先分组后分配Word文档格式.docx
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(1)每组两本(均分三堆)15
(2)一组一本,一组二本,一组三本60
(3)一组四本,另外两组各一本15
(4)平均分给甲乙丙三人90
分析:
(1)分组与顺序无关,是组合问题。
分组数是C62*C42*C22=90(种)
这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书标上1、2、3、4、5、6六个号码。
考察以下两种分法:
(1,2)(3,4)(5,6)与(3,4)(1,2)(5,6),由于书是均匀分组的,三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数A33=6,所以分法是90/6=15(种)。
(2)先分组,方法是C61*C52*C33=60,那么还要不要除以A33?
我们发现,由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法,即共有=60(种)分法。
(3)分组方法是C64*C21*C11=30(种)
其中有没有重复的分法?
我们发现,其中两组的书的本数都是一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一样,不可能重复。
所以实际分法是C64*C21*C11/A22=15(种)。
通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法。
结论1:
一般地,n个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为m1,m2,…,mP,其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是C。
三 基本的分配的问题
1定向分配问题
例2六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
(1)
甲两本、乙两本、丙两本.
(2)
甲一本、乙两本、丙三本.
(3)
甲四本、乙一本、丙一本.
由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布计数原理不难解出:
(1)C62*C42*C22=90(种)
(2)C61*C52*C33=60(种)
(3)C64*C21*C11=30(种)。
2不定向分配问题
例3 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
每人两本
(2)一人一本、一人两本、一人三本
(3)一人四本、一人一本、一人一本
此组题属于分配中的不定向分配问题,是该类题中比较困难的问题。
由于分配给三人,同一本书给不同的人是不同的分法,所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组,再将这三组分给甲、乙、丙三人”,
因此只要将分组方法数再乘以A33=6,即
(1)15*6=90(种)
(2)60*6=360(种)
(3)15*6=90(种)。
结论2.一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
解不定向分配题的一般原则:
先分组后排列。
例4六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法?
六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”,即书要分完,人不能空手。
因此,考虑先分组,后排列。
先分组,六本书怎么分为三组呢?
有三类分法
(1)每组两本
(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本,另一组四本。
所以根据加法原理,分组法是++=90(种)。
再考虑排列,即再乘以。
所以一共有540种不同的分法。
四 分配问题的变形问题
例5四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种?
恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2。
实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组,两组各1个,另一组2个,分组方法有(种),然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题,即共有=144(种)。
例6 有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有多少种?
先考虑分组,即10人中选4人分为三组,其中两组各一人,另一组二人,共有C10 4*C42(种)分法。
再考虑排列,甲任务需2人承担,因此2人的那个组只能承担甲任务,而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务,全排。
共C10 4*C42*A22=2520(种)不同的选法。
例7 设集合A={1,2,3,4},B={6,7,8},A为定义域,B为值域,则从集合A到集合B的不同的函数有多少个?
由于集合A为定义域,B为值域,即集合A、B中的每个元素都有“归宿”,而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限,所以此问题实际上还是分组后分配的问题。
先考虑分组,集合A中4个元素分为三组,各组的元素数目分别为1、1、2,则共有(种)分组方法。
再考虑分配,即排列,再乘以,所以共有=36(个)不同的函数。
例8设集合A={1,2,3,4},B={6,7,8},映射f:
A->
B满足f
(1)<
=f
(2)<
=f(3)<
=f(4)=<
f(5)且B中的三个元素在A中都有原象,这样的映射共有多少个?
从1,2,3,4,5,中插入3个隔板,依次与6,7,8,对应,因此共有C43=4种不同的映射
附
一编号分组:
1相同元素编号分组
“编号分组”的意思是:
即使分出来两个或多个组中,元素的个数相同,仍然看成不同的组
例题:
10个相同的小球,放入5个不同的盒子里面,每个盒子至少要放一个球。
问有几种放法?
方法(隔板法)
5个盒子,设置4个隔板,插入9个空中。
C94
2不同元素编号分组
分成两种情况:
(i)非均匀编号分组(每组元素个数不同)
10个人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同(在这里体现“编号分组”)劳动,问有几种安排方法?
方法:
分步选人,分别适合各组人数,然后要乘以组数的全排列。
C102×
C83×
C55×
A33
(ii)均匀编号分组(包括部分均匀、全部均匀)
10个人分成三组,各组人数分别为2、2、6,去参加不同劳动
问有几种安排方法?
分步选人,分别适合各组人数。
但是,由于有两个或两个以上的组人数相同,而选人时又是分步选人的(即有顺序在里面),所以必然会造成重复。
比如:
甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一种情况,我们却多算了。
要除以元素相同的几个组的组数的全排列
选人完之后要放进编好号码的组里面,所以乘以总组数的全排列。
C82×
C66÷
A22×
二不编号分组:
与编号分组不同的是,在不编号分组中,各个组元素的个数成为了区别不同组的唯一标志,换言之,只要有两个或者多个组有相同个数的元素,它们就被视为相同的组。
在这里,由于组已经没有编号了,如果要放进组里面的元素再不可区分,那问题就变得没什么意义,而且很简单了。
三个相同的球,放入两个相同的盒子里面,只有一种放法,那就是其中一个盒子放一个球,另外那个盒子放剩下的那两个球。
所以用列举法就可以了。
在这里主要讨论不同元素的情况。
1,不同元素,不编号不均匀分组。
10个人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加相同(在这里体现“不编号分组”)劳动,问有几种安排方法?
和“不同元素,编号不均匀分组”相比,不必乘以组数的全排列,因为三个组参加的是相同的劳动(这里“相同”的言下之意是:
劳动内容相同,又是同时去的,如果不同时,还要当作编号分组)
C55
不同元素不编号均匀分组(部分均匀、全部均匀)
10个人分成三组,各组人数分别为2、2、6,去参加相同劳动,问有几种安排方法?
要除以相同元素个数的那几个组的组数的全排列,但是不必乘以总组数的全排列。
A22
排列组合中“先分配后分组”问题
作者:
中国数学培优网 来源:
中国数学培优网 时间:
2010-3-1115:
14:
43 浏览次数:
116
例.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:
(1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;
(2)分为三份,每份2本;
(3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本;
(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本;
(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本。
解:
(1)根据分步计数原理得到:
C(6,2)·
C(4,2)·
C(2,2)
种;
(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有C(6,2)·
C(2,2)=90种方法,这个过程可以分两步完成:
第一步分为三份,每份两本,设有x种方法;
第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A(3,3)=6种方法。
所以,6本不同的书分为三份,每份两本一共有15种方法。
(3)这是“不均匀分组”问题,一共有C(6,1)·
C(5,2)·
C(3,3)种方法.
(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有C(6,1)·
C(3,3)·
A(3,3)种方法.
(5)可以分为三类情况:
①“2、2、2型”即
(1)中的分配情况,有C(6,2)·
C(2,2)=90种方法;
②“1、2、3型”即(4)中的分配情况,有C(6,1)·
A(3,3)=360种方法;
③“1、1、4型”,有C(6,1)·
C(5,1)·
C(4,4)÷
A(2,2)×
A(3,3)=90种方法;
所以,一共有90+360+90=540种方法.
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