一元二次不等式及其解法二.docx
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一元二次不等式及其解法二
一元二次不等式及其解法
(二)
[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
知识点一 分式不等式的解法
主导思想:
化分式不等式为整式不等式
类型
同解不等式
>0(<0)
法Ⅰ:
或
法Ⅱ:
f(x)·g(x)>0(<0)
≥0(≤0)
法Ⅰ:
或
法Ⅱ:
>a
先移项转化为上述两种形式
知识点二 简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f(x)>0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解,其步骤是:
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数;
(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积;
(3)将每一个根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶重根穿而不过,奇重根既穿又过);
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集.
思考 (x-1)(x-2)(x-3)2(x-4)>0的解集为______________.
答案 {x|1<x<2或x>4}
解析 利用数轴穿根法
知识点三 一元二次不等式恒成立问题
对一元二次不等式恒成立问题,可有以下2种思路:
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况,即ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔
(2)分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题,即:
k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max;k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.
题型一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式:
(1)
<0;
(2)
≤2.
解
(1)由
<0,得
>0,
此不等式等价于(x+4)(x-3)>0,
∴原不等式的解集为{x|x<-4或x>3}.
(2)方法一 移项得
-2≤0,
左边通分并化简有
≤0,即
≥0,
同解不等式为
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
方法二 原不等式可化为
≥0,
此不等式等价于
①
或
②
解①得x≥5,解②得x<2,
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
跟踪训练1 不等式
<2的解集为( )
A.{x|x≠-2}B.R
C.∅D.{x|x<-2或x>2}
答案 A
解析 ∵x2+x+1=
2+
>0,∴原不等式⇔x2-2x-2<2x2+2x+2⇔x2+4x+4>0⇔(x+2)2>0,∴x≠-2.∴不等式的解集为{x|x≠-2}.
题型二 解一元高次不等式
例2 解下列不等式:
(1)x4-2x3-3x2<0;
(2)1+x-x3-x4>0;
(3)(6x2-17x+12)(2x2-5x+2)>0.
解
(1)原不等式可化为x2(x-3)(x+1)<0,
当x≠0时,x2>0,
由(x-3)(x+1)<0,得-1<x<3;
当x=0时,原不等式为0<0,无解.
∴原不等式的解集为{x|-1<x<3,且x≠0}.
(2)原不等式可化为(x+1)(x-1)(x2+x+1)<0,
而对于任意x∈R,恒有x2+x+1>0,
∴原不等式等价于(x+1)(x-1)<0,
∴原不等式的解集为{x|-1<x<1}.
(3)原不等式可化为(2x-3)(3x-4)(2x-1)(x-2)>0,
进一步化为
(x-2)>0,
如图所示,得原不等式的解集为
.
跟踪训练2 若不等式x2+px+q<0的解集是{x|1<x<2},则不等式
>0的解集是( )
A.(1,2)
B.(-∞,-1)∪(6,+∞)
C.(-1,1)∪(2,6)
D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)
答案 D
解析 由题意知x2+px+q=(x-1)(x-2),则待解不等式等价于(x-1)(x-2)(x2-5x-6)>0⇒(x-1)(x-2)(x-6)(x+1)>0⇒x<-1或1<x<2或x>6.
题型三 不等式恒成立问题
例3 对任意的x∈R,函数f(x)=x2+(a-4)x+(5-2a)的值恒大于0,则a的取值范围为________.
答案 -2<a<2
解析 由题意知,f(x)开口向上,故要使f(x)>0恒成立,
只需Δ<0即可,
即(a-4)2-4(5-2a)<0,
解得-2<a<2.
跟踪训练3 对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )
A.1<x<3B.x<1或x>3
C.1<x<2D.x<1或x>2
答案 B
解析 f(x)>0,∴x2+(a-4)x+4-2a>0,
即(x-2)a+(x2+4-4x)>0,
设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4)
由题意知,
即
∴x<1或x>3.
题型四 一元二次不等式在生活中的应用
例4 某人计划收购某种农产品,如果按每吨200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万吨,政府为了鼓励个体多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在征税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
解
(1)降低后的征税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万吨,收购总金额为200a(1+2x%).
依题意得,y=200a(1+2x%)(10-x)%
=
a(100+2x)(10-x)(0<x<10).
(2)原计划税收为200a·10%=20a(万元).
依题意得,
a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,
化简得x2+40x-84≤0,
∴-42≤x≤2.
又∵0<x<10,
∴0<x≤2.
∴x的取值范围是{x|0<x≤2}.
跟踪训练4 在一个限速40km/h以内的弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系:
S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.
问超速行驶谁应负主要责任.
解 由题意列出不等式S甲=0.1x+0.01x2>12,
S乙=0.05x+0.005x2>10.
分别求解,得
x<-40或x>30.
x<-50或x>40.
由于x>0,从而得x甲>30km/h,x乙>40km/h.
经比较知乙车超过限速,应负主要责任.
1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B={x|
≤0},则A∩B等于( )
A.{x|-1≤x<0}B.{x|0<x≤1}
C.{x|0≤x<2}D.{x|0≤x≤1}
2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的值的集合是( )
A.{a|0
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- 一元 二次 不等式 及其 解法