中考数学压轴题破解策略专题16《对角互补模型》.docx
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中考数学压轴题破解策略专题16《对角互补模型》
专题16《对角互补模型》
破解策略
1.全等型之“90°”
如图,∠AOB=∠DCE=90°,OC平分∠AOB,则
A
C
D
OEB
(1)CD=CE;
(2)OD+OE=2OC;
(3)SOCDSOCE
1OC2.
2
证明
方法一:
如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为
由角平分线的性质可得
=,∠
=90°.
CMCN
MCN
所以∠MCD=∠NCE,
从而△MCD≌△NCE(ASA),
故CD=CE.
易证四边形MONC为正方形.
所以OD+OE=OD+ON+NE=2ON=2OC.
所以SOCD
SOCE
S正方形MONC
ON2
1OC2.
2
方法二:
如图,过C作CF⊥OC,交OB于点F.
易证∠
=∠
=45°,
=
,∠
=∠
.
DOC
EFC
COCFDCO
ECF
所以△DCO≌△ECF(ASA)
A
所以
=
,
=
,
CDCEODFE
D
可得OD+OE=OF=
2OC.
所以SOCD
SOCE
SOCF
1OC2.
O
2
【拓展】如图,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时,则:
M,N.
A
MC
D
E
ONB
C
B
EF
1
A
C
B
O
E
D
(1)CD=CE;
(2)OE-OD=2OC;
(3)SOCESOCD
1OC2.
2
如图,证明同上.
A
A
M
C
C
O
B
B
N
E
O
FE
D
D
2.全等型之“120”
如图,∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠AOB,则:
C
A
D
E
OB
(1)CD=CE;
(2)OD+OE=OC;
(3)SOCD
SOCE
3OC2.
4
证明方法一:
如图,过点
C
分别作⊥
,⊥,垂足分别为
,.
CMOACNOB
MN
所以SOCD
SOCE
2SONC
3
OC2
4
易证△MCD≌△NCE(ASA),
所以CD=CE,OD+OE=2ON=OC.
2
CC
AA
M
DED
ONBOEFB
方法二:
如图,以CO为一边作∠FCO=60°,交OB于点F,则△OCF为等边三角形.
易证△DCO≌△ECF(ASA).
所以CD=CE,OD+OE=OF=OC,
∴S△OCD+S△OCE=S△OCF=3OC2
4
【拓展】如图,当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时,则:
(1)CD=CE;
(2)OD-OE=OC;(3)S△OCD-S△OCE=
3OC2
4
如图,证明同上.
A
A
A
D
C
D
C
D
C
M
E
B
E
ON
B
E
FB
O
O
3、全等型之“任意角”
如图,∠AOB=2
,∠DCE=180°-2
,OC平分∠AOB,则:
2·sincos
(1)
=;
(2)+
=2
·cos
;(3)△ODC+△OEC=
OC
CDCE
ODOE
OC
S
S
A
D
C
O
E
B
证明:
方法一:
如图,过点
C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为
M,N
MA
DC
B
ONE
易证△MCD≌△NCE(ASA)
∴CD=CE,OD+OE=2ON=2OC·cos
∴S△ODC+S△OEC=2S△ONC=OC2·sincos
方法二:
如图,以CO为一边作∠FCO=180°-2,交OB于点F.
3
A
D
C
B
OEF
易证△DCO≌△ECF(ASA)
∴CD=CE,OD+OE=OF=2OC·cos
∴S△ODC+S△OEC=S△OCF=OC2·sincos
【拓展】如图,当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时,则:
(1)CD=CE;
(2)OD-OE=2OC·cos
△ODC△OEC
2
·sincos
;(3)S-S=OC
如图,证明同上
D
A
D
A
DA
M
C
C
B
C
B
B
EO
N
EO
EO
F
4、相似性之“90°”
如图,∠
=∠
=90°,∠
=
,则
=
·tan
AOBDCE
COB
CECD
A
D
C
OE
B
方法一:
如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M、N
A
D
M
C
O
EN
易证△MCD∽△NCE,∴NE
CE
CN
tan,即CE=CD·tan
MD
CD
CM
方法二:
如图,过点
C作CF⊥OC,交OB于点F.
A
D
C
O
E
F
B
4
易证△DCO∽△ECF,∴FE
CE
CF
tan
,即CE=CD·tan
OD
CD
CO
方法三:
如图,连接
DE.
A
D
C
O
E
B
易证
、、、
C
四点共圆
DOE
∴∠CDE=∠COE=
,故CE=CD·tan
【拓展】如图,当∠
DCE的一边与AO的延长线交于点
D时,则CE=CD·tan
A
C
O
B
E
D
如图,证明同上.
A
A
A
C
C
C
M
O
B
O
N
E
B
O
FE
B
E
D
D
D
例题讲解
例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,在∠BAC所对弧BC上任取一点D,连接AD,BD,CD.
(1)如图1,若∠BAC=120°,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么?
(2)如图2,若∠BAC=,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么?
DD
BC
OO
BC
A图1A图2
解:
(1)BD+CD=3AD
D
EO
BC
F
A
图3
如图3,过点A分别向∠BDC的两边作垂线,垂足分别为E、F.
由题意可得∠ADB=∠ADC=30°
5
易证△AEB≌△AFC
∴BD+CD=2DE=3AD
⑵BD+CD=2ADsin.
2
如图4,作∠EAD=∠BAC,交DB的延长线于点E.
D
F
BC
E
O
A
图4
则△EBA≌△DCA,所以BE=CD,AE=AD.
作AF⊥DE于点F,则∠FAD=.所以BD+CD=DE=2DF=2ADsin.
22
例2如图1,将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与BC相交于点F.
⑴求证:
PA=PE;
⑵如图2,将⑴中的正方形变为矩形,其余不变,且
=10,
=8,求
:
的值;
AD
CD
AP
PE
⑶如图3,在⑵的条件下,当
P滑动到BD的延长线上时,AP:
PE的值是否发生变化?
A
D
P
A
D
A
P
DF
P
B
E
CB
E
C
B
CE
图1
图2
图3
解:
⑴如图4,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为
M,N.
则
=,∠
=90°,由已知条件可得∠
=90°,所以∠
=∠
,所以△
≌
PMPN
MPN
APE
APM
EPN
APM
△EPN.
故AP=PE.
AD
MP
BENC
图4
⑵如图5,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为M,N.则PM∥AD,PN∥CD.
所以△BPM∽△BDA,△BNP∽△BCD.可得PM
BP
PN,所以PM
AD
5.
AD
BD
CD
PN
CD
4
易证△∽△
,所以AP
PM
5
.
APM
EPN
PN
4
PE
6
AD
MP
BENC
图5
⑶AP:
PF的值不变.[如图,理由同⑵]
MP
AF
D
BCNE
图6
进阶训练
1.如图,四边形ABCD被对角线BD分为等腰Rt△ABD和Rt△CBD,其中∠BAD和∠BCD都是
直角,另一条对角线AC的长度为2,则四边形ABCD的面积为_________.
A
BD
C
第1题图
答案:
四边形ABCD的面积为2.
【提示】易证A、B、C、D四点共圆,则∠BCA=∠BDA=∠ABD=∠ACD,由“全等型之‘90°’”
的结论可得S
=
1
2
AC=2.
四边形ABCD
2
2.在△中,
=,∠
=60°,
D
是
边的中点,∠
=120°,
与
边相交于
ABC
ABAC
A
BC
EDF
DE
AB
点E,DF与AC边(或AC边的延长线)相交于点
F.
A
A
E
E
N
F
C
B
D
C
B
D
F
第1题图1
第1题图2
⑴如图1,DF与AC边相交于点F,求证:
BE+CF=1AB;
2
⑵如图2,将图1中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,使
DF与AC边的延长线交于点
F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:
BE+CF=
3(BE-CF).
答案:
略.
7
【提示】⑴过点D作DG∥AC交AB于点G,证△DEG≌△DFC,从而BE+CF=BE+EG=BG=1AB.2
A
G
E
F
B
D
C
第1题答图1
⑵过点D作DG∥AC交AB于点G,同⑴可得BE-CF=1AB=DC=2DN,延长AB至点H,使
2
3
得BH=CF,则DH=DF=DE,从而BE+CF=HE=
2DE=
2×
2DN=2DN,所以BE+CF=3
(BE-CF).
A
E
G
N
B
D
C
H
F
第1
题答图2
3.在菱形
中,两条对角线
,
相交于点
,∠
+∠
=180°,∠
绕点
O
ABCD
ACBD
O
MON
BCD
MON
旋转,射线OM交BC于点E,射线ON交CD于点F,连结EF.
⑴如图1,当∠ABC=90°时,△OEF的形状是____;
⑵如图2,当∠
=60°时,请判断△
的形状,并说明理由;
ABC
OEF
⑶如图3,在⑴的条件下,将∠
MON的顶点移动到
AO的中点O'处,∠MO'N绕点O'旋转,仍
满足∠
'+∠
=180°,射线'
交直线
于点
,射线
'
交直线
于点
,当
BC
MON
BCD
OM
BCE
ON
CD
F
=4,且
SVO'EF
9时,求
的长.
S四边形ABCD8
CE
A
D
A
D
A
D
O'
O
F
O
O
N
F
B
ME
C
B
ME
CN
B
C
第3题图1
第3题图2
第3题图3
答案:
⑴等腰直角三角形;⑵△
OEF是等边三角形;⑶线段
CE的长为3
3+3或33-3.
【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得OE=OF.⑶两种情况,如图:
8
F'
N'
AD
O'
E
O
E'
B
M
F
CM'
N
第3题答图
9
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- 对角互补模型 中考 数学 压轴 破解 策略 专题 16 对角 互补 模型