.
三、柯西中值定理
设曲线弧C由参数方程
(a≤x≤b)
表示,其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C上必有一点x=ξ,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点x=ξ处的切线的斜率为
弦AB的斜率为
.
于是
.
柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F'(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在(a,b)内至少有一点ξ,使等式
.
成立.
显然,如果取F(x)=x,那么F(b)-F(a)=b-a,F'(x)=1,因而柯西中值公式就可以写成:
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ
这样就变成了拉格朗日中值公式了.
§3.3泰勒公式
对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.
在微分的应用中已经知道,当|x|很小时,有如下的近似等式:
ex≈1+x,ln(1+x)≈x.
这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处:
首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;其次是用它来作近似计算时,不能具体估算出误差大小.因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式.
设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,现在我们希望做的是:
找出一个关于(x-x0)的n次多项式
pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+⋅⋅⋅+an(x-x0)n
来近似表达f(x),要求pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差|f(x)-pn(x)|的具体表达式.
我们自然希望pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等,这样就有
pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+⋅⋅⋅+an(x-x0)n,
pn'(x)=a1+2a2(x-x0)+⋅⋅⋅+nan(x-x0)n-1,
pn''(x)=2a2+3⋅2a3(x-x0)+⋅⋅⋅+n(n-1)an(x-x0)n-2,
pn'''(x)=3!
a3+4⋅3⋅2a4(x-x0)+⋅⋅⋅+n(n-1)(n-2)an(x-x0)n-3,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
pn(n)(x)=n!
an.
于是
pn(x0)=a0,pn'(x0)=a1,pn''(x0)=2!
a2,pn'''(x)=3!
a3,⋅⋅⋅,pn(n)(x)=n!
an.
按要求有
f(x0)=pn(x0)=a0,f'(x0)=pn'(x0)=a1,f''(x0)=pn''(x0)=2!
a2,f'''(x0)=pn'''(x0)=3!
a3,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
f(n)(x0)=pn(n)(x0)=n!
an.
从而有
a0=f(x0),a1=f'(x0),
⋅⋅⋅,
.
(k=0,1,2,⋅⋅⋅,n).
于是就有
pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
(x-x0)2+⋅⋅⋅
(x-x0)n.
泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:
其中
(ξ介于x0与x之间).
这里
多项式
.
称为函数f(x)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式,公式
+⋅⋅⋅
称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式,而Rn(x)的表达式
其中
(ξ介于x与x0之间).
称为拉格朗日型余项.
当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式:
f(x)=f(x0)+f'(ξ)(x-x0)(ξ在x0与x之间).
因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时,|f(n+1)(x)|总不超过一个常数M,则有估计式:
及
.
可见,妆x→x0时,误差|Rn(x)|是比(x-x0)n高阶的无穷小,即
Rn(x)=o[(x-x0)n].
在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成
+⋅⋅⋅
.
当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式,就是
或
其中
.
由此得近似公式:
.
误差估计式变为:
.
例1.写出函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.
解:
因为f(x)=f'(x)=f''(x)=⋅⋅⋅=f(n)(x)=ex,
所以f(0)=f'(0)=f''(0)=⋅⋅⋅=f(n)(0)=1,
于是
(0<θ<1),
并有
.
这时所产性的误差为
|Rn(x)|=|
xn+1|<
|x|n+1.
当x=1时,可得e的近似式:
.
其误差为|Rn|<
.
例2.求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式.
解:
因为
f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,
⋅⋅⋅,
f(0)=0,f'(0)=1,f''(0)=0,f'''(0)=-1,f(4)(0)=0,⋅⋅⋅,
于是
.
当m=1、2、3时,有近似公式
sinx≈x,
.
§3.4函数单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
如果函数y=f(x)在[a,b]上单调增加(单调减少),那么它的图形是一条沿x轴正向上升(下降)的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的(是非正的),即y'=f'(x)≥0(y'=f'(x)≤0).由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.
反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢?
定理1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.
(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;
(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.
证明只证
(1).在[a,b]上任取两点x1,x2(x1f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)(x1<ξ由于在上式中,x2-x1>0,因此,如果在(a,b)内导数f'(x)保持正号,即f'(x)>0,那么也有f'(ξ)>0.于是
f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0,
即f(x1)这函数y=f(x)在[a,b]上单调增加.
注:
判定法中的闭区间可换成其他各种区间.
例1判定函数y=x-sinx在[0,2π]上的单调性.
解因为在(0,2π)内
y'=1-cosx>0,
所以由判定法可知函数y=x-cosx在[0,2π]上的单调增加.
例2讨论函数y=ex-x-1的单调性.(没指明在什么区间怎么办?
)
解y'=ex-1.
函数y=ex-x-1的定义域为(-∞,+∞).因为在(-∞,0)内y'<0,所以函数y=ex-x-1在(-∞,0]上单调减少;因为在(0,+∞)内y'>0,所以函数y=ex-x-1在[0,+∞)上单调增加.
例3.讨论函数
的单调性.
解:
函数的定义域为(-∞,+∞).
当时,函数的导数为
(x≠0),函数在x=0处不可导.
当x=0时,函数的导数不存在.
因为x<0时,y'<0,所以函数在(-∞,0]上单调减少;
因为x>0时,y'>0,所以函数在[0,+∞)上单调增加.
如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f'(x)=0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f'(x)在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.
例4.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间.
解这个函数的定义域为:
(-∞,+∞).
函数的导数为:
f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).导数为零的点有两个:
x1=1、x2=2.
列表分析:
(-∞,1]
[1,2]
[2,+∞)
f'(x)
+
-
+
f(x)
↗
↘
↗
函数f(x)在区间(-∞,1]和[2,+∞)内单调增加,在区间[1,2]上单调减少.
例5.讨论函数y=x3的单调性.
解函数的定义域为:
(-∞,+∞).
函数的导数为:
y'=3x2.除当x=0时,y'=0外,在其余各点处均有y'>0.因此函数
y=x3在区间(-∞,0]及[0,+∞)内都是单调增加的.从而在整个定义域:
(-∞,+∞)内是单调增加的.在x=0处曲线有一水平切线.
一般地,如果f'(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正(或负)时,那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.
例6.证明:
当x>1时,
.
证明:
令
则
.
因为当x>1时,f'(x)>0,因此f(x)在[1,+∞)上f(x)单调增加,从而当x>1时,f(x)>f
(1).
由于f
(1)=0,故f(x)>f
(1)=0,即
也就是
(x>1).
二、曲线的凹凸与拐点
凹凸性的概念:
定义设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2,恒有
那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有
那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).
定义'设函数y=f(x)在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方,则称该曲线在区间I上是凹的;如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,则称该曲线在区间I上是凸的.
凹凸性的判定:
定理设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么
(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
(2)若在(a,b)内f''(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
简要证明只证
(1).设
x1,x2∈[a,b],且x1.
由拉格朗日中值公式,得
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
即
所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的.
拐点:
连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.
确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤:
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求出在二阶导数f`''(x);
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;
(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;
注:
根据具体情况
(1)(3)步有时省略.
例1.判断曲线y=lnx的凹凸性.
解:
.
因为在函数y=lnx的定义域(0,+∞)内,y''<0,所以曲线y=lnx是凸的.
例2.判断曲线y=x3的凹凸性.
解:
y'=3x2,y''=6x.
由y''=0,得x=0.
因为当x<0时,y''<0,所以曲线在(-∞,0]内为凸的;
因为当x>0时,y''>0,所以曲线在[0,+∞)内为凹的.
例3.求曲线y=2x3+3x2-2x+14的拐点.
解:
y=6x2+6x-12,
.
令y''=0,得
.
因为当
时,y''<0;当
时,y''>0,所以点(
)是曲线的拐点.
例4.求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹、凸的区间.
解:
(1)函数y=3x4-4x3+1的定义域为(-∞,+∞);
(2)
;
(3)解方程y''=0,得
;
(4)列表判断:
在区间(-∞,0]和[2/3,+∞)上曲线是凹的,在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.
例5问曲线y=x4是否有拐点?
解y'=4x3,y''=12x2.
当x≠0时,y''>0,在区间(-∞,+∞)内曲线是凹的,因此曲线无拐点.
例6.求曲线
的拐点.
解
(1)函数的定义域为(-∞,+∞);
(2)
;
(3)无二阶导数为零的点,二阶导数不存在的点为x=0;
(4)判断:
当x<0当,y''>0;当x>0时,y''<0.因此,点(0,0)曲线的拐点.
§3.5函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法
极值的定义:
定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0∈(a,b).如果在x0的某一去心邻域内有f(x)f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果在去心邻域U(x0)内有f(x)f(x0)),
则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值).
函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.
函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值,那只是就x0附近的一个局部范围来说,f(x0)是f(x)的一个最大值;如果就f(x)的整个定义域来说,f(x0)不一定是最大值.关于极小值也类似.
极值与水平切线的关系:
在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值.
定理1(必要条件)设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么这函数在x0处的导数为零,即f'(x0)=0.
证为确定起见,假定f(x0)是极大值(极小值的情形可类似地证明).根据极大值的定义,在x0的某个去心邻域内,对于任何点x,f(x)当x因此f'(x0)
;
当x>x0时
因此
;
从而得到f'(x0)=0.
简要证明:
假定f(x0)是极大值.根据极大值的定义,在x0的某个去心邻域内有f(x)同时
从而得到f'(x0)=0.
驻点:
使导数为零的点(即方程f'(x)=0的实根)叫函数f(x)的驻点.定理1就是说:
可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点.但的过来,函数f(x)的驻点却不一定是极值点.
考察函数f(x)=x3在x=0处的情况.
定理2(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续,在x0的左右邻域内可导.
(1)如果在x0的某一左邻域内f'(x)>0,在x0的某一右邻域内f'(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;
(2)如果在x0的某一左邻域内f'(x)<0,在x0的某一右邻域内f'(x)>0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;
(3)如果在x0的某一邻域内f'(x)不改变符号,那么函数f(x)在x0处没有极值.
定理2'(第一种充分条件)设函数f(x)在含x0的区间(a,b)内连续,在(a,x0)及(x0,b)内可导.
(1)如果在(a,x0)内f'(x)>0,在(x0,b)内f'(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;
(2)如果在(a,x0)内f'(x)<0,在(x0,b)内f'(x)>0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;
(3)如果在(a,x0)及(x0,b)内f'(x)的符号相同,那么函数f(x)在x0处没有极值.
定理2''(第一充分条件)设函数f(x)在x0连续,且在x0的某去心邻域(x0-δ,x0)⋃(x0,x0+δ)内可导.
(1)如果在(x0-δ,x0)内f'(x)>0,在(x0,x0+δ)内f'(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;
(2)如果在(x0-δ,x0)内f'(x)<0,在(x0,x0+δ)内f'(x)>0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;
(3)如果在(x0-δ,x0)及(x0,x0+δ)内f'(x)的符号相同,那么函数f(x)在x0处没有极值.
定理2也可简单地这样说:
当x在x0的邻近渐增地经过x0时,如果f'(x)的符号由负变正,那么f(x)在x0处取得极大值;如果f'(x)的符号由正变负,