2B，则222m10，解得m，此时B，不合题意综上所述，实数m的取值范围为2,2）（4）已知集合Mx|x22x3a，若MN，则实数a的取值范围是（）A（，1 B（，1）C3，） D（3，）【答案】A【解析】Mx|（x3）（x1）0（1,3），又MN，因此有a1，即实数a的取值范围是（，1（5）已知集合Ax|（x1）（x3）0，Bx|mxm若BA，则m的取值范围为_【答案】m1考点三集合的基本运算有关集合运算的考题，在高考中
8、多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生灵活处理问题的能力主要有以下几个命题角度：角度一离散型数集间的交、并、补运算【例3】设全集U0,1,2,3,4,5，集合A2,4，By|ylog （x1），xA，则集合（UA）（UB）（）A0,4,5,2 B0,4,5C2,4,5 D1,3,5【解析】由题意知B0,2，UA0,1,3,5，UB1,3,4,5，（UA）（UB）1,3,5角度二连续型数集间的交、并、补运算【例4】（1）设全集UR，Ax|x（
9、x3）0，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为（）Ax|3x1 Bx|30Cx|1x0 Dx|x3【解析】因为Ax|x（x3）0x|30，UBx|x1，阴影部分为A（UB），所以A（UB）x|1x0，故选C.（2）设集合Ax|（x1）（x2）0，Bx|13，则AB_，AB_.【答案】x|13x|12【解析】因为Ax|（x1）（x2）0x|12，ABx|13，ABx|12（3）已知集合Ay|yx22x，xR，By|yx22x6，xR，则AB_.【答案】y|1y7【解析】 因为yx22x（x1）211，yx22x6（x1）277，Ay|y1，By|y7，故ABy|1y7【题点发散1】本例（3）中
10、，若集合A变为“Ax|yx22x，xR”，其他条件不变，求AB.【答案】ABy|y7【解析】因为A中元素是函数自变量，则AR，而By|y7，则ABy|y7【题点发散2】本例（3）中，若集合A，B中元素都为整数，求AB.【答案】AB1,0,1,2,3,4,5,6,7【解析】由（3）可知ABy|1y7，则当A，B中元素都为整数时，AB1,0,1,2,3,4,5,6,7【题点发散3】本例（3）中，若集合A，B不变，试求（RA）（RB）（RA）（RB）y|y1或y7【解析】Ay|y1，By|y7，RAy|y1，RBy|y7，故（RA）（RB）y|y1或y7【题点发散4】本例（3）中，若集合A，B变为“
11、A（x，y）|yx22x，xR，B（x，y）|yx22x6，xR”，求AB.【答案】AB（3,3），（1,3）【解析】由x22x30，解得x3或x1.于是，或故AB（3,3），（1,3）角度三根据集合的运算结果求参数【例5】（1）设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2（m1）xm0若（UA）B，则m的值是_学科=网【答案】2【解析】（UA）B，BA.又Ax|x23x201，2，1和2是方程x2（m1）xm0的两个根m2.（2）已知集合Ax|x22x80，Bx|x2（2m3）xm（m3）0，mR，若AB2,4，则实数m_.【解析】由题知A2,4，Bm3，m，因为AB2,4，故则m5.角度四新
12、定义集合问题【例6】若xA，则A，就称A是伙伴关系集合，集合M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（）A1 B3 C7 D31【答案】3【解析】具有伙伴关系的元素组是1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：1，规律方法解决集合的基本运算问题，从三点入手（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解（如角度一）（2）集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况（如角度二）（3）根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解（如角度三）【变式训练3】 （1）（2016浙江卷）设集合PxR|1x3，QxR|x24，则P（RQ）
13、（）A.2，3 B.（2，3C.1，2） D.（，2）1，）【解析】易知Qx|x2或x2.RQx|2又Px|1x3，故P（RQ）x|2x3.（2）（2016山东卷）设集合U1，2，3，4，5，6，A1，3，5，B3，4，5，则U（AB）（）A.2，6 B.3，6 C.1，3，4，5 D.1，2，4，6【解析】A1，3，5，B3，4，5，AB1，3，4，5，又全集U1，2，3，4，5，6，因此U（AB）2，6.（3）2018陕西模拟设全集UR，集合A0，BxZ|x29，则图中阴影部分表示的集合为（）A1,2 B0,1,2Cx|0x3 Dx|0x3 （4）对于集合M，N，定义MNx|xM，且xN，
14、MN（MN）（NM），设A，Bx|x0，xR，则AB（） B.C.0，） D.（0，）【答案】C【解析】依题意得ABx|x0，xR，BA，故AB0，）课堂总结1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确2求集合的子集（真子集）个数问题，需要注意以下结论的应用：含有n个元素的集合有2n个子集，有2n1个非空子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集3Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心课后作业12016新课
15、标全国卷设集合Ax|x24x30，则AB（） D【解析】由题意得，Ax|13，B，则AB.故选D. 22016新课标全国卷已知集合A1,2,3，Bx|（x1）（x2）0，xZ，则AB（）A1 B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3【解析】由已知可得Bx|（x1）（x2）0，xZx|10，则ST（）A2,3 B（，23，）C3，） D（0,23，）【解析】集合S（，23，），结合数轴，可得ST（0,23，）42015新课标全国卷已知集合A2，1，0,1,2，Bx|（x1）（x2）A1,0 B0,1 C1,0,1 D0,1,2【解析】由题意知Bx|21，所以AB1,0故选A.52014新课
16、标全国卷已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB（）A2，1 B1,2）C1,1 D1,2）【解析】Ax|x3或x1，Bx|2x2，ABx|2x12，1，故选A.62017广西南宁模拟已知集合Mx|x22x372017北京高考若集合Ax|2x1，Bx|x1或x3，则AB（）Ax|2x1 Bx|2x3Cx|1x1 Dx|1x3【答案】A【解析】Ax|2x1，Bx|x1或x3，ABx|2x1故选A.82017全国卷已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则（）AABx|x1 DAB【解析】Bx|3x1，Bx|x0又Ax|x1，ABx|x0，ABx|x1故选A.92018重庆模拟已知集合AxN|x
17、16，Bx|x25x40，则A（RB）的真子集的个数为（）A1 B3 C4 D7【解析】因为AxN|x160,1,2，Bx|x25x40x|14，故RBx|x1或x4，故A（RB）0,1，故A（RB）的真子集的个数为3.故选B.102017全国卷设集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，则B（）A1，3 B1,0 C1,3 D1,5【解析】AB1，1B.14m0，即m3.Bx|x24x301,3故选C.112017山东高考设函数y的定义域为A，函数yln （1x）的定义域为B，则AB（）A（1,2） B（1,2 C（2,1） D2,1）【解析】4x20，2x2，A2,21x0，x1，B（，1），AB2,1）故选D.122017全国卷已知集合A（x，y）|x2y21，B（x，y）|yx，则AB中元素的个数为（）A3 B2 C1 D013设集合Ax|1x2，Bx|x1.142018郑州模拟已知集合AxR|x2|3，集合B，且AB（1，n），则m_，n_.【答案】11【解析】AxR|x2|3xR|51，由AB（1，n），可知m1，则Bx|m2，画出数轴，可得m1，n1.152018湖南模拟设常数aR，集合Ax|（x1）（xa）0，Bx|xa1，若ABR，则a的取值范围为（）A（，2） B（，2C（2，） D2，）【答案】B
