1、初中数学翻折变换专题12 翻折变换（折叠问题）一选择题（共12小题）1如图，矩形纸片ABCD，长AD9m，宽AB3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A7cm B6cm C5.5cm D5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：由折叠的性质得：BEDE，设DE长为xcm，则AE（9x）cm，BExcm，四边形ABCD是矩形，A90，根据勾股定理得：AE2+AB2BE2，即（9x）2+32x2，解得：x5，即DE长为5cm，故选：D【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计
2、算是解决问题的关键2如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点将ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF2：3若BE16，则点F到BC边的距离是（）A8 B12 C D【分析】作EMAB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BMBE8，MEBM8，由折叠的性质得出FECE，设FECEx，则ABBC16+x，得出BF（16+x），求出FMBFBM（16+x）8+x，在RtEFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF21作FNBC于N，则BFN30，由直角三角形的性质得出BNBF，得出FNBN即可【解答】解：作EMAB于M，如图所示：ABC是等边三
3、角形，BCAB，B60，EMAB，BEM30，BMBE8，MEBM8，由折叠的性质得：FECE，设FECEx，则ABBC16+x，AF：BF2：3，BF（16+x），FMBFBM（16+x）8+x，在RtEFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2x2，解得：x19，或x16（舍去），BF（16+19）21，作FNBC于N，则BFN30，BNBF，FNBN，即点F到BC边的距离是，故选：D【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键3如图，在等腰RtABC中C90，ACBC2点D和点E分
4、别是BC边和AB边上两点，连接DE将BDE沿DE折叠，得到BDE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF（）A B C D【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ABAC4，AB45，过B作BHAB与H，得到AHBHAB，求得AHBH1，根据勾股定理得到BB，由折叠的性质得到BFBB，DEBB，根据相似三角形即可得到结论【解答】解：在等腰RtABC中C90，ACBC2，ABAC4，AB45，过B作BHAB与H，AHB是等腰直角三角形，AHBHAB，ABAC，AHBH1，BH3，BB，将BDE沿DE折叠，得到BDE，BFBB，DEBB，BHBBFE90，EBFBBH，BFEBHB，EF
5、，故答案为：故选：C【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键4如图，在ABC中，ABAC2，BAC30，将ABC沿AC翻折得到ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则ABE的面积为（）A B C3 D【分析】由折叠的性质可知CAD30CAB，ADAB2由等腰三角形的性质得出BCAACDADC75求出ECD30由三角形的外角性质得出E753045，过点C作CHAE于H，过B作BMAE于M，由直角三角形的性质得出CHAC1，AHCH得出HDADAH2求出EHCH1得出DEEHHD1，AEAD+DE1+，由直角
6、三角形的性质得出AMAB1，BMAM由三角形面积公式即可得出答案【解答】解：由折叠的性质可知：CAD30CAB，ADAB2BCAACDADC75ECD18027530E753045过点C作CHAE于H，过B作BMAE于M，如图所示：在RtACH中，CHAC1，AHCHHDADAH2在RtCHE中，E45，CEH是等腰直角三角形，EHCH1DEEHHD1（2）1，AEAD+DE1+，BMAE，BAEBAC+CAD60，ABM30，AMAB1，BMAMABE的面积AEBM（1+）；故选：B【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三
7、角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键5如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将ABF沿AF折叠为AEF，点E落在边CD上，若AB5，BC4，则BF的长为（）A B C D【分析】根据矩形的性质得到CDAB5，ADBC4，BDC90，根据折叠的性质得到AEAB5，EFBF，根据勾股定理得到DE3，求得CE2，设BFEFx，则CF4x，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是矩形，CDAB5，ADBC4，BDC90，将ABF沿AF折叠为AEF，AEAB5，EFBF，DE3，CE2，设BFEFx，则CF4x，EF2CF2+CE2，x2（4x）2+22，解
8、得：x，故选：B【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键6如图，在矩形纸片ABCD中，CB12，CD5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则MNB的面积为（）A B C D26【分析】由勾股定理得出BD13，由折叠的性质可得NDAD12，MNDA90，NMAM，得出EAB90，BNBDND1，设AMNMx，则BMABAM5x，在RtBMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NMAM，即可得出答案【解答】解：四边形ABCD是矩形，A90，ADBC12，ABCD5，BD13，由折叠的性质可得：NDAD12，MNDA90
9、，NMAM，EAB90，BNBDND13121，设AMNMx，则BMABAM5x，在RtBMN中，NM2+BN2BM2，x2+12（5x）2，解得：x，NMAM，MNB的面积BNNM1；故选：A【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键7如图，在ABC中ACB90、CAB30，ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sinACH的是（）A B C D【分析】在RtABC中，设BCa，则AB2BC2a，ADAB2a设AHx，则HCHDADAH2ax在RtABC中，由勾股定理得AC23a2，在
10、RtACH中，由勾股定理得AH2+AC2HC2，即x2+3a2（2ax）2解得xa，即AHa求得HC的值后，利用sinACHAH：HC求值【解答】解：ABD是等边三角形，BAD60，ABAD，CAB30，CAH90在RtABC中，CAB30，设BCa，则AB2BC2aADAB2a设AHx，则HCHDADAH2ax，在RtABC中，AC2（2a）2a23a2，在RtACH中，AH2+AC2HC2，即x2+3a2（2ax）2，解得xa，即AHaHC2ax2aaasinACH，故选：C【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键8如图，在
11、矩形ABCD中，AB1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，使点B落在B处，线段EB交AD于点F，将ECD沿DE翻折，使点C的对应点C落在线段EB上，若点C恰好为EB的中点，则线段EF的长为（）A B C D【分析】由折叠的性质可得ABABCDCD1，BB90CDCE，BEBE，CECE，由中点性质可得BE2CE，可得BCAD3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证ABFDCF，可得CFBF，即可求解【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABCD1，ADBC，BC90由折叠的性质可得：ABABCDCD1，BB90CDCE，BEBE，CECE，点C恰好为EB的中点，BE
12、2CE，BE2CE，BCAD3EC，AE2AB2+BE2，DE2DC2+CE2，AD2AE2+DE2，1+4CE2+1+CE29CE2，解得：CE，BEBE，BCAD，CE，BC，在ABF和DCF中，ABFDCF（AAS），CFBF，EFCE+CF，故选：D【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE的长是本题的关键9如图，ABCD中，AB6，B75，将ABC沿AC边折叠得到ABC，BC交AD于E，BAE45，则点A到BC的距离为（）A2 B3 C D【分析】过B作BHAD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AHBHAB，根据折叠的性质得到ABAB6，ABEB75，求得AEB60，解直角三角形得到HEBH，BE2，根据平行线的性质得到DACACB，推出AECE，根据全等三角形的性质得到DEBE2，求得ADAE+DE3+3，过A作AGBC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：过B作BHAD于H，BAE45，ABH是等腰直角三角形，AHBHAB，将ABC沿AC边折叠得
