届二轮复习专题11集合及其运算学案全国通用Word格式文档下载.docx
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子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
A
B
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
(2)任何集合是其本身的子集,即:
A⊆A.
(3)子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
(4)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.学=科网
(5)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
典型例题
考点一 集合的基本概念
【例1】
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3
C.5D.9
【答案】C
【解析】因为A={0,1,2},所以B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合B中有5个元素.
(2)已知a,b∈R,若
={a2,a+b,0},则a2019+b2019为( )
A.1B.0
C.-1D.±
1
【解析】由已知得a≠0,则
=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2019+b2019=(-1)2019+02019=-1.
(3)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A.
B.
C.0D.0或
【答案】D
【解析】若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=
,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=
,
所以a的取值为0或
.
(4)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若A∩B={-3},则a=________.
【答案】-1
【解析】由A∩B={-3}知,-3∈B.又a2+1≥1,故只有a-3,a-2可能等于-3.
①当a-3=-3时,a=0,此时A={0,1,-3},B={-3,-2,1},A∩B={1,-3}.
故a=0舍去.
②当a-2=-3时,a=-1,此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2},
满足A∩B={-3},故a=-1.
规律方法解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.本例
(1)集合B中的代表元素为实数p-q.
(2)要深刻理解元素的互异性,在解决集合中含有字母的问题时,一定要返回代入验证,防止与集合中元素的互异性相矛盾.
【变式训练1】
(1)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
【答案】-
(2)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4,a=1,2,3时,x=5,6,7.
当b=5,a=1,2,3时,x=6,7,8.
由集合元素的互异性,可知x=5,6,7,8.
即M={5,6,7,8},共有4个元素.
(3)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=( )
A.1B.-1
C.2D.-2
【解析】因为{1,a+b,a}=
,a≠0,
所以a+b=0,则
=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
(4)已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
【答案】a<
-
【解析】由A=∅知方程ax2+3x-2=0无实根,
不合题意,舍去;
当a≠0时,Δ=9+8a<
0,∴a<
考点二 集合间的基本关系
【例2】
(1)[2015·
江苏卷]已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________.
【答案】5
【解析】因为A∪B={1,2,3,4,5},所以A∪B中元素的个数为5.
(2)集合A={1,4,7,10,13,16,19,21},则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集.
【答案】28 28-1 28-1 28-2
【解析】因为集合A中有8个元素,所以集合A有28个子集,28-1个真子集,28-1个非空子集,28-2个非空真子集.
(3)设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( )
A.P⊆QB.Q⊆P
C.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP
【解析】因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>
0},所以∁RP={y|y>
1},所以∁RP⊆Q,故选C.
(4)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
【解析】由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},
∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
(5)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
【答案】
(-∞,3]
【解析】因为B⊆A,
∴①若B=∅,则2m-1<
m+1,此时m<
2.
1若B≠∅,则
解得2≤m≤3.
由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3].
规律方法根据两集合的关系求参数的方法
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
【变式训练2】
(1)已知集合A={x|x<
-3或x>
7},B={x|x<
2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
(-∞,-1]
【解析】由题意知2m-1≤-3,m≤-1,∴m的取值范围是(-∞,-1].
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A⊆B,则实数m的取值范围为________.
【答案】∅
【解析】若A⊆B,则
即
所以m的取值范围为∅.
(3)已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
【答案】[-2,2)
【解析】①若B=∅,则Δ=m2-4<0,
解得-2<m<2;
②若1∈B,则12+m+1=0,
解得m=-2,此时B={1},符合题意;
③若2∈B,则22+2m+1=0,
解得m=-
,此时B=
,不合题意.
综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).
(4)已知集合M={x|x2-2x-3<
0},N={x|x>
a},若M⊆N,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.(-∞,-1)
C.[3,+∞)D.(3,+∞)
【答案】A
【解析】M={x|(x-3)(x+1)<
0}=(-1,3),又M⊆N,因此有a≤-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1].
(5)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m的取值范围为________.
【答案】m≤1
考点三 集合的基本运算
有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为低档题,集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;
有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生灵活处理问题的能力.
主要有以下几个命题角度:
角度一
离散型数集间的交、并、补运算
【例3】设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={2,4},B={y|y=log
(x-1),x∈A},则集合(∁UA)∩(∁UB)=( )
A.{0,4,5,2}B.{0,4,5}
C.{2,4,5}D.{1,3,5}
【解析】 由题意知B={0,2},∴∁UA={0,1,3,5},∁UB={1,3,4,5},∴(∁UA)∩(∁UB)={1,3,5}.
角度二
连续型数集间的交、并、补运算
【例4】
(1)设全集U=R,A={x|x(x+3)<
0},B={x|x<
-1},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|-3<
x<
-1}B.{x|-3<
0}
C.{x|-1≤x<0}D.{x|x<
-3}
【解析】 因为A={x|x(x+3)<
0}={x|-3<
0},∁UB={x|x≥-1},阴影部分为A∩(∁UB),所以A∩(∁UB)={x|-1≤x<
0},故选C.
(2)设集合A={x|(x+1)(x-2)<
0},B={x|1<
3},则A∪B=________,A∩B=________.
【答案】{x|-1<
3} {x|1<
2}
【解析】 因为A={x|(x+1)(x-2)<
0}={x|-1<
2},
∴A∪B={x|-1<
3},A∩B={x|1<
2}.
(3)已知集合A={y|y=x2-2x,x∈R},B={y|y=-x2+2x+6,x∈R},则A∩B=__________.
【答案】{y|-1≤y≤7}
【解析】因为y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7,
∴A={y|y≥-1},B={y|y≤7},故A∩B={y|-1≤y≤7}.
【题点发散1】 本例(3)中,若集合A变为“A={x|y=x2-2x,x∈R}”,其他条件不变,求A∩B.
【答案】A∩B={y|y≤7}
【解析】因为A中元素是函数自变量,则A=R,
而B={y|y≤7},则A∩B={y|y≤7}.
【题点发散2】 本例(3)中,若集合A,B中元素都为整数,求A∩B.
【答案】A∩B={-1,0,1,2,3,4,5,6,7}
【解析】由(3)可知A∩B={y|-1≤y≤7},
则当A,B中元素都为整数时,A∩B={-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.
【题点发散3】 本例(3)中,若集合A,B不变,试求(∁RA)∪(∁RB).
(∁RA)∪(∁RB)={y|y<-1或y>7}
【解析】∵A={y|y≥-1},B={y|y≤7},
∴∁RA={y|y<-1},∁RB={y|y>7},
故(∁RA)∪(∁RB)={y|y<-1或y>7}.
【题点发散4】 本例(3)中,若集合A,B变为“A={(x,y)|y=x2-2x,x∈R},B={(x,y)|y=-x2+2x+6,x∈R}”,求A∩B.
【答案】A∩B={(3,3),(-1,3)}
【解析】由
⇒x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.
于是,
或
故A∩B={(3,3),(-1,3)}.
角度三
根据集合的运算结果求参数
【例5】
(1)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________.学科=网
【答案】2
【解析】∵(∁UA)∩B=∅,∴B⊆A.又A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2},
∴-1和-2是方程x2+(m+1)x+m=0的两个根.∴m=2.
(2)已知集合A={x|x2-2x-8≤0},B={x|x2-(2m-3)x+m(m-3)≤0,m∈R},若A∩B=[2,4],则实数m=________.
【解析】由题知A=[-2,4],B=[m-3,m],
因为A∩B=[2,4],
故则m=5.
角度四
新定义集合问题
【例6】若x∈A,则
∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1B.3
C.7D.31
【答案】3
【解析】具有伙伴关系的元素组是-1;
,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:
{-1},
规律方法 解决集合的基本运算问题,从三点入手
(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn图求解.(如角度一)
(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但是要注意端点值能否取到等号的情况.(如角度二)
(3)根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.(如角度三)
【变式训练3】
(1)(2016·
浙江卷)设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( )
A.[2,3]B.(-2,3]
C.[1,2)D.(-∞,-2)∪[1,+∞)
【解析】易知Q={x|x≥2或x≤-2}.∴∁RQ={x|-2<
又P={x|1≤x≤3},故P∪(∁RQ)={x|-2<
x≤3}.
(2)(2016·
山东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( )
A.{2,6}B.{3,6}
C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}
【解析】∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5},
又全集U={1,2,3,4,5,6},因此∁U(A∪B)={2,6}.
(3)[2018·
陕西模拟]设全集U=R,集合A=
≥0},B={x∈Z|x2≤9},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{1,2}B.{0,1,2}
C.{x|0≤x<
3}D.{x|0≤x≤3}
(4)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A=
,B={x|x<
0,x∈R},则A⊕B=( )
B.
C.
∪[0,+∞)D.
∪(0,+∞)
【答案】 C
【解析】 依题意得A-B={x|x≥0,x∈R},B-A=
,故A⊕B=
∪[0,+∞).
课堂总结
1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;
另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.
2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意以下结论的应用:
含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
3.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
课后作业
1.[2016·
新课标全国卷Ⅰ]设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B=( )
D.
【解析】由题意得,A={x|1<
3},B=
,则A∩B=
.故选D.
2.[2016·
新课标全国卷Ⅱ]已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<
0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1}B.{1,2}
C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}
【解析】由已知可得B={x|(x+1)(x-2)<
0,x∈Z}={x|-1<
2,x∈Z}={0,1},∴A∪B={0,1,2,3},故选C.
3.[2016·
新课标全国卷Ⅲ]设集合S={x|(x-2)·
(x-3)≥0},T={x|x>
0},则S∩T=( )
A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)
【解析】集合S=(-∞,2]∪[3,+∞),结合数轴,可得S∩T=(0,2]∪[3,+∞).
4.[2015·
新课标全国卷Ⅱ]已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<
A.{-1,0}B.{0,1}
C.{-1,0,1}D.{0,1,2}
【解析】由题意知B={x|-2<
1},所以A∩B={-1,0}.故选A.
5.[2014·
新课标全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<
2},则A∩B=( )
A.[-2,-1]B.[-1,2)
C.[-1,1]D.[1,2)
【解析】∵A={x|x≥3或x≤-1},B={x|-2≤x<
2},∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1],故选A.
6.[2017·
广西南宁模拟]已知集合M={x|x2-2x-3<
7.[2017·
北京高考]若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=( )
A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}
【答案】 A
【解析】∵A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},∴A∩B={x|-2<x<-1}.故选A.
8.[2017·
全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x<
1},B={x|3x<
1},则( )
A.A∩B={x|x<
0}B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>
1}D.A∩B=∅
【解析】 ∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.
又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.
9.[2018·
重庆模拟]已知集合A={x∈N|πx<
16},B={x|x2-5x+4<
0},则A∩(∁RB)的真子集的个数为( )
A.1B.3
C.4D.7
【解析】 因为A={x∈N|πx<
16}={0,1,2},B={x|x2-5x+4<
0}={x|1<
4},故∁RB={x|x≤1或x≥4},故A∩(∁RB)={0,1},故A∩(∁RB)的真子集的个数为3.故选B.
10.[2017·
全国卷Ⅱ]设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,-3}B.{1,0}
C.{1,3}D.{1,5}
【解析】 ∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
11.[2017·
山东高考]设函数y=
的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( )
A.(1,2)B.(1,2]
C.(-2,1)D.[-2,1)
【解析】 ∵4-x2≥0,∴-2≤x≤2,∴A=[-2,2].
∵1-x>0,∴x<1,∴B=(-∞,1),∴A∩B=[-2,1).故选D.
12.[2017·
全国卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
A.3B.2
C.1D.0
13.设集合A={x|-1≤x<
2},B={x|x<
a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是________.
(-1,+∞)
【解析】因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>
-1.
14.[2018·
郑州模拟]已知集合A={x∈R||x+2|<
3},集合B=
,且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
【答案】 -1 1
【解析】A={x∈R||x+2|<
3}={x∈R|-5<
1},由A∩B=(-1,n),可知m<
1,
则B={x|m<
2},画出数轴,可得m=-1,n=1.
15.[2018·
湖南模拟]设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )
A.(-∞,2)B.(-∞,2]
C.(2,+∞)D.[2,+∞)
【答案】 B
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