初中数学翻折变换专题.docx
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初中数学翻折变换专题.docx
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初中数学翻折变换专题
12翻折变换(折叠问题)
一.选择题(共12小题)
1.如图,矩形纸片ABCD,长AD=9m,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长为( )
A.7cmB.6cmC.5.5cmD.5cm
【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程,解方程即可.
【解答】解:
由折叠的性质得:
BE=DE,
设DE长为xcm,则AE=(9﹣x)cm,BE=xcm,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
根据勾股定理得:
AE2+AB2=BE2,
即(9﹣x)2+32=x2,
解得:
x=5,
即DE长为5cm,
故选:
D.
【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识;熟练掌握矩形和翻折变换的性质,运用勾股定理进行计算是解决问题的关键.
2.如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别是边AC、BC上两点.将△ABC沿DE翻折,点C正好落在线段AB上的点F处,使得AF:
BF=2:
3.若BE=16,则点F到BC边的距离是( )
A.8B.12C.D.
【分析】作EM⊥AB于M,由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM=BE=8,ME=BM=8,由折叠的性质得出FE=CE,设FE=CE=x,则AB=BC=16+x,得出BF=(16+x),求出FM=BF﹣BM=(16+x)﹣8=+x,在Rt△EFM中,由勾股定理得出方程,解方程求出BF=21.作FN⊥BC于N,则∠BFN=30°,由直角三角形的性质得出BN=BF=,得出FN=BN=即可.
【解答】解:
作EM⊥AB于M,如图所示:
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AB,∠B=60°,
∵EM⊥AB,
∴∠BEM=30°,
∴BM=BE=8,ME=BM=8,
由折叠的性质得:
FE=CE,设FE=CE=x,
则AB=BC=16+x,
∵AF:
BF=2:
3,
∴BF=(16+x),
∴FM=BF﹣BM=(16+x)﹣8=+x,
在Rt△EFM中,由勾股定理得:
(8)2+(+x)2=x2,
解得:
x=19,或x=﹣16(舍去),
∴BF=(16+19)=21,
作FN⊥BC于N,
则∠BFN=30°,
∴BN=BF=,
∴FN=BN=,
即点F到BC边的距离是,
故选:
D.
【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
3.如图,在等腰Rt△ABC中∠C=90°,AC=BC=2.点D和点E分别是BC边和AB边上两点,连接DE.将△BDE沿DE折叠,得到△B′DE,点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F,则EF=( )
A.B.C.D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4,∠A=∠B=45°,过B′作B′H⊥AB与H,得到AH=B′H=AB′,求得AH=B′H=1,根据勾股定理得到BB′===,由折叠的性质得到BF=BB′=,DE⊥BB′,根据相似三角形即可得到结论.
【解答】解:
∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°,AC=BC=2,
∴AB=AC=4,∠A=∠B=45°,
过B′作B′H⊥AB与H,
∴△AHB′是等腰直角三角形,
∴AH=B′H=AB′,
∵AB′=AC=,
∴AH=B′H=1,
∴BH=3,
∴BB′===,
∵将△BDE沿DE折叠,得到△B′DE,
∴BF=BB′=,DE⊥BB′,
∴∠BHB′=∠BFE=90°,
∵∠EBF=∠B′BH,
∴△BFE∽△BHB′,
∴=,
∴=,
∴EF=,
故答案为:
.
故选:
C.
【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
4.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=30°,将△ABC沿AC翻折得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则△ABE的面积为( )
A.B.C.3D.
【分析】由折叠的性质可知∠CAD=30°=∠CAB,AD=AB=2.由等腰三角形的性质得出∠BCA=∠ACD=∠ADC=75°.求出∠ECD=30°.由三角形的外角性质得出∠E=75°﹣30°=45°,过点C作CH⊥AE于H,过B作BM⊥AE于M,由直角三角形的性质得出CH=AC=1,AH=CH=.得出HD=AD﹣AH=2﹣.求出EH=CH=1.得出DE=EH﹣HD=﹣1,AE=AD+DE=1+,由直角三角形的性质得出AM=AB=1,BM=AM=.由三角形面积公式即可得出答案.
【解答】解:
由折叠的性质可知:
∠CAD=30°=∠CAB,AD=AB=2.
∴∠BCA=∠ACD=∠ADC=75°.
∴∠ECD=180°﹣2×75°=30°.
∴∠E=75°﹣30°=45°.
过点C作CH⊥AE于H,过B作BM⊥AE于M,如图所示:
在Rt△ACH中,CH=AC=1,AH=CH=.
∴HD=AD﹣AH=2﹣.
在Rt△CHE中,
∵∠E=45°,
∴△CEH是等腰直角三角形,
∴EH=CH=1.
∴DE=EH﹣HD=1﹣(2﹣)=﹣1,
∴AE=AD+DE=1+,
∵BM⊥AE,∠BAE=∠BAC+∠CAD=60°,
∴∠ABM=30°,
∴AM=AB=1,BM=AM=.
∴△ABE的面积=AE×BM=×(1+)×=;
故选:
B.
【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识;熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键.
5.如图,点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF,点E落在边CD上,若AB=5,BC=4,则BF的长为( )
A.B.C.D.
【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=5,AD=BC=4,∠B=∠D=∠C=90°,根据折叠的性质得到AE=AB=5,EF=BF,根据勾股定理得到DE===3,求得CE=2,设BF=EF=x,则CF=4﹣x,根据勾股定理列方程即可得到结论.
【解答】解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=5,AD=BC=4,∠B=∠D=∠C=90°,
∵将△ABF沿AF折叠为△AEF,
∴AE=AB=5,EF=BF,
∴DE===3,
∴CE=2,
设BF=EF=x,则CF=4﹣x,
∵EF2=CF2+CE2,
∴x2=(4﹣x)2+22,
解得:
x=,
故选:
B.
【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),矩形的矩形,勾股定理,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
6.如图,在矩形纸片ABCD中,CB=12,CD=5,折叠纸片使AD与对角线BD重合,与点A重合的点为N,折痕为DM,则△MNB的面积为( )
A.B.C.D.26
【分析】由勾股定理得出BD==13,由折叠的性质可得ND=AD=12,∠MND=∠A=90°,NM=AM,得出∠EA′B=90°,BN=BD﹣ND=1,设AM=NM=x,则BM=AB﹣AM=5﹣x,在Rt△BMN中,由勾股定理得出方程,解方程得出NM=AM=,即可得出答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,AD=BC=12,AB=CD=5,
∴BD===13,
由折叠的性质可得:
ND=AD=12,∠MND=∠A=90°,NM=AM,
∴∠EA′B=90°,BN=BD﹣ND=13﹣12=1,
设AM=NM=x,则BM=AB﹣AM=5﹣x,
在Rt△BMN中,NM2+BN2=BM2,
∴x2+12=(5﹣x)2,
解得:
x=,
∴NM=AM=,
∴△MNB的面积=BN×NM=×1×=;
故选:
A.
【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质.熟练掌握折叠的性质和矩形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
7.如图,在△ABC中∠ACB=90°、∠CAB=30°,△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠,使点D与点C重合,HK为折痕,则sin∠ACH的是( )
A.B.C.D.
【分析】在Rt△ABC中,设BC=a,则AB=2BC=2a,AD=AB=2a.设AH=x,则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=3a2,在Rt△ACH中,由勾股定理得AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a﹣x)2.解得x=a,即AH=a.求得HC的值后,利用sin∠ACH=AH:
HC求值.
【解答】解:
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°,AB=AD,
∵∠CAB=30°,
∴∠CAH=90°.
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,
设BC=a,则AB=2BC=2a.
∴AD=AB=2a.
设AH=x,则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x,
在Rt△ABC中,AC2=(2a)2﹣a2=3a2,
在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a﹣x)2,
解得x=a,即AH=a.
∴HC=2a﹣x=2a﹣a=a.
∴sin∠ACH==,
故选:
C.
【点评】本题考查了折叠的性质,锐角三角函数值,勾股定理的应用,熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键.
8.如图,在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,连接AE、ED,将△ABE沿AE翻折,使点B落在B'处,线段EB'交AD于点F,将△ECD沿DE翻折,使点C的对应点C'落在线段EB'上,若点C'恰好为EB'的中点,则线段EF的长为( )
A.B.C.D.
【分析】由折叠的性质可得AB=AB'=CD=C'D=1,∠B=∠B'=90°=∠C=∠DC'E,BE=B'E,CE=C'E,由中点性质可得B'E=2C'E,可得BC=AD=3EC,由勾股定理可求可求CE的长,由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F,可得C'F=B'F=,即可求解.
【解答】解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=1,AD=BC,∠B=∠C=90°
由折叠的性质可得:
AB=AB'=CD=C'D=1,∠B=∠B'=90°=∠C=∠DC'E,BE=B'E,CE=C'E,
∵点C'恰好为EB'的中点,
∴B'E=2C'E,
∴BE=2CE,
∴BC=AD=3EC,
∵AE2=AB2+BE2,DE2=DC2+CE2,AD2=AE2+DE2,
∴1+4CE2+1+CE2=9CE2,
解得:
CE=,
∴B'E=BE=,BC=AD=,C'E=,
∴B'C'=,
在△AB'F和△DC'F中,
∴△AB'F≌△DC'F(AAS),
∴C'F=B'F=,
∴EF=C'E+C'F=,
故选:
D.
【点评】本题考查了翻折变换,矩形的性质,全等三角形的性质,勾股定理,求出CE的长是本题的关键.
9.如图,▱ABCD中,AB=6,∠B=75°,将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C,B′C交AD于E,∠B′AE=45°,则点A到BC的距离为( )
A.2B.3C.D.
【分析】过B′作B′H⊥AD于H,根据等腰直角三角形的性质得到AH=B′H=AB′,根据折叠的性质得到AB′=AB=6,∠AB′E=∠B=75°,求得∠AEB′=60°,解直角三角形得到HE=B′H=,B′E=2,根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB,推出AE=CE,根据全等三角形的性质得到DE=B′E=2,求得AD=AE+DE=3+3,过A作AG⊥BC于G,根据直角三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:
过B′作B′H⊥AD于H,
∵∠B′AE=45°,
∴△AB′H是等腰直角三角形,
∴AH=B′H=AB′,
∵将△ABC沿AC边折叠得
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