高考数学复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理.docx
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高考数学复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理
第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词理
1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
量词名词
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
3.全称命题和特称命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x,有p(x)成立
∀x∈M,p(x)
特称命题
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
∃x0∈M,p(x0)
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
【知识拓展】
1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q:
p、q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真;
(2)p∧q:
p、q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假;
(3)綈p:
与p的真假相反,即一真一假,真假相反.
2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题p∧q为假命题,则命题p、q都是假命题.( × )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.( √ )
(4)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( × )
(5)“长方形的对角线相等”是特称命题.( × )
(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( × )
1.设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
;命题q:
函数y=cosx的图象关于直线x=
对称,则下列判断正确的是( )
A.p为真B.綈q为假
C.p∧q为假D.p∨q为真
答案 C
解析 函数y=sin2x的最小正周期为
=π,故命题p为假命题;x=
不是y=cosx的对称轴,命题q为假命题,故p∧q为假.故选C.
2.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 綈p为真知p为假,可得p∧q为假;反之,若p∧q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件,故选A.
3.(教材改编)下列命题中,为真命题的是( )
A.∀x∈R,-x2-1<0
B.∃x0∈R,x
+x0=-1
C.∀x∈R,x2-x+
>0
D.∃x0∈R,x
+2x0+2<0
答案 A
4.(2017·西安调研)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )
A.全等三角形的面积不一定都相等
B.不全等三角形的面积不一定都相等
C.存在两个不全等三角形的面积相等
D.存在两个全等三角形的面积不相等
答案 D
解析 命题是省略量词的全称命题,易知选D.
5.(2015·山东)若“∀x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y=tanx在
上是增函数,
∴ymax=tan
=1.
依题意,m≥ymax,即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
(1)已知命题p:
对任意x∈R,总有2x>0;q:
“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.(綈p)∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.p∧(綈q)
(2)(2016·聊城模拟)若命题“p∨q”是真命题,“綈p为真命题”,则( )
A.p真,q真B.p假,q真
C.p真,q假D.p假,q假
答案
(1)D
(2)B
解析
(1)∵p是真命题,q是假命题,
∴p∧(綈q)是真命题.
(2)∵綈p为真命题,∴p为假命题,
又p∨q为真命题,∴q为真命题.
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题p、q的真假;
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
已知命题p:
若x>y,则-x<-y;命题q:
若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
答案 C
解析 当x>y时,-x<-y,
故命题p为真命题,从而綈p为假命题.
当x>y时,x2>y2不一定成立,
故命题q为假命题,从而綈q为真命题.
由真值表知:
①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题,
故选C.
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例2 不等式组
的解集记为D,有下面四个命题:
p1:
∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:
∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:
∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:
∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( )
A.p2,p3B.p1,p4
C.p1,p2D.p1,p3
答案 C
解析 画出不等式组
的可行域D如图阴影部分所示,两直线交于点A(2,-1),设直线l0的方程为x+2y=0.由图象可知,∀(x,y)∈D,x+2y≥0,故p1为真命题,p2为真命题,p3,p4为假命题.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例3
(1)命题“∃x0∈R,x
-2x0>0”的否定是( )
A.∀x∈R,x2-2x<0
B.∃x0∈R,x
-2x0≥0
C.∀x∈R,x2-2x≤0
D.∃x0∈R,x
-2x0<0
(2)(2015·浙江)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0
答案
(1)C
(2)D
解析
(1)将“∃”改为“∀”,对结论中的“>”进行否定,可知C正确.
(2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.
思维升华
(1)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词.
②对原命题的结论进行否定.
(1)下列命题是假命题的是( )
A.∃α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ
B.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
C.∃x0∈R,使x
+ax
+bx0+c=0(a,b,c∈R且为常数)
D.∀a>0,函数f(x)=ln2x+lnx-a有零点
(2)(2017·福州质检)已知命题p:
“∃x0∈R,
”,则綈p为( )
A.∃x0∈R,
B.∃x0∈R,
C.∀x∈R,ex-x-1>0
D.∀x∈R,ex-x-1≥0
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)取α=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ,A正确;
取φ=
时,函数f(x)=sin(2x+
)=cos2x是偶函数,B错误;
对于三次函数y=f(x)=x3+ax2+bx+c,当x→-∞时,y→-∞,当x→+∞时,y→+∞,又f(x)在R上为连续函数,故∃x0∈R,使x
+ax
+bx0+c=0,C正确;
当f(x)=0时,ln2x+lnx-a=0,则有a=ln2x+lnx=(lnx+
)2-
≥-
,所以∀a>0,函数f(x)=ln2x+lnx-a有零点,D正确,综上可知选B.
(2)根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为“∀x∈R,ex-x-1>0”,故选C.
题型三 含参数命题中参数的取值范围
例4
(1)已知命题p:
关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:
关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若p∧q是真命题,则实数a的取值范围是________________.
(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=(
)x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是( )
A.[
,+∞)B.(-∞,
]
C.[
,+∞)D.(-∞,-
]
答案
(1)[-12,-4]∪[4,+∞)
(2)A
解析
(1)若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0,
即a≤-4或a≥4;若命题q是真命题,
则-
≤3,即a≥-12.
∵p∧q是真命题,∴p,q均为真,
∴a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).
(2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,
g(x)min=g
(2)=
-m,由f(x)min≥g(x)min,
得0≥
-m,所以m≥
,故选A.
引申探究
本例
(2)中,若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是________________.
答案 [
,+∞)
解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g
(1)=
-m,
由f(x)min≥g(x)max,得0≥
-m,
∴m≥
.
思维升华
(1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围;
(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.
(1)已知命题p:
“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:
“∃x0∈R,x
+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞)B.[1,4]
C.[e,4]D.(-∞,-1)
(2)已知函数f(x)=x2-2x+3,g(x)=log2x+m,对任意的x1,x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立,则实数m的取值范围是________________.
答案
(1)C
(2)(-∞,0)
解析
(1)由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
(2)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
当x∈[1,4]时,f(x)min=f
(1)=2,g(x)max=g(4)=2+m,则f(x)min>g(x)max,即2>2+m,解得m<0,故实数m的取值范围是(-∞,0).
1.常用逻辑用语
考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.
一、命题的真假判断
典例1
(1)已知命题p:
∃x0∈R,x
+1<2x0;命题q:
若mx2-mx-1<0恒成立,则-4 A.綈p是假命题 B.q是真命题 C.p∨q为假命题 D.p∧q为真命题 (2)下列命题中错误的个数为( ) ①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题; ②“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件; ③命题p: ∃x0∈R,x +x0-1<0,则綈p: ∀x∈R,x2+x-1≥0; ④命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”. A.1B.2C.3D.4 解析 (1)由于x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即x2+1≥2x,所以p为假命题; 对于命题q,当m=0时,-1<0恒成立, 所以命题q为假命题. 综上可知,綈p为真命题, p∧q为假命题,p∨q为假命题,故选C. (2)对于①,若p∨q为真命题,则p,q至少有一个为真,即可能有一个为假,所以p∧q不一定为真命题,所以①错误;对于②,由x2-4x-5>0可得x>5或x<-1,所以“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件,所以②正确;对于③,根据特称命题的否定为全称命题,可知③正确;对于④,命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为2,故选B. 答案 (1)C (2)B 二、求参数的取值范围 典例2 (1)已知p: x≥k,q: <1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是( ) A.[2,+∞)B.(2,+∞) C.[1,+∞)D.(-∞,-1] (2)(2016·郑州一模)已知函数f(x)=x+ ,g(x)=2x+a,若∀x1∈[ ,3],∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是( ) A.a≤1B.a≥1 C.a≤0D.a≥0 解析 (1)由 <1,得 -1= <0, 即(x-2)(x+1)>0, 解得x<-1或x>2,由p是q的充分不必要条件,知k>2,故选B. (2)∵x∈[ ,3],∴f(x)≥2 =4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)min=22+a=4+a,依题意f(x)min≥g(x)min,∴a≤0,故选C. 答案 (1)B (2)C 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说: 我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说: 我没去过C城市; 丙说: 我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测: 甲: 中国非第一名,也非第二名; 乙: 中国非第一名,而是第三名; 丙: 中国非第三名,而是第一名. 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名. 解析 (1)由题意可推断: 甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过A城市,由此可知,乙去过的城市为A. (2)由题意可知: 甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一 1.命题p: 若sinx>siny,则x>y;命题q: x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A.p∨qB.p∧q C.qD.綈p 答案 B 解析 命题p假,q真,故命题p∧q为假命题. 2.下列命题中,真命题是( ) A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,-1 C.∃x0∈R, D.∃x0∈R,tanx0=2 答案 D 解析 ∀x∈R,x2≥0,故A错;∀x∈R,-1≤sinx≤1,故B错;由y=2x的图象可知∀x∈R,2x>0,故C错,D正确. 3.(2017·西安质检)已知命题p: ∃x0∈R, 则( ) A.p是假命题;綈p: ∀x∈R,log2(3x+1)≤0 B.p是假命题;綈p: ∀x∈R,log2(3x+1)>0 C.p是真命题;綈p: ∀x∈R,log2(3x+1)≤0 D.p是真命题;綈p: ∀x∈R,log2(3x+1)>0 答案 B 解析 ∵3x>0,∴3x+1>1,则log2(3x+1)>0,∴p是假命题;綈p: ∀x∈R,log2(3x+1)>0,故选B. 4.(2016·河北邯郸收官考试)已知p: ∀x∈R,x2-x+1>0,q: ∃x0∈(0,+∞),sinx0>1,则下列命题为真命题的是( ) A.p∨(綈q)B.(綈p)∨q C.p∧qD.(綈p)∧(綈q) 答案 A 解析 因为x2-x+1=(x- )2+ >0恒成立,所以命题p是真命题;∀x∈R,sinx≤1,所以命题q是假命题,所以p∨(綈q)是真命题,故选A. 5.下列命题中的假命题是( ) A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0 C.∃x0∈R,lgx0<1D.∃x0∈R,tan =5 答案 B 解析 A项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2x-1>0;B项,∵x∈N*,∴当x=1时,(x-1)2=0与(x-1)2>0矛盾;C项,当x0= 时,lg =-1<1;D项,当x∈R时,tanx∈R,∴∃x0∈R,tan =5. 6.(2016·开封一模)已知命题p1: ∀x∈(0,+∞),有3x>2x,p2: ∃θ∈R,sinθ+cosθ= ,则在命题q1: p1∨p2;q2: p1∧p2;q3: (綈p1)∨p2和q4: p1∧(綈p2)中,真命题是( ) A.q1,q3B.q2,q3 C.q1,q4D.q2,q4 答案 C 解析 因为y=( )x在R上是增函数,即y=( )x>1在(0,+∞)上恒成立,所以p1是真命题;sinθ+cosθ= sin(θ+ )≤ ,所以命题p2是假命题,綈p2是真命题,所以命题q1: p1∨p2,q4: p1∧(綈p2)是真命题,选C. 7.已知命题“∃x0∈R,使2x +(a-1)x0+ ≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-1,3) C.(-3,+∞)D.(-3,1) 答案 B 解析 依题意可知“∀x∈R,2x2+(a-1)x+ >0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4×2×
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