高中培优讲义定积分及其简单应用.doc
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第十三讲定积分及其简单应用
教学目标:
1、了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
2、了解微积分基本定理的含义.
一、知识回顾课前热身
知识点1、定积分
(1)定积分的相关概念在f(x)dx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.
(2)定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分f(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).
②一般情况下,定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.
(3)定积分的基本性质
①kf(x)dx=kf(x)dx.②[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx.
③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.
(4).定积分[f(x)-g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么?
提示:
由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.
知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x),即f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).
基础练习
1.dx等于( )
A.2ln2 B.-2ln2C.-ln2D.ln2
解析:
选D dx=lnx=ln4-ln2=ln2.
2.一质点运动时速度和时间的关系为V(t)=t2-t+2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为( )
A.B.C.D.
解析:
选A S=(t2-t+2)dt==.
3.直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为________.
解析:
x2dx=x3=.答案:
4.dx=________.
解析:
由定积分的几何意义可知,dx表示单位圆x2+y2=1在第一象限内部分的面积,所以
dx=π.答案:
π
二、例题辨析推陈出新
例1、利用微积分基本定理求下列定积分:
(1)(x2+2x+1)dx;
(2)(sinx-cosx)dx;(3)x(x+1)dx;
(4)dx;(5)sin2dx.
[解答]
(1)(x2+2x+1)dx=x2dx+2xdx+1dx=+x2+x=.
(2)(sinx-cosx)dx=sinxdx-cosxdx=(-cosx)-sinx=2.
(3)x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx=x3+x2=+=.
(4)dx=e2xdx+dx=e2x+lnx=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.
(5)sin2dx=dx=dx-cosxdx=x-sinx=-=.
变式练习
1.求下列定积分:
(1)|x-1|dx;
(2)dx.
解:
(1)|x-1|=故|x-1|dx=(1-x)dx+(x-1)dx
=+=+=1.
(2)dx=|sinx-cosx|dx=(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx
=(sinx+cosx)+(-cosx-sinx)=-1+(-1+)=2-2.
例2、 dx=________.
[解答] dx表示y=与x=0,x=1及y=0所围成的图形的面积.
由y=得(x-1)2+y2=1(y≥0),又∵0≤x≤1,∴y=与x=0,x=1及y=0所围成的图形为个圆,其面积为.∴dx=.
在本例中,改变积分上限,求dx的值.
解:
dx表示圆(x-1)2+y2=1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以
dx=.
变式练习
2.(2013·福建模拟)已知函数f(x)=(cost-sint)dt(x>0),则f(x)的最大值为________.
解析:
因为f(x)=sindt=cos=cos-cos=sinx+cosx-1=
sin-1≤-1,当且仅当sin=1时,等号成立.答案:
-1
三、归纳总结方法在握
归纳1、利用几何意义求定积分的方法
(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.
(2)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.
归纳2、求定积分的一般步骤
计算一些简单的定积分,解题的步骤是:
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;
(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.
归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤
(1)画出曲线的草图.
(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限.(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差.(4)计算定积分,写出答案.
四、拓展延伸能力升华
利用定积分求平面图形的面积
例1、(2012·山东高考)由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B.4C.D.6
[解答] 由y=及y=x-2可得,x=4,即两曲线交于点(4,2).由定积分的几何意义可知,由y=及y=x-2及y轴所围成的封闭图形面积为
(-x+2)dx==.[答案] C
若将“y=x-2”改为“y=-x+2”,将“y轴”改为“x轴”,如何求解?
解:
如图所示,由y=及y=-x+2可得x=1.由定积分的几何意义可知,由y=,y=-x+2及x轴所围成的封闭图形的面积为f(x)dx=dx+(-x+2)dx=x+=.
变式练习3.(2013·郑州模拟)如图,曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A. B. C. D.
解析:
选D 由⇒x=或x=-(舍),所以阴影部分面积
S=dx+dx=+=.
定积分在物理中的应用
例2、列车以72km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?
[解答] a=-0.4m/s2,v0=72km/h=20m/s.设ts后的速度为v,则v=20-0.4t.令v=0,即20-0.4t=0得t=50(s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s,则s=vdt=(20-0.4t)dt=(20t-0.2t2)
=20×50-0.2×502=500(m),即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动.
变式练习4.一物体在力F(x)=(单位:
N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米,力F(x)做功为( )
A.44J B.46JC.48JD.50J
解析:
选B 力F(x)做功为10dx+(3x+4)dx=10x+=20+26=46.
例3、(2012·上海高考)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B,C(1,0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________.
[解析] 由题意可得
f(x)=所以y=xf(x)=
与x轴围成图形的面积为10x2dx+(10x-10x2)dx=x3+=.[答案]
变式练习
1.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为( )
A. B. C. D.
解析:
选A 由得x=0或x=1,由图易知封闭图形的面积=(x2-x3)dx=-=.
2.(2012·山东高考)设a>0.若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.
解析:
由题意dx=a2.又′=,即x=a2,即a=a2.所以a=.答案:
五、课后作业巩固提高
1.dx=( )
A.lnx+ln2x B.-1C.D.
解析:
选C dx==.
2.(2012·湖北高考)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( )
A.B.C.D.
解析:
选B 由题中图象易知f(x)=-x2+1,则所求面积为2(-x2+1)dx=2=.
3.设f(x)=则f(x)dx=( )
A.B.C.D.不存在
解析:
选C 如图.
f(x)dx=x2dx+(2-x)dx=x3+=+=.
4.以初速度40m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为( )
A.mB.mC.mD.m
解析:
选A v=40-10t2=0,t=2,(40-10t2)dt==40×2-×8=(m).
5.(2013·青岛模拟)由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为( )
A.B.1C.D.
解析:
选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分cosxdx=
sinx=-=.
6.设a=sinxdx,则曲线y=f(x)=xax+ax-2在点(1,f
(1))处的切线的斜率为________.
解析:
∵a=sinxdx=(-cosx)=2,∴y=x·2x+2x-2.∴y′=2x+x·2xln2+2.
∴曲线在点(1,f
(1))处的切线的斜率k=y′|x=1=4+2ln2.答案:
4+2ln2
7.在等比数列{an}中,首项a1=,a4=(1+2x)dx,则该数列的前5项之和S5等于________.
解析:
a4=(1+2x)dx=(x+x2)=18,因为数列{an}是等比数列,故18=q3,解得q=3,所以S5==.答案:
8.(2013·孝感模拟)已知a∈,则当(cosx-sinx)dx取最大值时,a=________.
解析:
(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)=sina+cosa-1=sin-1,
∵a∈,∴当a=时,sin-1取最大值.答案:
9.计算下列定积分:
(1)sin2xdx;
(2)2dx;(3)e2xdx.
解:
(1)sin2xdx=dx==-0=.
(2)2dx=dx==-(2+4+ln2)
=+ln3-ln2=+ln.
(3)e2xdx=e2x=e-.
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