1、中考数学压轴题破解策略专题16对角互补模型专题 16对角互补模型破解策略1全等型之“ 90”如图， AOB DCE90， OC平分 AOB，则ACDO E B（ 1） CD CE；（ 2） OD OE 2 OC；（3） S OCD S OCE1OC22证明方法一： 如图，过点 C分别作 CM OA， CNOB，垂足分别为由角平分线的性质可得 ，90CM CNMCN所以 MCD NCE，从而 MCD NCE（ ASA），故 CD CE易证四边形 MONC为正方形所以 OD OE OD ON NE 2ON 2 OC所以 S OCDS OCES正方形 MONCON 21OC22方法二： 如图，过 C
2、作 CFOC，交 OB于点 F易证45，DOCEFCCO CFDCOECF所以 DCO ECF（ ASA）A所以，CD CE OD FED可得 OD OE OF2OC 所以 S OCDS OCES OCF1OC2O2【拓展 】如图，当 DCE的一边与 AO的延长线交于点 D时，则：M，NAM CDEO N BCBE F1ACBOED（ 1） CD CE；（ 2） OE OD 2 OC；（3） S OCE S OCD1OC22如图，证明同上AAMCCOBBNEOFEDD2全等型之“ 120”如图， AOB2 DCE120， OC平分 AOB，则：CADEO B（ 1） CD CE；（ 2） OD
3、 OE OC；（3） S OCDS OCE3OC24证明 方法一： 如图，过点C分别作 ， ，垂足分别为， CM OA CN OBM N所以 S OCDS OCE2S ONC3OC 24易证 MCD NCE（ ASA），所以 CD CE， OD OE 2ON OC2C CA AMD E DO N B O E F B方法二： 如图，以 CO为一边作 FCO60，交 OB于点 F，则 OCF为等边三角形易证 DCO ECF（ASA）所以 CD CE， OD OE OF OC，S OCD S OCE S OCF 3 OC 24【拓展】如图，当 DCE的一边与 BO的延长线交于点 E 时，则：（1）
4、CD CE；（ 2）OD OEOC；（ 3） S OCD S OCE3 OC24如图，证明同上AAADCDCDCMEBEONBEF BOO3、全等型之“任意角”如图， AOB 2， DCE 180 2，OC平分 AOB，则：2 sin cos（1） ；（2） 2 cos；（ 3） ODC OECOCCD CEOD OEOCSSADCOEB证明：方法一：如图，过点C分别作 CM OA， CN OB，垂足分别为M， NM ADCBO N E易证 MCD NCE（ASA）CD CE，OD OE2ON 2OC cosS ODC S OEC 2S ONC OC 2 sin cos方法二：如图，以 CO为
5、一边作 FCO180 2 ，交 OB于点 F3ADCBO E F易证 DCO ECF（ASA）CD CE，OD OEOF 2OC cosS ODC S OEC S OCF OC 2 sin cos【拓展】如图，当 DCE的一边与 BO的延长线交于点 E 时，则：（1） CD CE；（ 2）OD OE2OC cos ODC OEC2 sin cos；（ 3）S S OC如图，证明同上DADAD AMCCBCBBE ONE OE OF4、相似性之“ 90”如图，90，则tanAOB DCECOBCE CDADCO EB方法一：如图，过点 C分别作 CM OA， CN OB，垂足分别为 M、 NAD
6、MCOE N易证 MCD NCE， NECECNtan ，即 CE CDtanMDCDCM方法二：如图，过点C作 CFOC，交 OB于点 FADCOEFB4易证 DCO ECF， FECECFtan，即 CE CDtanODCDCO方法三：如图，连接DEADCOEB易证、 、 、C四点共圆D O E CDE COE，故 CE CD tan【拓展】如图，当DCE的一边与 AO的延长线交于点D时，则 CECD tanACOBED如图，证明同上AAACCCMOBONEBOF EBEDDD例题讲解例 1、已知 ABC是 O的内接三角形， ABAC，在 BAC所对弧 BC上任取一点 D，连接 AD，BD
7、， CD（ 1）如图 1，若 BAC 120，那么 BD CD与 AD之间的数量关系是什么？（ 2）如图 2，若 BAC ，那么 BD CD与 AD之间的数量关系是什么？D DB CO OB CA 图1 A 图2解：（ 1） BD CD 3 ADDE OB CFA图3如图 3，过点 A 分别向 BDC的两边作垂线，垂足分别为 E、 F由题意可得 ADB ADC 305易证 AEB AFCBD CD2DE 3 ADBD CD2AD sin 2如图 4，作 EAD BAC，交 DB的延长线于点 EDFB CEOA图 4则 EBA DCA，所以 BE CD， AE AD作 AF DE于点 F，则 F
8、AD 所以 BD CD DE 2DF 2AD sin 2 2例 2 如图 1，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD的对角线 BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点 A，另一条直角边与 BC相交于点 F求证： PA PE；如图 2，将中的正方形变为矩形，其余不变，且 10， 8，求：的值；ADCDAPPE如图 3，在的条件下，当P滑动到 BD的延长线上时， AP： PE的值是否发生变化？ADPADAPD FPBECBECBCE图 1图 2图 3解： 如图 4，过点 P分别作 PM AB， PN BC，垂足分别为M， N则 ， 90，由已知条件可得 90，所以，所以PM PNMPN
9、APEAPMEPNAPMEPN故 AP PEA DM PB E N C图 4如图 5，过点 P 分别作 PMAB， PNBC，垂足分别为 M， N则 PM AD， PN CD所以 BPM BDA， BNP BCD可得 PMBPPN ，所以 PMAD5 ADBDCDPNCD4易证，所以 APPM5APMEPNPN4PE6A DM PB E N C图 5AP： PF的值不变 如图，理由同 M PA FDB C N E图 6进阶训练1如图，四边形 ABCD被对角线 BD分为等腰 Rt ABD和 Rt CBD，其中 BAD和 BCD都是直角，另一条对角线 AC的长度为 2，则四边形 ABCD的面积为
10、_AB DC第 1题图答案：四边形 ABCD的面积为 2【提示】易证 A、B、C、D四点共圆， 则 BCA BDA ABD ACD，由“全等型之 90”的结论可得 S12AC2四边形 ABCD22在中， ， 60，D是边的中点， 120，与边相交于ABCAB ACABCEDFDEAB点 E， DF与 AC边（或 AC边的延长线）相交于点FAAEENFCBDCBDF第1题图1第1题图2如图 1，DF与 AC边相交于点 F，求证： BE CF 1 AB；2如图 2，将图 1 中的 EDF绕点 D顺时针旋转一定的角度，使DF与 AC边的延长线交于点F，作 DNAC于点 N，若 DNFN，求证： BE
11、 CF3 （ BECF）答案：略7【提示】过点 D作 DG AC交 AB于点 G，证 DEG DFC，从而 BE CF BE EG BG 1 AB 2AGEFBDC第 1题答图 1过点 D作 DG AC交 AB于点 G，同可得 BE CF 1 ABDC 2DN ，延长 AB至点 H，使23得 BH CF，则 DH DF DE，从而 BE CF HE2 DE2 2 DN 2DN，所以 BECF 3（BE CF）AEGNBDCHF第 1题答图 23在菱形中，两条对角线，相交于点， 180，绕点OABCDAC BDOMONBCDMON旋转，射线 OM交 BC于点 E，射线 ON交 CD于点 F，连结
12、 EF如图 1，当 ABC 90时， OEF的形状是 _；如图 2，当 60时，请判断的形状，并说明理由；ABCOEF如图 3，在的条件下，将MON的顶点移动到AO的中点 O 处， MON绕点 O 旋转，仍满足 180，射线 交直线于点，射线交直线于点，当BCMONBCDO MBCEO NCDF4，且SVO EF9 时，求的长S四边形 ABCD8CEADADADOOFOONFBM ECBM EC NBC第3题图1第3题图2第3题图3答案：等腰直角三角形；OEF是等边三角形；线段CE的长为 333或3 33【提示】由“全等型之 120”的结论可得 OE OF两种情况，如图：8FNA DOEOEBMFC MN第3题答图9
