1、高等数学同济五版讲稿WORD版第03章中值定理与导数的应用 第三章 中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、 知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值 ，判断函数的单调
2、性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法； 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在x0处可导, 如果对任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0), 那么f (x0)=0. 罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)内至少在一点 , 使得f ()=0. 简要证明: (1)如
3、果f(x)是常函数, 则f (x)0, 定理的结论显然成立. (2)如果f(x)不是常函数, 则f(x)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点(a, b). 于是, , 所以f (x)=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点(ab), 使得等式f(b)-f(a)=f ()(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的几何意义: f ()=, 定理的证明: 引进辅函数令 (x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条
4、件: (a)=(b)=0, (x)在闭区间a, b 上连续在开区间(a, b)内可导, 且 (x)=f (x)-. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a, b)内至少有一点, 使 ()=0, 即f ()-=0. 由此得 = f () , 即 f(b)-f(a)=f ()(b-a). 定理证毕. f(b)-f(a)=f ()(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b0或x0)或x+x, x (x0)应用拉格朗日中值公式, 得f(x+x)-f(x)=f (x+x)x (01). 如果记f(x)为y, 则上式又可写为y=f (x+x)x (01). 试与微分d y=f (x)x 比较: d y =
5、f (x)x是函数增量y 的近似表达式, 而f (x+x)x是函数增量y 的精确表达式. 作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理: 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那么f(x)在区间I上是一个常数. 证 在区间I上任取两点x1, x2(x1x2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f ()(x2 - x1) (x10时, . 证 设f(x)=ln(1+x), 显然f(x)在区间0, x上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f(x)-f(0)=f ()(x-0), 0x。由于f(0)=0, , 因此上式即为 .又由0x, 有 . 三、柯西中
6、值定理 设曲线弧C由参数方程 (axb)表示, 其中x为参数. 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点x= , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点x= 处的切线的斜率为 , 弦AB的斜率为 . 于是 . 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且F (x)在(a, b)内的每一点处均不为零, 那么在(a, b)内至少有一点 , 使等式 .成立. 显然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F (x)=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f(b)-f(a)=f (
7、)(b-a) (ab), 这样就变成了拉格朗日中值公式了. 3. 3 泰勒公式 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道, 当|x|很小时, 有如下的近似等式: e x 1+x, ln(1+x) x. 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小; 其次是用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小. 因此, 对于
8、精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式. 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关于(x-x0 )的n次多项式 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n来近似表达f(x), 要求p n(x)与f(x)之差是比(x-x0 ) n高阶的无穷小, 并给出误差| f (x)- p n (x)|的具体表达式. 我们自然希望p n(x)与f(x)在x0 的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等, 这样就有 p n(x)=a 0+a 1(x-x
9、0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n , p n(x)= a 1+2 a 2(x-x0 ) + +na n (x-x0 ) n-1 , p n(x)= 2 a 2 + 32a 3(x-x0 ) + + n (n-1)a n (x-x0 ) n-2 , p n(x)= 3!a 3 +432a 4(x-x0 ) + + n (n-1)(n-2)a n (x-x0 ) n-3 , , p n (n)(x)=n! a n . 于是 pn (x0 )=a 0 , p n (x0 )= a 1 , p n (x0 )= 2! a 2 , p n (x)= 3!a 3 , ,
10、 p n (n)(x)=n! a n. 按要求有 f(x0)=p n(x0) =a0, f (x0)= p n (x0)= a 1 , f (x0)= p n (x0)= 2! a 2 , f (x0)= p n (x0)= 3!a 3 , f (n)(x0)= p n (n)(x0)=n! a n . 从而有 a 0=f(x0 ), a 1=f (x0 ), , , , . (k=0, 1, 2, , n). 于是就有 pn(x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)(x-x0) 2 + (x-x0) n . 泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直到(
11、n+1)的阶导数, 则当x 在(a, b)内时, f(x)可以表示为(x-x0 )的一个n次多项式与一个余项R n(x)之和: 其中( 介于x0与x之间).这里 多项式 . 称为函数f(x)按(x-x0 )的幂展开的n 次近似多项式, 公式 + , 称为f(x)按(x-x0 )的幂展开的n 阶泰勒公式, 而R n(x)的表达式其中(介于x与x0之间). 称为拉格朗日型余项. 当n=0时, 泰勒公式变成拉格朗日中值公式: f(x)=f(x0 )+f ()(x-x0 ) (在x0 与x 之间). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 如果对于某个固定的n, 当x在区间(a, b)内变动时
12、, |f (n+1)(x)|总不超过一个常数M, 则有估计式: ,及 . 可见, 妆x x0时, 误差|R n(x)|是比(x-x0 )n高阶的无穷小, 即 R n (x)=o(x-x0 ) n. 在不需要余项的精确表达式时, n 阶泰勒公式也可写成 + . 当x0 =0时的泰勒公式称为麦克劳林公式, 就是 ,或 ,其中.由此得近似公式: . 误差估计式变为: . 例1写出函数f(x)=e x 的n 阶麦克劳林公式. 解: 因为 f(x)=f (x)=f (x)= =f ( n)(x)=e x , 所以 f(0)=f (0)=f (0)= =f ( n)(0)=1 , 于是 (01), 并有
13、. 这时所产性的误差为 |R n(x)|=|x n+1| x | n+1. 当x=1时, 可得e的近似式: . 其误差为 |R n |0, 那么函数y=f(x)在a, b上单调增加; (2)如果在(a, b)内f (x)0, 那么函数y=f(x)在a, b上单调减少. 证明 只证(1). 在a, b上任取两点x1 , x2 (x1 x2 ), 应用拉格朗日中值定理, 得到f(x2 )-f(x1 )=f ()(x2-x1) (x1 0, 因此, 如果在(a, b)内导数f (x)保持正号, 即f (x)0, 那么也有f ()0. 于是f(x2 )-f(x1 )=f ()(x2 -x1 )0, 即
14、 f(x1 )0, 所以由判定法可知函数y=x-cos x 在0, 2上的单调增加. 例2 讨论函数y=e x -x-1的单调性. （没指明在什么区间怎么办？) 解 y=e x -1. 函数y=e x -x-1的定义域为(-, +). 因为在(-, 0)内y0, 所以函数y=e x -x-1在0, +)上单调增加. 例3. 讨论函数的单调性. 解: 函数的定义域为(-, +). 当时, 函数的导数为 (x0), 函数在x=0处不可导. 当x=0时, 函数的导数不存在. 因为x0时, y0时, y0, 所以函数在0, +)上单调增加. 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存
15、在且连续, 那么只要用方程f (x)=0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间, 就能保证f (x)在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数f(x)在每个部分区间上单调. 例4. 确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间. 解 这个函数的定义域为:(-, +). 函数的导数为:f (x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 导数为零的点有两个: x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-, 11, 22, +)f (x)+-+f(x)函数f(x)在区间(-, 1和2, +)内单调增加, 在区间1, 2上单调减少. 例5. 讨论函数y=x3的单调性.
16、 解 函数的定义域为: (-, +). 函数的导数为: y=3x2 . 除当x=0时, y=0外, 在其余各点处均有y0. 因此函数y=x 3在区间(-, 0及0, +)内都是单调增加的. 从而在整个定义域: (-, +)内是单调增加的. 在x=0处曲线有一水平切线. 一般地, 如果f (x)在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例6. 证明: 当x1时, . 证明: 令, 则 . 因为当x1时, f (x)0, 因此f(x)在1, +)上f(x)单调增加, 从而当x1时, f(x)f(1). 由于f(1)=0,
17、故f(x)f(1)=0, 即 , 也就是(x1). 二、曲线的凹凸与拐点 凹凸性的概念: 定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x 1, x 2, 恒有, 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 定义 设函数y=f(x)在区间I上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在(a, b)内f
18、 (x)0, 则f(x)在a, b上的图形是凹的; (2)若在(a, b)内f (x)0, 则f(x)在a, b上的图形是凸的. 简要证明 只证(1). 设x1, x2a, b, 且x1x2, 记. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 , , 即, 所以f(x)在a, b上的图形是凹的. 拐点: 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求出在二阶导数f (x); (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲
19、线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）（3）步有时省略. 例1. 判断曲线y=ln x 的凹凸性. 解: , . 因为在函数y=ln x的定义域(0, +)内, y0, 所以曲线y=ln x是凸的. 例2. 判断曲线y=x3的凹凸性. 解: y=3x 2, y=6x . 由y=0, 得x=0. 因为当x0时, y0时, y0, 所以曲线在0, +)内为凹的. 例3. 求曲线y=2x 3+3x 2-2x+14的拐点. 解: y=6x 2+6x-12, . 令y=0, 得. 因为当时, y0, 所以点(, )是曲线的拐点. 例4. 求曲线y=3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 解:
20、 (1)函数y=3x 4-4x 3+1的定义域为(-, +); (2),; (3)解方程y=0, 得, ; (4)列表判断: 在区间(-, 0和2/3, +)上曲线是凹的, 在区间0, 2/3上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 例5 问曲线y=x 4是否有拐点？ 解 y=4x 3, y=12x 2. 当x 0时, y0, 在区间(-, +)内曲线是凹的, 因此曲线无拐点. 例6. 求曲线的拐点. 解 (1)函数的定义域为(-, +); (2) , ; (3)无二阶导数为零的点, 二阶导数不存在的点为x=0; (4)判断: 当x0; 当x0时, y0. 因此,
21、 点(0, 0)曲线的拐点. 3. 5 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 极值的定义: 定义 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义, x0(a, b). 如果在x0的某一去心邻域内有f(x)f(x0), 则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值. 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 如果在去心邻域U(x0)内有f(x)f(x0), 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值). 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值, 那只是就x0 附近
22、的一个局部范围来说, f(x0)是f(x)的一个最大值; 如果就f(x)的整个定义域来说, f(x0)不一定是最大值. 关于极小值也类似. 极值与水平切线的关系: 在函数取得极值处, 曲线上的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方, 函数不一定取得极值. 定理1 (必要条件)设函数f(x)在点x0 处可导, 且在x0 处取得极值, 那么这函数在x0 处的导数为零, 即f (x0)=0. 证 为确定起见, 假定f(x0)是极大值(极小值的情形可类似地证明). 根据极大值的定义, 在x0 的某个去心邻域内, 对于任何点x , f(x) f(x0)均成立. 于是 当x x0 时, 因此 ; 从而得
23、到 f (x0) = 0 . 简要证明: 假定f(x0)是极大值. 根据极大值的定义, 在x0的某个去心邻域内有f(x)0, 在x0的某一右邻域内f (x)0, 那么函数f(x)在x0处取得极大值; (2) 如果在x0的某一左邻域内f (x)0, 那么函数f(x)在x0处取得极小值; (3)如果在x0的某一邻域内f (x)不改变符号, 那么函数f(x)在x0处没有极值. 定理 (第一种充分条件)设函数f(x)在含x0的区间(a, b)内连续, 在(a, x0)及(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f (x)0, 在(x0, b)内f (x)0, 那么函数f(x)在x0处取得极大
24、值; (2)如果在(a, x0)内f (x)0, 那么函数f(x)在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f (x)的符号相同, 那么函数f(x)在x0处没有极值. 定理2(第一充分条件)设函数f(x)在x0连续, 且在x0的某去心邻域(x0-, x0)(x0, x0+)内可导. (1)如果在(x0-, x0)内f (x)0, 在(x0, x0+)内f (x)0, 那么函数f(x)在x0处取得极大值; (2)如果在(x0-, x0)内f (x)0, 那么函数f(x)在x0处取得极小值; (3)如果在(x0-, x0)及(x0, x0+)内 f (x)的符号相同, 那么函数f(x)在x0处没有极值. 定理2也可简单地这样说: 当x在x0的邻近渐增地经过x0时, 如果f (x)的符号由负变正, 那么f(x)在x0处取得极大值; 如果f (x)的符号由正变负,
