《广东省惠州市二零一六届高三数学第一次调研考试试题理新人教a版》doc.docx
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惠州市2014届高三第一次调研考试
数学试题(理科)
(本试卷共4页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟)
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将白己的姓名和考生号、试室号、廉位号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题瓦上对应题冃选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净示,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题H指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求.
1
•己知集合M={1,2,3},N={xwZ|1 ■ 2.复数z=—在复平面上对应的点位于() \—i A. D•第四象限 笫一•象限B.第二象限C.笫三象限3•已知平而向量a=(1,-2),b=(4,771),且a丄方,则向>5a-36=() B. A.(—7,—16) (-7,-34)C.(-7,-4)D.(-7,14) 4.已知直线I、与宜线/2: 3x+4^-6=O平行且与圆: F+才+2y=0相切,则肓线1、的方程是() A.3x+4^-1=0B.3x+4y+l=0或3x+4y-9=0 C.3x+4y+9=0 D.3%+4『一1=0或3尤+4『+9=0 5.对于平iMa、0、了和直线a、b、m、心下列命题中真命题是() A.若a丄m.a丄〃,加uua,,処Id丄aB.若allb,bua,贝UaHa C.若a丨丨P,a人丫==b,则a〃bD.若au队bu卩,alla,bHa,则0//q x<2 6.不等式组《y>0表示的平面区域的面积是() y A冷B-°C 7•己知函数/(x)=x3-3x,若过点A(0,16)且与曲线歹=产(兀)相切的切线方程为 y=or+16,则实数。 的值是() A.-3B.3C.6D.9 8.对于任意两个正整数加丿,定义某种运算“※”如下: 当加丿都为正偶数或正奇数 fit,mn=m+n;当m9n屮一个为正偶数,另一个为正奇数时,mn=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)k探h=\ZaeN*,bgN*}屮的元素个数是() A.10个B.15个C.16个D.18个 二、填空题: 本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14〜15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. (一)必做题: 第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 9 638 3988415 31 4 右图是某高三学牛进入高中三年来笫次到14次的数学考试成绩7 Q 茎叶图,根据茎叶图计算数据的中位数为.9 10.已知等差数列a},满足為=1心=6,则此数列的前io项1° 11 的和S]0=. 11.已知直线与直线x-y-\=0垂直,则直线的倾斜角. 12.设/(X)是(-00,+00)上的奇函数,/(兀+3)=f(x).当0 则/(8.5)=• 13.一物体在力F(x)J5'°~A~2,(W: N)的作用下沿与力F相同的方向, [3兀+4,x>2 从兀=0处运动到x=4(单位: 加)处,则力FCr)做的功为焦. 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系屮,圆°=4sin0的圆心到 总线&亠pwR)的距离是•壮/ 6BEC 15.(几何证明选讲选做题)如图,AD为圆O直径,BC切圆O于点 E,AB丄BC,DC丄BC,AB=4,DC=1,则AD等于. 三、解答题: 本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=>/2sin2x+5/2cos2x,xeR.⑴求f(x)的最大值和最小正周期;⑵若仁卜孕“是第二象限的角,求sig 17.(本小题满分12分)某社团组织50名志愿者利用周末和节假LI参加社会公益活动,活动内容是: 1、到各社区宣传慰问,侣导文明新风;2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各白的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示: 宣传慰问 义工 总计 20至40岁 11 16 27 人于40岁 15 8 23 总计 26 24 50 (1)分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任収2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望. 18.(本小题满分14分)如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱 OAQBQC两两垂直,且0/1=1,OB=OC=2,E是OC的中 点.⑴求O点到而ABC的距离;⑵求二而角E-AB-C的正弦值. 19. (本小题满分14分)已知等差数列{色}的公差d工0,它的前兀项和为S”,若55=70, 求证: - 6”8 20.(本小题满分14分)在平血直角处标系xoy中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,存,笃分别为椭圆 22 —+^=1的左右焦点.已知△百P尺为等腰三角CT/T 形. (1)求椭圆的离心率0; (2)设直线PF2Lj椭圆相交于两点,M是 直线PF2上的点,满足AMDBM=-2, 求点M的轨迹方程. 21.(本小题满分14分)已知二次函数/(%)=ax2-\-bx+c,{a0),且不等式f(x)<2x的 解集为(-1,2). (1)方程/(兀)+3。 =0有两个相等的实根,求于(兀)的解析式. (2)/(%)的最小值不大于-3d,求实数a的収值范围. (3)Q如何取值时,函数y=/(x)-(x2-ox+m)(|m|>1)存在零点,并求出零点. 惠州市2014届高三笫一次调研考试 数学(理科)参考答案与评分标准 一.选择题: 共8小题,每小题5分,满分40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D C A D B 1.故选C. 2.选B. 3.选A. 4. 选D. 6.选A. 7•选D. &选B 14〜15题是选做题,考牛只能选做一•题. 3 9.94.510.3511.-71(或135°)12.-113.3614.^315.5 4 9.从茎叶图屮可知14个数据排序为: 7983868891939495989899101103114屮 位数为94与95的平均数94.5• (a3+^z8)xlO7x10* ———3D■ 22 11.V直线与直线x—y- 3 ■1=0垂直得《=-1=tan<7,/.a=—^. 12./(8.5)=/(5.5+3)=/(5.5)=/(2.5+3)=/(2.5)=/(-0.5+3) =/(-0.5)=-/(0-5)=—2x0.5=—1• 14.由。 二4sin&得圆O为亍+(y_2尸=4,圆O的圆心C(0,2)直线0=-(pgR)的在6 角坐标方程为x-y/3y=0,所以点C(0,2)到直线0=-(peR)的距离是亦・ 6 15•连接OE,vBC切圆0于点E,: .OE丄BC•乂t4B丄BC.DC丄BC,O是AD'p 点,••.OE=*(AB+DC).・・AD=2OE=5 三、解答题: =2siTx+iJ ⑵在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为⑺ •••6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, •••歹可能的取值为0丄2. 则陀=0)二晋=|,p(^=l)=^=l,陀=2)二菩诂8分 § 0 2 P 2 5 8 15 1 15 10分 ・•・歹的分布列为 oQ19 ・・・§的数学期望为E^=Ox-+lx—+2x—=-12分 515153 18(木小题满分14分)解: (1)取〃C的屮点D,连AD.OD ・・・OB=OC,则OD丄BC、4D丄BC,・•・BC丄面Q4D过O点作OH丄AD于H,则OH丄面ABC,OH的长就是所要求的距离. BC=2近,OD=VOC2-CD2=VI3分・・・OA丄OB、Q4丄OC,・•・OA丄平面03C,则OA丄OD. AD=sjOA2+OD2=V3,在直角三角形OAD中,有OH=坐竺二芈二也.・・・6分 AD也3 (另解: 由v=-S^BCOH=-OAOBOC=-^OH=—.) 3633 ⑵连结CH并延长交A3于八连结OF、EF••••OC丄\k\OAB.: .OC丄AB•又•••OH丄\k\ABC.: .CF丄AB.EF丄AB. 则ZEFC就是所求二面角的平面角. 在直角三角形⑷―警 在直角三角形OEF中,EF二Joe? +OF? 1+|=^ 12分 Vf .EGTV30sinZEFG== EF3 方法二: (1)以0为原点,OB、OC.OA分别为工、y、Z轴建立空间直角坐标系. 则有71(0,0,1).3(2,0,0)、C(0,2,0)、£(0,1,0).……2分设平而ABC的法向量为斤=(兀,y,z), 则由q丄AB^\: 耳•AB=2兀一z=0; 由叫丄AC知: 叫・AC=2y-z=0•取nA=(1,1,2),4分 OA 则点O到而ABC的距离为〃= 2 J1+1+4 (2)丽=(2,0,0)—(0,1,0)=(2,—1,0),而=(2,0,0)—(0,0,1)=(2,0,—1)……8分 设平面EAB的法向量为n=(x,y,z),则由斤丄AB知: n-AB=2x-z=0; 由〃丄EB知: /? •EB=2x-y=0.取〃=(1,2,2).10分 由⑴知平面ABC的法向量为n}=(1,1,2). 贝IIcos<>= —♦ —► n 兀.q 1+2+477a/6 V9-V6~3V6-18 结合图形可知,二面角—的正弦值是穹 11分 •13分 •14分 19.(本题满分14分)解: (1)・・•数列{色}是等差数列且*=70, 5q+10d=70・①…2分 •.•冬‘⑷卫耳成等比数列,.I=色心22即(。 |+6d)2=(Q|+〃)(®+21〃)・②4分 由①,②解得马=6,d=4或a〕=14,"=0(舍去)5分 an=4/1+26分 (2)证明;由 (1)可得5w=2n2+4n,7分 所以丄=」=丄(丄-丄)•8分 sft2n2+4n4nn+2 尔I、"11111 所以人=—+—+—+•••+——+— $2*Sn 10分 11分 丄—丄一丄)+丄(丄一丄)+•••+丄(丄 4134244354/? -1 口(丄+丄) 84舁+1灯+2 T„--=-丄(丄+—! —)<0“84n+1n+2 )>0 •••数列{人}是递增数列,.•.仏》7]=丄. 6 13分 14分 20解: (1)设F{(-c,0),F2(c,0)(c>0), 山题意,可得|P坊|=|斥鬥I,即J(d-cy+戾=2c,2分 整理得2(£)2+£+1=0,得£=-1<舍)或£丄所以e丄4分 aaaa22 (2)由 (1)g=2c,b=£c,可得椭圆方程为3x2+4/=12c2. 直线PF2方程为y=V3(x-c),5分 A,B两点的坐标满足方程组严+4)亠曲,消去y并整理得5x2-8cx=0,……6分丿=馆(兀-C) 8rr_0[8 解得西=0,兀2=—c,得方程组的解x,_u氐宁8分 5辰,3岳 不妨设你备3岳),砲,阳设M的坐标为(兀,刃则 5 丽=(_*,),-警),而=(兀y+爺。 ),io分 化简得18兀2_16>/3xy-15=0,13分 将宀5代入。 十旦y得c」心,16\/3x3\6x 由c>0Wx>0.因此,点M的轨迹方程是18x2-16>/3xy-15=0(x>0).・・・14分21解: V/(x)<2%的解集为(-1,2), : .ax1-v^b-2)x+c<0的解集为(-1,2),… ・・・d>0,且方程q? +(b—2)兀+c=0的两根为一1和2 即”"+2+c=0n"=2-a,・・./(兀)=俶2+(2_0)工一2g,(g>0)……2分 (1)・・・ 4a+2b-4+c=0\c=-2a方程/(x)+3a=0有两个相等的实根,即a*+(2-a)x+a=Q有两个相等的实根 /.A=(2—a)2—4c『=0=>3a2+4g-4=0, 2 •;a=—2或a=—3分 3 2 /W= .44—AT+—X—— 333 (2)g)"+(2F2“+穿人竺严 7分 8分 则-8/一(2-4)2§_3d 4a 戾) (3)illy=/(兀)一U2一血+加)=0,@>0,|刈>1),得(a—l)兀2+2兀一(2a+加)=0 ITI 1当d=l时,方程滋)有一解兀=—1, 2 函数y=/(X)一(兀2一处+771)冇一零点兀=号+1;9 2当吋,A=4[2^2+(m-2)^+(l-m)] 方程(探)有一解oA=42a2+(m-2)a+(l-m)l=0,令△】=4m2+4m-4>0 得m>2>/2一2或”2<-2a/2一2,t|m\>1即加>1或m<-1, 44 y=/(兀)_(兀2_处+777)冇一零点牙=—! —.10 1-a i)当77? >1,d=2-加+J4加2+4加一4日寸,(“2-〃7-j4〃『+4〃7-4(负根舍去)),函数 ii)当m<-2V2-2时,Q的两根都为正数,.••当“2-加+曲亍+怖-4或 4 a=2—j4〃r+4〃_4时,函数y=f(x)-(x2-ax+m)有一零点X=—^—.11分 4i-a iii)当—2迥—2 3方程(探)有二解o△=4[2;+(加—2)a+(1-m)]>0, i)^rm>l,Ai=W+4/? 7-4>0,心2-加+丁4”+4加-4时. 4 (^^2-m-V4m24-4/n-4(负根舍去)),函数y=/(对_(〒一做+加)4 有两个零点”-2土』4[2/+伽-2)“+(1-肋]_]±血? +(加一2)q+(1一川);…12分 兀1.2=7r= 2(a-l)A-1 ii)当771<-2^2-2时,Ai=4m2+4m-4>0,d的两根都为正数, 当&>2—〃+>/4肿+4〃? 一4或0 两数y=f(x)-(x2-ax+nt)有两个零点力二j±如+(加-2)°+(1-加)。 13分iii)当-2yl2-2 2-4<0,.•.△>0恒成立, •••14分 •••。 収大于0(qh1)的任意数,函数y=f(x)-(x2-ax+m)有两个零点 __1±JIxC+(m-2)a+(1-tn) Ai.2=2
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