1、广东省惠州市二零一六届高三数学第一次调研考试试题理新人教a版doc惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题（理科）（本试卷共4页,21小题，满分150分。考试用时120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将白己的姓名和考生号、试室号、廉位号 填写在答题卡上。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题瓦上对应题冃选项的答案信息点涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净示，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题H指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准便用铅笔和涂改 液。不按以上要
2、求作答的答案无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1己知集合M =1,2,3,N = xwZ|1x5a-36=（）B.A. (7, 16)(-7,-34) C. (-7,-4) D. (-7,14)4.已知直线I、与宜线/2:3x + 4-6 = O平行且与圆：F +才+ 2y = 0相切，则肓线1、的方 程是（）A. 3x +4-1 = 0 B. 3x + 4y + l = 0或3x + 4y-9 = 0C. 3x + 4y + 9 = 0D. 3% + 4一1 = 0或3尤 + 4+ 9 = 05.对于平iMa、0、了和直线
3、a、b、m、心下列命题中真命题是（ ）A.若a 丄 m.a 丄，加 u u a,処Id 丄 a B.若 all b,bua,贝 UaH aC.若 a 丨丨 P，a 人丫 = = b,则 ab D.若 au 队bu 卩,all a,bH a ,则 0/qx0 表示的平面区域的面积是（ ）yx-A冷 B- C7己知函数/（x） = x3-3x,若过点A（0,16）且与曲线歹=产（兀）相切的切线方程为y = or + 16,则实数。的值是（ ）A. -3 B. 3 C.6 D.98.对于任意两个正整数加丿，定义某种运算“”如下：当加丿都为正偶数或正奇数fit, m n = m + n ;当m9n屮一
4、个为正偶数，另一个为正奇数时,m n = mn .则在此定 义下，集合M = （a,b）k探h = Zae N*,b g N*屮的元素个数是（ ）A. 10 个 B. 15 个 C. 16 个 D. 18 个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分.其中1415题是选做题，考生 只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答.9.96383988415314右图是某高三学牛进入高中三年来笫次到14次的数学考试成绩 7Q茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为 . 910.已知等差数列a,满足為=1心=6,则此数列的前io项 111的
5、和S 0 = .11.已知直线与直线x-y- = 0垂直，则直线的倾斜角.12.设/(X)是(-00, +00)上的奇函数，/(兀+ 3) = f(x).当0x2从兀=0处运动到x = 4 （单位：加）处，则力FCr）做的功为 焦.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系屮，圆 = 4sin0的圆心 到总线&亠pw R）的距离是 壮/6 B E C15.（几何证明选讲选做题）如图，AD为圆O直径，BC切圆O于点E, AB 丄 BC,DC 丄 BC , AB = 4, DC = 1,则 AD 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题
6、满分12分)已知函数f(x) = /2sin2x +5/2cos2x,xe R .求f(x)的最大 值和最小正周期;若仁卜孕“是第二象限的角，求sig17.(本小题满分12分)某社团组织50名志愿者利用周末和节假LI参加社会公益活动，活动 内容是：1、到各社区宣传慰问，侣导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工，帮助那些 需要帮助的人.各位志愿者根据各白的实际情况，选择了不同的活动项目，相关的数据如下表 所示:宣传慰问义工总计20至40岁111627人于40岁15823总计262450(1)分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名，年龄大于40岁的应该抽取几名？(2)上述抽取的6名志愿者中
7、任収2名，求选到的志愿者年龄大于 40岁的人数的数学期望.18.(本小题满分14分)如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OAQBQC两两垂直，且0/1 = 1, OB = OC = 2, E是OC的中点.求O点到而ABC的距离；求二而角E-AB-C的正弦值.19. (本小题满分14分)已知等差数列色的公差d工0 ,它的前兀项和为S”，若55=70,求证:-Tb0)为动点，存,笃分别为椭圆2 2+ = 1的左右焦点.已知百P尺为等腰三角 CT /T形.(1)求椭圆的离心率0;(2)设直线PF2Lj椭圆相交于两点，M是直线PF2上的点,满足AMDBM = -2 ,求点M的轨迹方程.21.(本小题满分1
8、4分)已知二次函数/(%) = ax2 -bx+c,a 0),且不等式f(x) 1)存在零点,并求出零点.惠州市2014届高三笫一次调研考试数学(理科)参考答案与评分标准一.选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CBADCADB1.故选C.2.选 B.3.选 A.4.选 D.6.选 A.7选 D.&选B1415题是选做题，考牛只能选做一题.39. 94.5 10. 35 11. -71 (或 135) 12. -1 13. 36 14. 3 15. 549.从茎叶图屮可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103
9、 114屮位数为94与95的平均数94. 5 (a3 +z8)xlO 7x10 * 3D 2 211. V直线与直线xy-31 = 0垂直得=-1 = tan7 , /. a =.12. /(8.5) = /(5.5 + 3) = /(5.5) = /(2.5 + 3) = /(2.5) = /(-0.5 + 3)=/(-0.5) = -/(0-5) = 2 x 0.5 = 1 14.由。二4sin&得圆O为亍+ (y _2尸=4,圆O的圆心C(0,2)直线0 = -(p g R)的在 6角坐标方程为x-y/3y = 0,所以点C(0,2)到直线0 = -(peR)的距离是亦615连接OE,
10、v BC切圆 0于点 E, :.OE 丄 BC乂t 4B 丄 BC.DC 丄 BC, O是 ADp点，.OE = *(AB + DC). AD = 2OE = 5三、解答题：=2siTx+iJ在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁，其余4人的年龄在20到40岁之间,歹可能的取值为0丄2.则陀=0)二晋=|, p( = l) = = l,陀=2)二菩诂 8分02P2581511510分歹的分布列为o Q 1 9 的数学期望为E = Ox-+lx + 2x= - 12分5 15 15 318 （木小题满分14分）解：（1）取 C的屮点D
11、,连AD. ODOB = OC,则OD丄BC、4D丄BC,BC丄面Q4D过O点作OH丄AD于H, 则OH丄面ABC, OH的长就是所要求的距离.BC = 2近,OD = VOC2-CD2 = VI 3 分 OA丄OB、Q4丄OC,OA丄平面03C,则OA丄OD.AD = sjOA2 + OD2 = V3 ,在直角三角形OAD中，有OH =坐竺二芈二也.6分AD 也 3（另解：由 v =-SBCOH =-OAOBOC = -OH =.）36 3 3连结CH并延长交A3于八连结OF、EF OC 丄 kOAB.:. OC 丄 AB又 OH 丄 kABC.:. CF 丄 AB. EF 丄 AB.则ZE
12、FC就是所求二面角的平面角.在直角三角形警在直角三角形OEF中，EF二Joe? + OF?1+|=12分Vf.EG T V30 sin ZEFG = =EF 3方法二：（1）以0为原点，OB、OC. OA分别为工、y、Z轴建立空间直角坐标系.则有 71(0,0,1). 3(2,0,0)、C(0,2,0)、(0,1,0).2 分 设平而ABC的法向量为斤=(兀,y, z),则由 q 丄 AB :耳 AB = 2兀一 z = 0;由叫丄 AC知:叫 AC = 2y-z = 0取 nA =(1,1,2), 4 分OA则点O到而ABC的距离为=2J1 + 1 + 4(2) 丽= (2,0,0) (0,
13、1,0) = (2, 1,0),而= (2,0,0) (0,0,1) = (2,0,1)8 分设平面EAB的法向量为n = （x, y, z）,则由斤丄AB知：n - AB = 2x-z = 0;由丄 EB 知:/? EB = 2x- y = 0.取 =(1,2,2). 10 分由知平面ABC的法向量为n = （1,1,2）.贝II cos =n兀.q1 + 2 + 4 7 7a/6V9-V6 3V6 - 18结合图形可知，二面角的正弦值是穹11分13分14分19.（本题满分14分）解：（1）数列色是等差数列且*=70,5q+10d = 70 2 分.冬卫耳成等比数列，.I =色心22即（。|
14、 +6d）2 =（Q| +）（ +21） 4分由,解得马=6,d = 4或a=14, = 0（舍去） 5分an =4/1 + 2 6 分(2)证明；由(1)可得5w=2n2+4n, 7分所以丄=丄(丄-丄) 8分sft 2n2 +4n 4 n n + 2尔I、 111 1 1所以人= + + + + + $2 * Sn10分11分丄丄一丄)+丄(丄一丄)+丄(丄41 3 4 2 4 4 3 5 4 /?-1口 （丄+丄）8 4舁+1灯+2T- = -丄(丄+ !)0数列人是递增数列，.仏7=丄.613分14分20 解:(1)设 F (-c, 0), F2 (c, 0)(c 0),山题意，可得|
15、P坊| = |斥鬥I，即J（d-cy+戾 = 2c, 2分整理得2（）2+1 = 0,得 = -1舍）或丄所以e丄 4分a a a a 2 2(2 )由(1) g = 2c,b = c，可得椭圆方程为 3x2+4/=12c2.直线PF2方程为y = V3（x-c）, 5分A,B两点的坐标满足方程组严+4）亠曲，消去y并整理得5x2-8cx = 0,6分 丿=馆（兀-C）8 rr _0 8解得西=0,兀2= c,得方程组的解 x,_u 氐宁 8分5辰,3岳不妨设你备3岳）,砲，阳 设M的坐标为（兀，刃则5丽=（_*,），-警），而=（兀 y+爺。）, io 分化简得 18兀2_ 16/3xy-1
16、5 = 0, 13 分将宀5代入。十旦y得c心, 16/3x 3 6x由c0Wx0.因此，点M的轨迹方程是18x2-16/3xy-15 = 0(x0).14分 21 解:V/(x)2% 的解集为(-1,2),:.ax1-vb-2） x + c 0,且方程q? + （b 2）兀+ c = 0的两根为一 1和2即”+2+c = 0 n = 2-a,./（兀）=俶2+（2_0）工一2g,（g0）2 分 （1）4a + 2b-4 + c = 0 c = -2a 方程/（x） + 3a = 0有两个相等的实根，即a* +（2-a）x + a = Q有两个相等的实根/. A = （2 a）2 4c=0 =
17、 3a2 + 4g - 4 = 0,2； a = 2 或 a = 3 分32/W =. 4 4 AT +X 33 3（2）g）+（2F2“ +穿人竺严 7分8分则-8/一（2-4）2 _3d4a戾）（3） illy = /（兀）一U2一血+加）=0,0,|刈1）,得（a l）兀2 +2兀一（2a +加）=0ITI1当d = l时,方程滋）有一解兀=1,2函数y = /（X）一 （兀2 一处+ 771）冇一零点兀=号+ 1 ； 92当 吋，A = 422+（m-2） + （l-m）方程（探）有一解 o A = 4 2a2 + （m - 2）a + （l-m）l = 0 , 令】=4m2 + 4m
18、 - 4 0得m 2/2 一2或”2 1 即加 1 或m 1 , d = 2-加+ J4加2+4加一4日寸,（“2-7-j4+47-4 （负根舍去），函数ii） 当m-2V2-2时，Q的两根都为正数，.当“ 2-加+曲亍+怖-4或4a=2j4r+4_4 时，函数 y = f（x）-（x2 -ax + m）有一零点 X = . 11 分4i-aiii） 当2迥 2m 一1 时，A）= 4m2+4/Z-4 03方程（探）有二解 o = 4 2； + （加2）a + （1-m） 0,i） rml, Ai = W+4/?7-40,心 2-加 +丁4”+4加-4 时.4（2-m-V4m24-4/n-4
19、（负根舍去），函数 y =/（对 _（一做 +加） 4有两个零点” -2土42/ +伽-2）“ + （1 -肋_血? + （加一2）q + （1 一川）； 12分兀1.2 = 7 r = 2（a-l） A-1ii） 当771 0, d的两根都为正数,当& 2 +/4肿+4?一4 或0Q v 2 加一、4F+4加一4 吋, 4 (1 4两数y = f(x)-(x2 -ax + nt)有两个零点力二j如+ (加-2)+(1-加)。 13分 iii）当-2yl2-2m 一1 时，Ai = W+4/?2-40恒成立,14 分。収大于0(qh1)的任意数，函数y = f(x)-(x2-ax + m)有两个零点_ _ 1 JIxC + （m - 2）a + （1 - tn）Ai.2 = 2
