实变函数复习提纲Word格式文档下载.docx
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距离、度量空间、
n
维欧氏空间;
聚点、内点、界点,开核、导集、闭
包;
开集、闭集、完备集;
构成区间
二、基本理论
1、开集的运算性质
;
2、闭集的运算性质
3、直线上开集的构造;
4、直线上闭集的构造
1
求集合的开核、导集、闭包,判定开集、闭集
设
E
为[0,1]上的有理数点的全体组成的集
1)求
E'
2)判定
是开集还是闭集,为什么?
_
解:
1)对于
∀x
∈
的任意邻域U
内有无数个无理点,∴U
⊂
不
1
是
的内点,由
的任意性,知
无内点,∴
=φ.
对于
[0,1],
∀U
内都有无数多个有理点,即有无数多个
的点,∴
为
的聚
点.又在[0,1]外的任一点都不是
的聚点.
[0,1].
⋃
[0,1]=
[0,1]
,
∴
因为
=ϕ,而
是非空的,∴
≠
E,
∴E
不是开集.
[0,1],而[0,1]中的无理点不在
内,即
,∴由定义知,E
不是闭集.
勒贝格外测度的定义:
中任一点集,对于每一列覆盖
的开区间
2)E
不是开集,也不是闭集.
00
__
直线上开集、闭集的构造
第三章测度论
引入:
把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测
度.
勒贝格外测度,L
测度,可测集,可测集类
n
∞∞
i=1
,所有这一切的
μ
组成一个下方有界的数集,它的下确量(由
完全确定)称为
的勒贝
格外测度,简称外测度或外测度,记为
m
*
,即:
⎧
∞⎫
∞
E⊂UI
i
*T
(T
⋂
E)
+
CE)
(1)
则称
L
可测的,这时
的
外测度
就称为
测度,记为
mE
,条件
(1)
称为卡拉泰奥多里条件,也简称卡氏条件.L
可测集的全体记为
可测集类
1)零测度集类:
2)一切区间
I(开、闭、半开半闭)都是可测集合,且
mI
I
3)凡开集、闭集皆可测
4)凡博雷尔集都是可测的
勒贝格外测度的性质
(1)
≥0,当
为空集时
=0(即
*ϕ
0
);
(非负性);
(2)设
A
B,则
≤
B
(单调性)
∑
A
(3)
(UAi
)
≤
(次可数可加性)
6)可列可加性:
{Si
}是一列互不相交的可测集,则U
Si
也是可测的,且
m(USi
mSi
7)可列交的可测性:
}是一列可测集合,则
也是可测集合;
勒贝格测度、可测集的性质及可测性
1)(定理
1)集合
可测←→对任意的
E,B
[CE,总有
B)
B
2)余集的可测性:
S
可测←→CS
可测
3)并集的可测性:
若
S1,S2
都可测,则
S1∪S2
也可测;
4)交集的可测性:
S1∩S2
5)差集的可测性:
S1-S2
i=1i=1
S
8)递增的可测集列的极限的测度:
{
i
}是一列递增的可测集合:
s1
s2
⊂
…
s
…,
令
S=
i=1
n→∞
lim
Sn
,则当它
mS1
<∞时,
mS
mSn
只须证明卡氏条件成立,即对
∀T
,有
9)递减的可测集列的极限的测度:
}是一列递减的,可测集合:
S1
⊃
S2
Sn…
i=1n→∞n→∞
三
基本题目
1、试述
外测度的定义.(答案见第三章§
定义
1)
2、试给
测度的定义(答案见第三章§
3、设点集
,证明
是可测集,并求
CE)
T
U
(外测度的次可数可加性)①
3
另一方面:
∵已知
≥0,∴0≤
≤0,必有
=0
又:
≥
②
由①、②可知:
,此即卡氏条件成立;
是可测的,
iiiin
1,2,3,L
m,L
对于任意给定的
ε
>0,不妨设
1,作开区间
⎧εε⎫
⎩22⎭
(
ε
)n
2i
因
UI
ei
,由外测度的单调性及次可列可加性得:
∞
又由
的任意性及
≥0
得:
=0,得证.
注:
本题可当作定理.
5、设
为有理数集合,求
mQ
∵Q
为一可数集合,∴
=0.
,∵
Q)
cQ)
cQ)
(外测度的次可列可加性)①
另一方面,∵
(单调性),
4
。
又∵
连续函数的定义(用邻域定义):
f
,对于
x0
,若:
由①、②知:
即卡氏条件成立,
为可测集,∴
第四章可测函数
可测函数.,重要的可测函数:
简单函数,连续函数;
依测度收钦,
命题几乎处处成立
实数
,点集
E[f>
]=
{
都是可测集,则称
为定义在
上的可
测函数.
简单函数定义:
(x),
,把
分为有限个互不相交的可测集
Ei
(i
n)
,使
Ci
(常数),
时,则称
为定义
在
上的简单函数.
例如在区间[0,1]上的狄利克雷函数便是一简单函数
1)
y0
(x0
有限;
2)对于
的任一邻域V
V
都存在
的某邻域U
,使得
(U
点连续,若
中每一点都连续,则称
上连续.
4、命题几乎处处成立:
设命题
是一个与点集
有关的命题,若存在
的子集
M
E,mM=0,使
E\M
上恒成立,即
E\E[
成立]为零测度集,则称
上几乎处
处成立,简记为
⋅
e.于
成立.
依测度收敛的定义:
{f
}是
上一列
a.e.
有限的可测函数列,若有
上
5
q
有限的可测函数
满足下列关系:
对任意的
δ
>0,有
mE[f
-
则称函数列
}依测度收敛于
,记为:
⇒
注意:
依测度收敛与收敛的不同,两者不能彼此包含.
可测函数的充要条件
定理
1、设
是定义在可测集
上的实函数,下列任一条件都是
上可测
的充要条件:
1)对任何有限实数
,E[
]都可测;
2)对任何有限实数
<
3)对任何有限实数
4)对任何有限实数
,b(a<b),E
[a≤f<b
]都可测(充分性要假定
是有限函数)
可测函数的运算
1)设
g(x)
都在
上可测,则下列函数(假定它们在
上有意义)都在
上可
测:
①
②
③
(x)
,④
{n
},在
上
收敛于
2)可测函数列的确界函数仍可测,设
(x)}是在
上可测函数列,则下确界函数
μ(x)
inf
(x)}和上确界函数
λ(x)
sup{f
(x)}都在
3)可测函数列的上、下极限函数以及极限函数都是可测函数.
3、可测函数与简单函数的关系
任何一个可测函数都可表示成一简单函数列的极限函数.
4、连续函数与可测函数的关系
(定理
2)连续函数一定是可测函数,但反之,不真.
5
叶果洛夫定理(见书
P87)
定理告诉我们:
满足定理假设的
a.e.收敛的可测函数列,即使不一致收敛,也是“基
本上”一致收敛的.
6
可测函数的构造
1(鲁津)(见书
P88)定理说明:
一般的可测函数是“基本上连续”的函数.
7、依测度收敛与收敛的关系.
1(黎斯)设在
}测度收敛于
,则存在子列
f
1、证明:
上为可测函数的充要条件是对任一有理数
r,集
E[f
>r]是可测的.
6
证:
必要性:
上可测,由定义对任意有限实数
a,
点集
>a]是可测的,
特别地当
为任一有理数
r
时,E[f
>r]也可测.
充分性:
已知对任一有理数
可测,下面只须证明对任一无理数
E[f>
]
可测.
r
取一递增的有理数列
}:
rn
<
且
n=1
rn]
,已知
E[f<
rn]可测,
1,2,3,L
(可测个可测集的交集仍可测),
即
a]可测,
由可测函数的等价条件知点集
>
]
也可测.
所以,对任意有限实数
a]都可测,由定义知
上可测.充分
性成立.
综合两方面的证明知,命题得证.
2、试述可测函数的定义,答案见§
1.
第五章
积分论
为克服
R-积分的不足,引入
L-积分.
黎曼积分(R
积分),勒贝格积分(L
积分),函数的下方图形.
黎曼积分的(确界式)定义
黎曼积分、简记为
积分,即数学分析中的定积分.回顾
积分的确界式定义见书
P100
勒贝格积分的定义
(1)设
上的有界函数,mE<∞
1)对
的任一可测分化
D
{Ei
},
为互不相交的可测集
bi
2)令
Bi
sup
x∈Ei
作乘积
mEi
mE
求和:
(D,
——大和
b
s(D,
——小和
3)求
上、下积分
D
7
⎰
(x)dx
——L
下积分
4)若
=
⎰
E
,则称
可积,且称此共同值为
在
上的
积分,记为:
2)
一般可积函数的勒贝格积分的定义
把
积分从
有限,f(x)在
上有界,推广到
没有限制,
f(x)在
上是否有界不要求
的情形,推广步骤分为:
第一步非负函数情形
见书
P115
第二步一般函数(不限于非负)的情形
P116
推广后的
积分的性质见书
P117
函数的下方图形
可积的充要条件
在可测集
E(mE
∞)
上有界,
可积
⇔
对
∀ε
,存在
∑ωmE
的可测分划
D,使
,这里
ωi
2)设
f(x)在可测集
E(mE<∞)上有界,则
↔
上可测.
积分的运算性质
f(x)、
g(x)可测集
E(mE<∞)上有界且
可积,则
f(x)
±
∙
/g(x)
(但
)及
上都是可积的.
x∈E
积分与
积分的关系
f(x)在[a,b]上
可积,且有相同的积分值,
即
b
a
a,b]
(x)dx
4
积分的性质
的任何子集上也可积
(2)对积分区域的可加性:
若
E=A
上有定义,A
B=
Φ
且在
A,B
上分
别可积,则
⎰E
线性运算性质
⎰A
⎰B
g(x)dx
可积,则
⎰E
[
g(x)]dx
+
8
可积,C
为常数,则
Cf
=C
(4)
不等式性质:
可积,且
≤g(x),则
特别地
当
b≤f(x)≤B
是有
bmE
≤BmE
(5)绝对值可积性:
可积,且
⎰EE
(6)
可积,f(x)≥0,且
=0,则
f(x)=0,
.
e.与
E;
(7)
绝对连续性:
可积,则对于任何可测集
E,有
lim
mA→0
积分的极限定理
勒贝格控制收敛定理(定理
1)设
}
是可测集
上的可测函数列;
(2)
(3)
≤F(x)
e
与
E,n=1,2……,且
F(x)
上可积分
f(x)
则
上可积分,且
n→∞
即极限运
算与积分的运算可交换顺序
列维定理
P126
3)
逐项积分:
4)L
积分的可数可加性
上积分确定,E=
为互不相交的可测集,
则
Ei
5)
法都引理
P128
勒贝格积分的几何意义
f(x)为可测集
R
上的非负可测函数,则
=mG(E,f),其中
G(E,f)为
上的下方图形.
9
1,
E(mE<∞)上有界,试给出
积分的定义
答案见§
2定义
D(x)=
x为有理数
x为无理数
x∈[0,1],
1)证明
D(x)在[0,1]上
可积,
2)求
[
0,1]
D(x)dx
证∵D(x)为[0,1]上简单函数∴D(x)在[0,1]上可测
又
D(x)
D(x)在[0,1]上有界
而[0,1]为可测集
∴D(x)在[0,1]上
可积
解:
为[0,1]上的有理数集合,则[0,1]\E
为[0,1]上的无理数集合,有
积分
的性质得
D(x)dx
0,1]\E
为[0,1]上的有理数
全体组成的集合,它是全体有理数集合
合
mQ=0
mE=0
有差集的可测性知:
m([0,1]\E)=m[0,1]-mE=1-0=1
⎰1dx
01dx
=1
mE+0=1
0+0=0+0=0
试述非负有界函数的勒贝格积分的几何意义.
10
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- 函数 复习 提纲