1、 衡阳个性化教育倡导者第十三讲 定积分及其简单应用教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 2、了解微积分基本定理的含义.一、 知识回顾 课前热身知识点1、定积分(1)定积分的相关概念 在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(2)定积分的几何意义当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及
2、直线xa，xb之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3)定积分的基本性质kf(x)dxkf(x)dx. f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx.(4)定积分f(x)g(x)dx(f(x)g(x)的几何意义是什么？提示：由直线xa，xb和曲线yf(x)，yg(x)所围成的曲边梯形的面积知识点2、微积分基本定理 如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公
3、式为了方便，常把F(b)F(a)记成F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)基础练习1.dx等于()A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 2解析：选Ddxln xln 4ln 2ln 2.2一质点运动时速度和时间的关系为V(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为()A. B. C. D.解析：选AS(t2t2)dt.3直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积为_解析：x2dxx3. 答案：4dx_.解析：由定积分的几何意义可知，dx表示单位圆x2y21在第一象限内部分的面积，所以dx. 答案：二、 例题辨析 推陈出新例1、利用微积分基本定理
4、求下列定积分：(1)(x22x1)dx； (2)(sin xcos x)dx； (3)x(x1)dx；(4)dx； (5) sin2dx.解答(1)(x22x1)dxx2dx2xdx1dxx2x.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)sin x2.(3)x(x1)dx(x2x)dxx2dxxdxx3x2.(4)dxe2xdxdxe2xln xe4e2ln 2ln 1e4e2ln 2.(5) sin2 dxdxdxcos xdxxsin x.变式练习1求下列定积分：(1)|x1|dx；(2) dx.解：(1)|x1|故|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.
5、(2) dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x) 1(1)22.例2、dx_.解答dx表示y与x0，x1及y0所围成的图形的面积由y得(x1)2y21(y0)，又0x1，y与x0，x1及y0所围成的图形为个圆，其面积为.dx.在本例中，改变积分上限，求dx的值解：dx表示圆(x1)2y21在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以dx. 变式练习2(2013福建模拟)已知函数f(x)(cos tsin t)dt(x0)，则f(x)的最大值为_解析：因为f(x)sindtcoscoscos sin
6、 xcos x1sin11，当且仅当sin1时，等号成立答案：1三、 归纳总结 方法在握归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小归纳2、求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值归纳3、利
7、用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差(4)计算定积分，写出答案四、 拓展延伸 能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、 (2012山东高考)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4 C. D6解答 由y及yx2可得，x4，即两曲线交于点(4,2)由定积分的几何意义可知，由y及yx2及y轴所围成的封闭图形面积为(x2)dx. 答案C若将“yx2”改为“yx2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？解：如图所示，由y及yx2可得x1.由定积分的几何意义可知
8、，由y，yx2及x轴所围成的封闭图形的面积为f(x)dxdx(x2)dxx. 变式练习3(2013郑州模拟)如图，曲线yx2和直线x0，x1，y所围成的图形(阴影部分)的面积为()A. B. C. D.解析：选D由x或x(舍)，所以阴影部分面积Sdxdx.定积分在物理中的应用例2、列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.设t s后的速度为v，则v200.4t.令v0，即200.4 t0得t50 (s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则svdt(2
9、00.4t)dt(20t0.2t2)20500.2502500(m)，即列车应在进站前50 s和进站前500 m处开始制动变式练习4一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为()A44 JB46 J C48 J D50 J解析：选B力F(x)做功为10dx(3x4)dx10x202646.例3、(2012上海高考)已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_解析由题意可得f(x)所以yxf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx(10x10x2)dxx3.答案
10、变式练习1由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A. B. C. D.解析：选A由得x0或x1，由图易知封闭图形的面积(x2x3)dx.2(2012山东高考)设a0.若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析：由题意dxa2.又，即xa2，即aa2.所以a.答案：五、 课后作业 巩固提高1.dx()Aln xln2xB.1 C. D.解析：选Cdx.2(2012湖北高考)已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A. B. C. D.解析：选B由题中图象易知f(x)x21，则所求面积为2(x21)dx2.3设f(x)则f(x)dx()A.
11、B. C. D不存在解析：选C如图f(x)dxx2dx(2x)dxx3.4以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A. m B. m C. m D. m解析：选Av4010t20，t2，(4010t2)dt4028 (m)5(2013青岛模拟)由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.解析：选D结合函数图象可得所求的面积是定积分cos xdxsin x.6设asin xdx，则曲线yf(x)xaxax2在点(1，f(1)处的切线的斜率为_解析：asin xdx(cos x)2，yx2x2x2.
12、y2xx2xln 22.曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率ky|x142ln 2.答案：42ln 27在等比数列an中，首项a1，a4(12x)dx，则该数列的前5项之和S5等于_解析：a4(12x)dx(xx2)18，因为数列an是等比数列，故18q3，解得q3，所以S5.答案：8(2013孝感模拟)已知a，则当(cos xsin x)dx取最大值时，a_.解析：(cos xsin x)dx(sin xcos x)sin acos a1sin1，a，当a时，sin1取最大值答案：9计算下列定积分：(1) sin2xdx； (2)2dx； (3)e2xdx.解：(1) sin2xdxdx0.(2)2dxdx(24ln 2)ln 3ln 2ln .(3) e2xdxe2xe.10
