1、距离、度量空间、n维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间二、基本理论1、开集的运算性质； 2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造； 4、直线上闭集的构造1求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集设E为0，1上的有理数点的全体组成的集1）求E2）判定是开集还是闭集，为什么？_解：1）对于x的任意邻域U内有无数个无理点,U不1是的内点，由的任意性，知无内点,= .对于0,1，U内都有无数多个有理点，即有无数多个的点,为的聚点.又在0，1外的任一点都不是的聚点.0,1.0,1=0,1，因为= ，而是非空的，E,E不是开集.0,1，而0，1中的无理点不在内，即，由
2、定义知，E不是闭集.勒贝格外测度的定义：中任一点集，对于每一列覆盖的开区间2）E不是开集，也不是闭集.0 0_直线上开集、闭集的构造第三章 测度论引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量测度勒贝格外测度，L测度，可测集，可测集类n i=1，所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确量（由完全确定）称为的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为m*，即： EUIi*T（TE）+CE）（1）则称L可测的，这时的外测度就称为测度，记为mE，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.L可测集的全体记为可测集类1）零测度集类：2）一切区间I（开、闭、半开半闭）都是可测
3、集合，且mII3）凡开集、闭集皆可测4）凡博雷尔集都是可测的勒贝格外测度的性质（1）0，当为空集时=0（即*0）；（非负性）；（2）设AB，则B（单调性）A（3）（UAi）（次可数可加性）6）可列可加性：Si是一列互不相交的可测集，则USi也是可测的，且m（USimSi7）可列交的可测性：是一列可测集合，则也是可测集合；勒贝格测度、可测集的性质及可测性1）（定理1）集合可测对任意的E，BCE，总有B）B2）余集的可测性：S可测CS可测3）并集的可测性：若S1，S2都可测，则S1S2也可测；4）交集的可测性：S1S25）差集的可测性：S1S2i=1 i=1S8）递增的可测集列的极限的测度：i是一
4、列递增的可测集合：s1s2s，令S=i=1nlimSn，则当它mS1时，mSmSn只须证明卡氏条件成立，即对T，有9）递减的可测集列的极限的测度：是一列递减的，可测集合：S1S2Sn i=1 n n三基本题目1、试述外测度的定义.（答案见第三章定义1）2、试给测度的定义（答案见第三章3、设点集，证明是可测集，并求CE）TU（外测度的次可数可加性）3另一方面：已知0，00，必有=0又：由、可知：，此即卡氏条件成立；是可测的，i i i i n1,2,3,L,m,L对于任意给定的0，不妨设 1，作开区间 2 2 （）n2i因UIei，由外测度的单调性及次可列可加性得：又由的任意性及0得：=0，得证
5、.注：本题可当作定理.5、设为有理数集合，求mQQ为一可数集合，=0.，Q）cQ）cQ）（外测度的次可列可加性）另一方面，（单调性），4。又 连续函数的定义（用邻域定义）：f，对于x0，若：由、知：即卡氏条件成立，为可测集，第四章 可测函数可测函数.， 重要的可测函数：简单函数，连续函数；依测度收钦，命题几乎处处成立实数，点集Ef= 都是可测集，则称为定义在上的可测函数.简单函数定义：（x）,，把分为有限个互不相交的可测集Ei（in），使Ci（常数），时，则称为定义在上的简单函数.例如在区间0，1上的狄利克雷函数便是一简单函数1）y0（x0有限；2）对于的任一邻域VV都存在的某邻域U，使得（U
6、点连续，若中每一点都连续，则称上连续.4、命题几乎处处成立：设命题是一个与点集有关的命题，若存在的子集ME，mM=0，使EM上恒成立，即EE成立为零测度集，则称上几乎处处成立，简记为e.于成立.依测度收敛的定义：f是上一列a.e.有限的可测函数列，若有上5q有限的可测函数满足下列关系：对任意的0，有mEf-,则称函数列依测度收敛于，记为：注意：依测度收敛与收敛的不同，两者不能彼此包含.可测函数的充要条件定理1、设是定义在可测集上的实函数，下列任一条件都是上可测的充要条件：1）对任何有限实数，E都可测；2）对任何有限实数3）对任何有限实数4）对任何有限实数，b（ab），Eafb都可测（充分性要假
7、定是有限函数）可测函数的运算1）设g（x）都在上可测，则下列函数（假定它们在上有意义）都在上可测：（x），n，在上收敛于2）可测函数列的确界函数仍可测，设（x）是在上可测函数列，则下确界函数（x）inf（x）和上确界函数（x）supf（x）都在3）可测函数列的上、下极限函数以及极限函数都是可测函数.3、可测函数与简单函数的关系任何一个可测函数都可表示成一简单函数列的极限函数.4、连续函数与可测函数的关系（定理2）连续函数一定是可测函数，但反之，不真.5叶果洛夫定理（见书P87）定理告诉我们：满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”一致收敛的.6可测函数的构造1（鲁
8、津）（见书P88）定理说明：一般的可测函数是“基本上连续”的函数.7、依测度收敛与收敛的关系.1（黎斯）设在测度收敛于，则存在子列f1、证明：上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，集Efr是可测的.6证:必要性：上可测,由定义对任意有限实数a,点集a是可测的，特别地当为任一有理数r时，Efr也可测.充分性：已知对任一有理数可测，下面只须证明对任一无理数Ef 可测.r取一递增的有理数列：rn且n=1rn，已知Efrn可测，1,2,3,L（可测个可测集的交集仍可测）,即a可测,由可测函数的等价条件知点集也可测.所以，对任意有限实数a都可测，由定义知上可测.充分性成立.综合两方面的证明知，命题得证
9、.2、试述可测函数的定义，答案见1.第五章积分论为克服R-积分的不足，引入L-积分.黎曼积分（R积分），勒贝格积分（L积分），函数的下方图形.黎曼积分的（确界式）定义黎曼积分、简记为积分，即数学分析中的定积分.回顾积分的确界式定义见书P100勒贝格积分的定义（1）设上的有界函数，mE1）对的任一可测分化DEi，为互不相交的可测集bi2）令BisupxEi作乘积mEimE求和：（D,大和bs（D,小和3）求上、下积分D7（x）dxL下积分4）若=E，则称可积，且称此共同值为在上的积分，记为：2）一般可积函数的勒贝格积分的定义把积分从有限,f（x）在上有界,推广到没有限制,f（x）在上是否有界不要
10、求的情形,推广步骤分为:第一步 非负函数情形见书P115第二步 一般函数（不限于非负）的情形P116推广后的积分的性质 见书P117函数的下方图形可积的充要条件在可测集E（mE）上有界，可积对，存在 mE的可测分划D，使，这里i2）设f（x）在可测集E（mE）上有界,则上可测.积分的运算性质f（x）、g（x）可测集E（mE）上有界且可积,则f（x）/g（x） （但）及上都是可积的.xE积分与积分的关系f（x）在a,b上可积,且有相同的积分值,即baa,b（x）dx4积分的性质的任何子集上也可积（2）对积分区域的可加性: 若E=A上有定义,AB=,且在A,B上分别可积,则E线性运算性质ABg（x
11、）dx可积,则Eg（x）dx+8可积,C为常数,则Cf=C（4）不等式性质:可积,且g（x）,则特别地当bf（x）B是有bmEBmE（5） 绝对值可积性:可积,且E E（6）可积,f（x）0,且=0,则f（x）=0,.e与E;（7）绝对连续性:可积,则对于任何可测集E,有limmA0积分的极限定理勒贝格控制收敛定理（定理1） 设是可测集上的可测函数列;（2）（3）F（x）e与E,n=1,2,且F（x）上可积分f（x）则上可积分,且n即极限运算与积分的运算可交换顺序列维定理P1263）逐项积分:4）L积分的可数可加性上积分确定,E=为互不相交的可测集,则Ei5）法都引理P128勒贝格积分的几何意
12、义f（x）为可测集R上的非负可测函数,则=mG（E,f）,其中G（E,f）为上的下方图形.91,E（mE）上有界,试给出积分的定义答案见2 定义D（x）=x为有理数x为无理数x0,1，1）证明D（x）在0,1上可积，2）求0,1D（x）dx证D（x）为0,1上简单函数 D（x）在0,1上可测又D（x）D（x）在0,1上有界而0,1为可测集D（x）在0,1上可积解:为0,1上的有理数集合，则0,1E为0,1上的无理数集合,有积分的性质得D（x）dx0,1E为0,1上的有理数全体组成的集合,它是全体有理数集合合mQ=0mE=0有差集的可测性知: m（0,1E）=m0,1mE=10=11dx01dx=1mE+0=10+0=0+0=0试述非负有界函数的勒贝格积分的几何意义.10
