1、高考数学复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 理 1命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名词常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等3.全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立xM，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立x0M，p(x0)4.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x
2、)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)【知识拓展】1含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)pq：p、q中有一个为真，则pq为真，即有真为真；(2)pq：p、q中有一个为假，则pq为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反2含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)命题pq为假命题，则命题p、q都是假命题()(2)命题p和綈p不可能都是真命题()(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则pq是真命题()(4)命题綈(pq)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题()(5)“长方形的对
3、角线相等”是特称命题()(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”()1设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图象关于直线x对称，则下列判断正确的是()Ap为真 B綈q为假Cpq为假 Dpq为真答案C解析函数ysin 2x的最小正周期为，故命题p为假命题；x不是ycos x的对称轴，命题q为假命题，故pq为假故选C.2已知命题p，q，“綈p为真”是“pq为假”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析綈p为真知p为假，可得pq为假；反之，若pq为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“pq为假”的充分不必
4、要条件，故选A.3(教材改编)下列命题中， 为真命题的是()AxR，x210Dx0R，x2x020；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()Apq B(綈p)(綈q)C(綈p)q Dp(綈q)(2)(2016聊城模拟)若命题“pq”是真命题，“綈p为真命题”，则()Ap真，q真 Bp假，q真Cp真，q假 Dp假，q假答案(1)D(2)B解析(1)p是真命题，q是假命题，p(綈q)是真命题(2)綈p为真命题，p为假命题，又pq为真命题，q为真命题思维升华“pq”“pq”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“
5、pq”“pq”“綈p”等形式命题的真假已知命题p：若xy，则xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命题是()A BC D答案C解析当xy时，xy时，x2y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题由真值表知：pq为假命题；pq为真命题；p(綈q)为真命题；(綈p)q为假命题，故选C.题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假例2不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，y)D, x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命题是()Ap2，p3 Bp1，p4Cp1，p2 Dp1
6、，p3答案C解析画出不等式组的可行域D如图阴影部分所示，两直线交于点A(2，1)，设直线l0的方程为x2y0.由图象可知，(x，y)D，x2y0，故p1为真命题，p2为真命题，p3，p4为假命题命题点2含一个量词的命题的否定例3(1)命题“x0R，x2x00”的否定是()AxR，x22x0Bx0R，x2x00CxR，x22x0Dx0R，x2x0”进行否定，可知C正确(2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.思维升华(1)判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个xx0，使p(x0)成立(2)
7、对全(特)称命题进行否定的方法找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词对原命题的结论进行否定(1)下列命题是假命题的是()A，R，使sin()sin sin BR，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数Cx0R，使xaxbx0c0(a，b，cR且为常数)Da0，函数f(x)ln2xln xa有零点(2)(2017福州质检)已知命题p：“x0R，”，则綈p为()Ax0R，Bx0R，CxR，exx10DxR，exx10答案(1)B(2)C解析(1)取0时，sin()sin sin ，A正确；取时，函数f(x)sin(2x)cos 2x是偶函数，B错误；对于三次函数yf(
8、x)x3ax2bxc，当x时，y，当x时，y，又f(x)在R上为连续函数，故x0R，使xaxbx0c0，C正确；当f(x)0时，ln2xln xa0，则有aln2xln x(ln x)2，所以a0，函数f(x)ln2xln xa有零点，D正确，综上可知选B.(2)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“xR，exx10”，故选C.题型三含参数命题中参数的取值范围例4(1)已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数，若pq是真命题，则实数a的取值范围是_(2)已知f(x)ln(x21)，g(x)()xm，若对x10,3，x21,2，使得
9、f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是()A，) B(，C，) D(，答案(1)12，44，)(2)A解析(1)若命题p是真命题，则a2160，即a4或a4；若命题q是真命题，则3，即a12.pq是真命题，p，q均为真，a的取值范围是12，44，)(2)当x0,3时，f(x)minf(0)0，当x1,2时，g(x)ming(2)m，由f(x)ming(x)min，得0m，所以m，故选A.引申探究本例(2)中，若将“x21,2”改为“x21,2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_答案，)解析当x1,2时，g(x)maxg(1)m，由f(x)ming(x)max，得0m，m.思维升华(1)
10、已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决(1)已知命题p：“x0,1，aex”，命题q：“x0R，x4x0a0”若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是()A(4，) B1,4Ce,4 D(，1)(2)已知函数f(x)x22x3，g(x)log2xm，对任意的x1，x21,4有f(x1)g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是_答案(1)C(2)(，0)解析(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知ae，由q为真，知x24xa0有解，则164a0，a4.综上可知ea
11、4.(2)f(x)x22x3(x1)22，当x1,4时，f(x)minf(1)2，g(x)maxg(4)2m，则f(x)ming(x)max，即22m，解得m0，故实数m的取值范围是(，0)1常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.一、命题的真假判断典例1(1)已知命题p：x0R，x12x0；命题q：若mx2mx10恒成立，则4m5”是“x24x50”的充分不必要条件；命题p：x0R，xx010，则綈p：xR，x2x
12、10；命题“若x23x20，则x1或x2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x20”A1 B2 C3 D4解析(1)由于x22x1(x1)20，即x212x，所以p为假命题；对于命题q，当m0时，10可得x5或x5”是“x24x50”的充分不必要条件，所以正确；对于，根据特称命题的否定为全称命题，可知正确；对于，命题“若x23x20，则x1或x2”的逆否命题为“若x1且x2，则x23x20”，所以错误，所以错误命题的个数为2，故选B.答案(1)C(2)B二、求参数的取值范围典例2(1)已知p：xk，q：1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A2，) B(2，)C1，) D(
13、，1(2)(2016郑州一模)已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，3，x22,3使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca0 Da0解析(1)由1，得10，解得x2，由p是q的充分不必要条件，知k2，故选B.(2)x，3，f(x)2 4，当且仅当x2时，f(x)min4，当x2,3时，g(x)min22a4a，依题意f(x)ming(x)min，a0，故选C.答案(1)B(2)C三、利用逻辑推理解决实际问题典例3(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市
14、由此可判断乙去过的城市为_(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第_名解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过A城市，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名答案(1)A(2)一1命题
15、p：若sin xsin y，则xy；命题q：x2y22xy.下列命题为假命题的是()Apq BpqCq D綈p答案B解析命题p假，q真，故命题pq为假命题2下列命题中，真命题是()AxR，x20 BxR，1sin x0，故C错，D正确3(2017西安质检)已知命题p：x0R，则()Ap是假命题；綈p：xR，log2(3x1)0Bp是假命题；綈p：xR，log2(3x1)0Cp是真命题；綈p：xR，log2(3x1)0Dp是真命题；綈p：xR，log2(3x1)0答案B解析3x0，3x11，则log2(3x1)0，p是假命题；綈p：xR，log2(3x1)0，故选B.4(2016河北邯郸收官考试
16、)已知p：xR，x2x10，q：x0(0，)，sin x01，则下列命题为真命题的是()Ap(綈q) B(綈p)qCpq D(綈p)(綈q)答案A解析因为x2x1(x)20恒成立，所以命题p是真命题；xR，sin x1，所以命题q是假命题，所以p(綈q)是真命题，故选A.5下列命题中的假命题是()AxR,2x10 BxN*，(x1)20Cx0R，lg x00；B项，xN*，当x1时，(x1)20与(x1)20矛盾；C项，当x0时，lg 12x，p2：R，sin cos ，则在命题q1：p1p2；q2：p1p2；q3：(綈p1)p2和q4：p1(綈p2)中，真命题是()Aq1，q3 Bq2，q3
17、Cq1，q4 Dq2，q4答案C解析因为y()x在R上是增函数，即y()x1在(0，)上恒成立，所以p1是真命题；sin cos sin()，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1p2，q4：p1(綈p2)是真命题，选C.7已知命题“x0R，使2x(a1)x00”是假命题，则实数a的取值范围是()A(，1) B(1,3)C(3，) D(3,1)答案B解析依题意可知“xR,2x2(a1)x0”为真命题，所以(a1)2420，即(a1)(a3)0，解得1a0)，若x0R，使得x11,2都有f(x1)0)，当x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(a，)时，f(x)0，
18、f(x)单调递减；故f(x)maxf(a)，x0R，使得x11,2都有f(x1)f(x1)对x11,2恒成立，故a1,2，所以实数a的取值范围是(0,1)(2，)，选D.9以下四个命题：xR，x23x20恒成立；xQ，x22；xR，x210；xR,4x22x13x2.其中真命题的个数为()A0 B1C2 D4答案A解析x23x20，(3)2420，当x2或x0才成立，为假命题；当且仅当x时，x22，不存在xQ，使得x22，为假命题；对xR，x210，为假命题；4x2(2x13x2)x22x1(x1)20，即当x1时，4x22x13x2成立，为假命题均为假命题10(2016成都模拟)已知函数f(
19、x)的定义域为(a，b)，若“x0(a，b)，f(x0)f(x0)0”是假命题，则f(ab)_.答案0解析若“x0(a，b)，f(x0)f(x0)0”是假命题，则“x(a，b)，f(x)f(x)0”是真命题，即f(x)f(x)，则函数f(x)是奇函数，则ab0，即f(ab)0.11下列结论：若命题p：x0R，tan x01；命题q：xR，x2x10.则命题“p(綈q)”是假命题；已知直线l1：ax3y10，l2：xby10，则l1l2的充要条件是3；命题“若x23x20，则x1”的逆否命题是：“若x1，则x23x20”其中正确结论的序号为_答案解析中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p(綈q
20、)为假命题，故正确；当ba0时，有l1l2，故不正确；正确，所以正确结论的序号为.12已知命题p：x22x30；命题q：1，若“(綈q)p”为真，则x的取值范围是_答案(，3)(1,23，)解析因为“(綈q)p”为真，即q假p真，而q为真命题时，0，即2x0，解得x1或x3，由得x3或1x2或x0恒成立若pq为假命题，则实数m的取值范围为_答案(，2(1，)解析由命题p：x0R，(m1)(x1)0可得m1，由命题q：xR，x2mx10恒成立，可得2m1.14已知命题p：“xR，mR,4x2x1m0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是_. 答案(，1解析若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x22xm0有实数解，由于m(4x22x)(2x1)211，m1.*15.已知函数f(x)(x2)，g(x)ax(a1，x2)(1)若x02，)，使f(x0)m成立，则实数m的取值范围为_；(2)若x12，)，x22, )使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围为_答案(1)3，)(2)(1，解析(1)因为f(x)xx11213，当且仅当x2时等号成立，所以若x02，)，使f(x0)m成立，则实数m的取值范围为3，)(2)因为当x2时，f(x)3，g(x)a2，若x12，)，x22，)使得f(x1)g(x2)，则解得a(1，
