1、一元二次不等式及其解法二一元二次不等式及其解法（二）学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式0(0)法：或法：f(x)g(x)0(0)0(0)法：或法：a先移项转化为上述两种形式知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；(3)将
2、每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集思考(x1)(x2)(x3)2(x4)0的解集为_答案x|1x2或x4解析利用数轴穿根法知识点三一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题，可有以下2种思路：(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：kf(x)恒成立kf(x)max；kf(x)恒成立kf(x)min.题型一分式不等式的解法例1解下列不等式：(1)0；(2
3、)2.解(1)由0，得0，此不等式等价于(x4)(x3)0，原不等式的解集为x|x4或x3(2)方法一移项得20，左边通分并化简有0，即0，同解不等式为x2或x5.原不等式的解集为x|x2或x5方法二原不等式可化为0，此不等式等价于或解得x5，解得x2，原不等式的解集为x|x2或x5跟踪训练1不等式2的解集为()Ax|x2 BRC Dx|x2答案A解析x2x120，原不等式x22x20(x2)20，x2.不等式的解集为x|x2题型二解一元高次不等式例2解下列不等式：(1)x42x33x20；(2)1xx3x40；(3)(6x217x12)(2x25x2)0.解(1)原不等式可化为x2(x3)(
4、x1)0，当x0时，x20，由(x3)(x1)0，得1x3；当x0时，原不等式为00，无解原不等式的解集为x|1x3，且x0(2)原不等式可化为(x1)(x1)(x2x1)0，而对于任意xR，恒有x2x10，原不等式等价于(x1)(x1)0，原不等式的解集为x|1x1(3)原不等式可化为(2x3)(3x4)(2x1)(x2)0，进一步化为(x2)0，如图所示，得原不等式的解集为.跟踪训练2若不等式x2pxq0的解集是x|1x2，则不等式0的解集是()A(1,2)B(，1)(6，)C(1,1)(2,6)D(，1)(1,2)(6，)答案D解析由题意知x2pxq(x1)(x2)，则待解不等式等价于(
5、x1)(x2)(x25x6)0(x1)(x2)(x6)(x1)0x1或1x2或x6.题型三不等式恒成立问题例3对任意的xR，函数f(x)x2(a4)x(52a)的值恒大于0，则a的取值范围为_答案2a2解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)0恒成立，只需0即可，即(a4)24(52a)0，解得2a2.跟踪训练3对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是()A1x3 Bx1或x3C1x2 Dx1或x2答案B解析f(x)0，x2(a4)x42a0，即(x2)a(x244x)0，设g(a)(x2)a(x24x4)由题意知，即x1或x3.题型四一元二次不等式
6、在生活中的应用例4某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解(1)降低后的征税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万吨，收购总金额为200a(12x%)依题意得，y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原计划税收为200a10%20a(万元
7、)依题意得，a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范围是x|0x2跟踪训练4在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲0.1x0.01x2，S乙0.05x0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任解由题意列出不等式S甲0.1x0.01x212，S乙0.05x0.005x210.分别求解，得x30.x40.由于x0，从而得x甲30
8、 km/h，x乙40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任1若集合Ax|12x13，Bx|0，则AB等于()Ax|1x0 Bx|0x1Cx|0x2 Dx|0x12若集合Ax|ax2ax10，则实数a的值的集合是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|00时，相应二次方程中的a24a0，得a|0a4，综上，得a|0a4，故选D.3答案x|4x3或x1解析原式可转化为(x1)(x2)2(x3)(x4)0，根据数轴穿根法，解集为4x3或x1.4解原不等式x22xa80转化为ax22x8对任意x(1,3)恒成立，设f(x)x22x8，易知f(x)在 1,3上的最小值为f(3)5.a5.5解设每盏台
9、灯售价x元，则x15，并且日销售收入为x302(x15)，由题意知，当x15时，有x302(x15)400，解得：15x20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x15,20)课时精练答案一、选择题1答案B解析原不等式1x1.2答案A解析原不等式1x3且x2.3答案A解析由题意得，a21x42a.只须42aa21，即a22a30，1a3.4答案C解析x24xm在x0,1时，最小值为14m，令3m0，m3.5答案C解析(xa)(xa)(xa)(1xa)，不等式(xa)(xa)1，即(xa)(1xa)1对任意实数x恒成立，即x2xa2a10对任意实数x恒成
10、立，所以14(a2a1)0，解得a，故选C.6答案A解析方法一取x2，知符合xx2，即2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B、C、D.方法二由题知，不等式等价于(x)(x2)0，即0，从而0，解得x1，选A.7答案C解析x1为axb0的根，ab0，即ab，axb0的解集为(1，)，a0，故0，转化为(x1)(x2)0.x2或x1.二、填空题8答案x|x1或3x5解析原不等式化为由数轴穿根法得x1或3x5.9答案(，5解析设f(x)x2mx4，要使x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立则有即解得m5.10答案4解析(xa)(x1)0与0同解，(xa)(x1)0的解集为(，1)(4，)
11、，4，1是(xa)(x1)0的根，a4.三、解答题11解x22x3(x1)220，原式即4xm2(x22x3)恒成立，m2x28x6恒成立，设f(x)2x28x6，则f(x)min2.m2.12解原不等式可化为10，即0，等价于(ax2)(x1)0.(1)当a1时，不等式等价于(x1)(x2)0，所以1x2，所以原不等式的解集为x|1x2(2)因为原不等式等价于(ax2)(x1)0，所以a(x1)0，因为a0，所以(x1)0，当1，即0a2时，解集为；当1，即a2时，解集为；当1时，即a2时，解集为.13解税率为P%时，销售量为(8010P)万件，即f(P)80(8010P)，税金为g(P)80(8010P)P%，其中0P8.(1)由解得2P6.(2)f(P)80(8010P) (2P6)为减函数，当P2时，f(2)4 800(万元)(3)0P8，g(P)80(8010P)P%8(P4)2128，当P4时，国家所得税收金额最高为128万元
