1、（1）每组两本（均分三堆）（2）一组一本，一组二本，一组三本（3）一组四本，另外两组各一本（）平均分给甲乙丙三人分析：（1）分组与顺序无关，是组合问题。分组数是=90（种）这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书标上1、2、3、4、5、6六个号码。考察以下两种分法：（1，2）（3，4）（5，6）与（3，4）（1，2）（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以分法是 =15（种）。（2）先分组，方法是 ，那么还要不要除以？我们发现，由于每组的书的本数是
2、不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 =60（种） 分法。（3）分组方法是=30（种）其中有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15（种）。通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m ，m ，m ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是。三基本的分配的问题定向分配问题例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（
3、3）甲四本、乙一本、丙一本.由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：（）=90（种）（）=60（种）（）=30（种）。不定向分配问题例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？每人两本（2） 一人一本、一人两本、一人三本（3） 一人四本、一人一本、一人一本此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以 ，即（）=90（种）（）=360（种）（）=90（种）
4、。结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法（1）每组两本（2）分别为一本、二本、三本（3）两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是 + + =90（种）。再考虑排列，即再乘以 。所以一共有540种不同的分法。四分配问题的变形问题例
5、5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有 （种），然后将这三组（即三个不同元素）分配给四个小盒（不同对象）中的3个的排列问题，即共有 =144（种）。例6有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有（种）分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可
6、承担乙任务又可承担丙任务，全排。共 =2520（种）不同的选法。例7设集合A=1，2，3，4，B=6，7，8，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有 （种）分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以 ，所以共有 =36（个）不同的函数。例设集合A=1，2，3，4，B=6，7，8,映射f:A-B满足f（1）f（2）f（3）f（4）f（5）且中的三个
7、元素在中都有原象，这样的映射共有多少个？从，中插入个隔板，依次与，对应，因此共有种不同的映射附一 编号分组：1 相同元素 编号分组 “编号分组”的意思是：即使分出来两个或多个组中，元素的个数相同，仍然看成不同的组 例题： 10个相同的小球，放入5个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球。 问有几种放法？ 方法（隔板法） 5个盒子，设置4个隔板，插入9个空中。C942 不同元素 编号分组 分成两种情况： （i）非均匀编号分组（每组元素个数不同）10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同（在这里体现“编号分组”）劳动，问有几种安排方法？ 方法：分步选人，分别适合各组人数，然后要乘以组数
8、的全排列。 C102C83C55A33 （ii）均匀编号分组（包括部分均匀、全部均匀）10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加不同劳动 问有几种安排方法？分步选人，分别适合各组人数。 但是，由于有两个或两个以上的组人数相同，而选人时又是分步选人的（即有顺序在里面），所以必然会造成重复。比如：甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一种情况，我们却多算了。要除以元素相同的几个组的组数的全排列 选人完之后要放进编好号码的组里面，所以乘以总组数的全排列。C82C66A22二 不编号分组： 与编号分组不同的是，在不编号分组中，各个组元素的个数成为了区别不同组的唯一标志，换言之，只要有两个或者多个组有相同个数
9、的元素，它们就被视为相同的组。 在这里，由于组已经没有编号了，如果要放进组里面的元素再不可区分，那问题就变得没什么意义，而且很简单了。三个相同的球，放入两个相同的盒子里面，只有一种放法，那就是其中一个盒子放一个球，另外那个盒子放剩下的那两个球。所以用列举法就可以了。 在这里主要讨论不同元素的情况。 1，不同元素，不编号不均匀分组。10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加相同（在这里体现“不编号分组”）劳动，问有几种安排方法？和“不同元素，编号不均匀分组”相比，不必乘以组数的全排列，因为三个组参加的是相同的劳动（这里“相同”的言下之意是：劳动内容相同，又是同时去的，如果不同时，还要当作
10、编号分组）C55 不同元素 不编号均匀分组（部分均匀、全部均匀）10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加相同劳动，问有几种安排方法？要除以相同元素个数的那几个组的组数的全排列，但是不必乘以总组数的全排列。A22排列组合中“先分配后分组”问题作者：中国数学培优网来源：中国数学培优网时间：2010-3-11 15:14:43浏览次数：116例6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。
11、解：（1）根据分步计数原理得到：C（6, 2）C（4,2）C（2,2） 种；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有C（6, 2）C（2,2） =90 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A（3,3）=6 种方法。所以，6本不同的书分为三份，每份两本一共有15种方法。（3）这是“不均匀分组”问题，一共有C（6, 1）C（5, 2）C（3,3） 种方法 （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有C（6, 1）C（3,3） A（3,3） 种方法 （5）可以分为三类情况：“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有C（6, 2）C（2,2） 90种方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C（6, 1）A（3,3） =360 种方法；“1、1、4型”，有C（6, 1）C（5, 1）C（4，4） A（2,2）A（3,3）=90种方法；所以，一共有90+360+90540种方法
